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大学物理习题课 哈尔滨工程大学理学院物理教学中心 孙秋华 振动与波 振动与波的教学要求1 掌握谐振动的基本特性及描写谐振动的基本物理量以及它们的物理意义 熟练掌握利用旋转矢量的方法解决谐振动的问题 2 理解谐振动中的能量转换过程 了解振动能量与振幅的关系 3 了解阻尼振动 受迫振动及共振动现象 4 熟练掌握同方向同频率谐振动的合成 了解不同频率同方向振动的合成 利用垂直振动的合成求未知信号的频率 5 熟练掌握平面简谐波方程及方程中各物理量的意义 掌握波动中能量的传播和变化 会导出平均能流密度的公式 比较波动能量和振动能量之间的异同 6 熟练掌握干涉现象及相干波的条件 掌握形成驻波的条件及驻波的波动方程 理解驻波与行波的区别 7 掌握多普勒效应 一 基本概念 1 振幅 振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 2 周期 振动物体完成一次完整振动所需要的时间 3 频率 单位时间内振动物体完成完整振动的次数 4 相位 表示谐振动状态的最重要的物理量 5 波长 振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距离是一个波长 6 波速 单位时间某种一定的振动状态 或振动相位 所传播的距离称为波速 7 平均能量密度 能量密度的平均值 8 平均能流密度 能流密度的平均值 二 基本规律 1 简谐振动的动力学方程 2 简谐振动的运动方程 3 由初始条件确定 4 简谐振动的能量 5 同方向 同频率简谐振动的合成 6 一维简谐波的波动方程 7 波的干涉 频率相同 振动方向相同 初位相差恒定 8 驻波 振幅 传播速度都相同的两列相干波 在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象 9 多普勒效应 三 基本题型 1 已知运动方程求相应物理量 2 会证明简谐振动的方法 并求出谐振动的周期 3 已知一些条件给出谐振动的运动方程 5 已知波动方程求相应物理量 6 已知一些条件给出波动方程 7 能解决波的干涉问题 8 能解决谐振动和波的能量问题 4 能解决谐振动的合成问题 作业23 如图所示 轻质弹簧的一端固定 另一端系以轻绳 轻绳绕过滑轮连接一质量为m的物体 绳在轮上不打滑 使物体上下自由振动 已知弹簧的倔强系数为k 滑轮的半径为R 转动惯量J 1 证明物体作简谐振动 2 求物体振动周期 3 设t 0时 弹簧无伸长 物体无初速 写出物体的振动方程 会证明简谐振动 能求出谐振动的周期并给出振动方程 作业33 劲度系数分别为K1和K2的两根轻弹簧和质量为的物体相连 如图所示 试写出物体的动力学方程并求该振动系统的周期 作业24 一物体作简谐振动 其速度最大值vm 3cm s 其振幅A 2cm 若t 0时 物体位于平衡位置且向x轴的负方向运动 求 1 振动周期 2 加速度的最大值 3 振动方程的表达式 1 一定滑轮的半径为R 转动惯量为J 其上挂一轻绳 绳的一端系一质量为m的物体 另一端与一固定的轻弹簧相连 如图所示 设弹簧的劲度系数为k 绳与滑轮间无滑动 且忽略轴的摩擦力及空气阻力 现将物体m从平衡位置拉下一微小距离后放手 证明物体作简谐振动 并求出其角频率 解 取如图x坐标 平衡位置为原点O 向下为正 m在平衡位置时弹簧已伸长x0 2 一匀质细圆环的半径为R 挂在墙上的钉子上 证明该物体的摆动为简谐振动的条件 并给出摆动的周期 3 如图所示 质量M的笼子 用轻弹簧悬挂起来 弹簧的倔强系数为k 初始静止在平衡位置 今有m的油灰由距离笼底高h处自由落到笼底上 求笼子的振动方程 解 物理过程 1 m刚要与M碰撞时的速度为 2 m M在碰撞过程中 满足动量守恒 3 选取坐标如图 解 m 5 一质点在x轴上作简谐振动 选取该质点向右运动通过A点时作为计时起点 t 0 经过2秒后质点第一次经过B点 再经过2秒后质点第二次经过B点 若已知该质点在A B两点具有相同的速率 且AB 10cm求 1 质点的振动方程 2 质点在A点处的速率 解 由旋转矢量图和 vA vB 当t 0时 质点在A点 m s 能解决谐振动的合成问题 作业26 两个同方向的简谐振动的振动方程分别为x1 0 04cos2 t 1 8 SI x2 0 03cos2 t 1 4 SI 求 合振动方程 6 两个同方向同频率的简谐振动 其合振动的振幅为20cm 与第一个简谐振动的相位差为 1 6 若第一个简谐振动的振幅为10cm 求第二个简谐振动的振幅为多少 第一 二两个简谐振动的相位差 1 2为多少 10cm 已知波动方程求相应物理量 7 一横波沿绳子传播 其波的表达式为 SI 1 求此波的振幅 波速 频率和波长 2 求绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度 3 求x1 0 2m处和x2 0 7m处二质点振动的相位差 1 A 0 05m 50Hz 1 0mu 50m s 2 15 7m s4 93 103m s2 3 已知一些条件给出波动方程 作业27 已知一沿x轴负方向传播的平面余弦波 在t 1 3s时的波形如图 且周期T 2s 1 写出O点的振动方程 2 写出该波的波动方程 3 写出Q点的振动方程 4 Q点离O点的距离多大 作业28 一振幅为10cm 波长为200cm的一维余弦波 沿x轴正方向传播 波速为100cm s 在t 0时原点处质点开始从平衡位置沿正位移方向运动 求 1 原点处质点的振动方程 2 在x 150cm处质点的振动方程 作业34 一平面简谐纵波沿着线圈弹簧传播 设波沿着x轴正向传播 弹簧中某圈的最大位移为3 0cm 振动频率为25Hz 弹簧中相邻两疏部中心的距离为24cm 当t 0时 在x 0处质元的位移为零并向x轴正向运动 试写出该波的波动方程 8 一平面简谐波沿x轴正向传播 其振幅和角频率分别为A和 波速为u 设t 0时的波形曲线如图所示 1 写出此波的表达式 2 求距O点分别为 8和3 8两处质点的振动方程 3 求距O点分别为 8和3 8两处质点在t 0时的振动速度 1 2 3 9 一平面简谐波沿Ox轴的负方向传播 波长为 P处质点的振动规律如图所示 1 求P处质点的振动方程 2 求此波的波动表达式 3 若图中 求坐标原点O处质点的振动方程 能解决波的干涉问题 作业30 如图所示 两列平面简谐相干横波 在两种不同的媒质中传播 在分界面上的P点相遇 频率 100Hz 振幅A1 A2 1 00 10 3m S1的位相比S2的位相超前1 2 在媒质1中波速u1 400m s 在媒质2中的波速u2 500m s S1P r1 4 00m S2P r2 3 75m 求 P点的合振幅 作业31 一平面简谐波沿x正向传播 如图所示 振幅为A 频率为 传播速度为u 1 t 0时 在原点O处的质元由平衡位置向y轴正方向运动 试写出该波的波动方程 2 若经界面反射的波的振幅和入射波的振幅相等 试写出反射波的波动方程 并求出在x轴上因入射波和反射波叠加而静止的各点的位置 作业32 在绳上传播的入射波方程为 入射波在x 0处绳端反射 反射端为固定端 设反射波不衰减 求 驻波方程 10 如图所示 两列波长均为 的相干简谐波分别通过图中的O1和O2点 通过O1点的简谐波在M1M2平面反射后 与通过O2点的简谐波在P点相遇 假定波在M1M2平面反射时有相位突变 O1和O2两点的振动方程为y10 Acos t 和y20 Acos t 且 为波长 求 1 两列波分别在P点引起的振动的方程 2 P点的合振动方程 假定两列波在传播或反射过程中均不衰减 y 0 1 2 11 在一根线密度 10 3kg m和张力F 10N的弦线上 有一列沿轴x正方向传播简谐波 其频率 50Hz 振幅A 0 04m 已知弦上离坐标原点x1 0 5m处的质点在t 0时刻的位移为 A 2 且沿轴负方向运动 当传播到x2 10m处固定端时 被全部反射 试求 1 入射波和反射波的方程 2 入射波和反射波迭加波在取间内波腹和波节处各点的坐标 3 合成波的平均能流 3 m m 1 2 m 能解决谐振动和波的能量问题 作业25 一弹簧振子作简谐振动 振幅A 0 20m 如弹簧的倔强系数k 2 0N m 所系物体的质量m 0 50kg