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数学模型 广东医学院数学教研室唐国平 Mathematical Model 你是怎样评价数学的 一门科学只有成功地运用数学时 才算达到了完善的 地步 马克思 数学是理解世界的方法 数学是万物的度量 毕达哥拉斯 自然界的规律是用数学写成的 伽利略 上帝亲手做过的事情 只有通过数学才能理解 开普勒 任何精确的规律几乎都是用数学公式描述的 数学是思维的体操 是科学的语言 是攀登科 技高峰的阶梯 是竞争中强者的翅膀 数学是构筑当代文明的基石 数学不仅是描述现象的方法 而且是探索新 真理的工具 放射性废物的处理问题放射性废物的处理问题 有一段时间 美国原子能委员会 现为核管理委员会 是这样处理浓缩放射性废物的 他们把这些废物装入密 封性能很好的圆桶中 然后扔到水深300英尺的海里 这种做法是否会造成放射性污染 原子能委员会一再保证 圆桶非常坚固 决不会破漏 这种做法是绝对安全的 工程师们却对此表示怀疑 他们认为圆桶在和海底相 撞时有可能发生破裂 究竟谁的意见正确呢 问题的关键在于圆桶到底能承受多大速度的碰撞 圆桶和海底碰撞时的速度有多大 工程师们进行了大量实验 发现圆桶在40英尺 秒的 冲撞下会发生破裂 剩下的问题就是计算圆桶沉入300英 尺深的海底时 其末速度究竟有多大了 圆桶重量 W 527 436磅 圆桶质量 m W g 受到的浮力 B 470 327磅 下沉时受到的阻力 D v 其中C为常数 通过大量实验 测得C 0 08 取一个垂直向下的坐标 以海平面为坐标原点 0 根据牛顿第二定律建立圆桶下沉满足的方程 2 2 d y mWBCv dt 0 0 v W gBW v W Cg dt dv 即 其解为 1 t W Cg e C BW tv 圆桶的下沉时间t难求出 故求v y 形式的解 2 2 1 gd ydv mWdtdt 将方程改写为 0 0 dt dy dy dv dt dv vCvBWv dy dv my 其解为 W gy BW CvBW C BW C v ln 2 借助数值方法求出v 300 的近似值 计 算结果为 v 300 45 1 英尺 秒 40 英尺 秒 工程师们的猜测是正确的 他们打赢了这场 官司 现在 美国原子能委员会已改变了他们处 理放射性废物的方法 并明确规定禁止将放射性 废物抛入海中 本例说明利用数学模型的判断功能成功地 解决了放射性废物处理问题中的争论 谷神星 海王星 冥王星的发现谷神星 海王星 冥王星的发现 1764 德国的提丢斯 找出了一个级数 用来表示 当时已经发现的六颗行星与太阳的距离 波德将提丢斯 的想法作了一些修改 后来人们称之为 提丢斯 波 德 定则 该定则指出 将行星的轨道半径 用天文单位表 示 可根据公式 234 10 1 n R 理想地表示太阳到水星 金星 地球 火星 木星 和土星的轨道半径 为什么 3时没有行星与之对应呢 火星与木星 之间还有别的天体吗 n 10 0 1 2 4 5 水星 金星 地球 火星 木星 土星 n 10 0 1 2 4 5 水星 金星 地球 火星 木星 土星 即即 1801年1月1日夜间 皮亚齐发现了一颗光线黯淡的 新星星 不巧 皮亚齐生病了 病愈后找不到该星体 1802年元旦之夜 人们根据高斯的计算结果终于又 找到了这颗星星 继谷神星发现之后 科学家们又发现了海王星 冥王 星 这些星体的发现都是数学家先通过计算预测出它们 的存在和位置 接着才在空间上找到它们的 数学建模教学和竞赛数学建模教学和竞赛 说到数学建模我们一定要记住一个人 萧树铁先生 关于萧树铁先生 萧老先生出生于1929年 祖籍湖北 年 毕业于清华大学数学系 年北京大学数 学力学系研究生毕业 历任北京大学副教授 清 华大学副教授 教授 博士生导师 应用数学系 主任 国务院学位委员会第二届学科评议组成员 中国数学学会第四届常务理事 高等工业学校 应用数学教材委员会主任 中国工业与应用数学 学会理事长 全国大学生数学建模组织委员会主 任等 擅长应用偏微分方程和渗流理论的研究 萧先生不仅有很高的数学造诣 而且对中西文化 研究有深厚功底 他长期以来倡导大学生的数学 素质教育与人文素质教育 在全国高校享有盛誉 大学应教给学生什么 是创新意识 创新大学应教给学生什么 是创新意识 创新 思维 创新方法 创新能力 创新应是大学的思维 创新方法 创新能力 创新应是大学的 办学理念 也是一所大学的灵魂 而这种被称办学理念 也是一所大学的灵魂 而这种被称 为灵魂的东西 需要教师去传授为灵魂的东西 需要教师去传授 学生考入大学学生考入大学 干什么干什么 要做三件事情要做三件事情 第一第一 学会如何做人学会如何做人 第二第二 学会如何思维学会如何思维 第三第三 学会学会 掌握必要的知识和运用知识的能力掌握必要的知识和运用知识的能力 数学建模教学和竞赛数学建模教学和竞赛 传统的数学教学注重知识传授 强调数学的抽象 性 严密性和系统性 注重培养逻辑推理能力 传统的教学忽略了数学的应用性 忽略了培养 学生运用数学知识解决问题的意识和能力 为了弥补传统数学教学的不足 向学生展示各 种应用领域中的数学问题和数学建模方法 培养学 生应用数学知识解决实际问题的能力 创造一个有 利于加强学生将来从事科研工作和进一步发展的环 境 数学建模课程被引入到大学本科和研究生教育 中 20世纪80年代初 欧美开始 80年代初 中期 国内开始 到80年代末形成了课程的基本内容和案例教学的基 本形式 但总体来说规模不大 90年代 发展迅速的十年 与全国大学生数学建 模竞赛相互促进 最少三四百所学校设课程或讲座 出版了三四十本教材 各校针对具体情况相对稳 定了教学内容和方法 数学建模课程成为当代数学 教育改革的主要方向之一 90年代末至今 一些学校在将数学建模融入主干课 开设数学实验课和数学建模系列课等方面作了许 多改革试验 正在推动数学建模教学的进一步发展 数学建模课程是很年轻的一门课程 我校的建模教学我校的建模教学 起步很晚 2012年5月才在各方共同努力下刚刚诞生 对于我们学校来说 可以算是一个新生的婴儿 成 绩和奇迹都要靠大家去创造 起步很晚 2012年5月才在各方共同努力下刚刚诞生 对于我们学校来说 可以算是一个新生的婴儿 成 绩和奇迹都要靠大家去创造 希望明年的这个时间或者更晚一些时候 我们可以有关 于我校获奖情况的一些谈资 可以亲耳听到我校学子 的深切感受 希望明年的这个时间或者更晚一些时候 我们可以有关 于我校获奖情况的一些谈资 可以亲耳听到我校学子 的深切感受 数学建模实验课程的指导思想是数学建模实验课程的指导思想是 1 以问题为主线以问题为主线 2 以计算机和软件为工具以计算机和软件为工具 3 以学生为中心以学生为中心 4 以培养能力为目标以培养能力为目标 数学建模教学的特点数学建模教学的特点 没有系统的理论或方法 没有标准答案 没有最好 只有更好 国际国际 各方面大力支持 积极响应 2003年的参赛 院校已经发展到11个国家和地区的628队 代表着 282所院校 美国于1985年举办了首届国际大学生数学 建模竞赛 以后每年举行一次 为了推动数学建模教学的开展 人们举办了多 种活动 数学建模竞赛是影响最大的一项活动 国内国内 1992年举行了部分城市大学生数学建模联赛 1993年举行了全国性的大学生数学建模竞赛 1994年起 全国大学生数学建模竞赛成为国家 教 委 育部组织的全国性大学生四大竞赛之一 1990年上海市首次举办了省市级的大学生数学 建模竞赛 竞赛规模 国内 竞赛规模 国内 1992年 年 79所院校的所院校的314个队参加了竞赛个队参加了竞赛 2002年 有年 有30个省及香港的个省及香港的572所院校所院校4448 队参加了竞赛 队参加了竞赛 2004年 有年 有5304队参加甲组竞赛 队参加甲组竞赛 有有1577队参加乙组竞赛 队参加乙组竞赛 2005 年年 795所院校 所院校 8492个队 其中甲组个队 其中甲组6556队 队 乙组乙组1936队 队 25000多名大学生参加竞赛多名大学生参加竞赛 2008 年年 12800个队参加竞赛个队参加竞赛 大学生数学建模竞赛已经成为我国规模 最大的大学生课外科技竞赛活动 大学生数学建模竞赛已经成为我国规模 最大的大学生课外科技竞赛活动 全国大学生数学建模竞赛创办于全国大学生数学建模竞赛创办于1992年 每年一届 目前 已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛 也是世界上 规模最大的数学建模竞赛 年 每年一届 目前 已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛 也是世界上 规模最大的数学建模竞赛 2011 年 来自全国年 来自全国33个省个省 市市 自治区自治区 包括香港和澳门特区包括香港和澳门特区 及新加坡 美国的及新加坡 美国的1251所院校 所院校 19490个队 其中本科组个队 其中本科组 16008队 专科组队 专科组3482队 队 58000多名大学生报名参加本 项竞赛 多名大学生报名参加本 项竞赛 2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 赛题将于竞赛开赛题将于竞赛开 始时 始时 2012年年9月月7日上午日上午8 00 发布在本站 发布在本站 中国大学中国大学 生在线网站 高等教育出版社网站 中国数模网等网站 生在线网站 高等教育出版社网站 中国数模网等网站 建模竞赛网 全国大学生数学 建模竞赛网 广东省参赛情况广东省参赛情况 2001年 23所院校 218个队 62个大专队 参加了竞赛 2001年 23所院校 218个队 62个大专队 参加了竞赛 1994年 37 个队加了竞赛 1994年 37 个队加了竞赛 2003年 71 普通院校38 33 所院校 313个队2003年 71 普通院校38 33 所院校 313个队 2006年 468 队参加了竞赛 2006年 468 队参加了竞赛 竞赛目的 竞赛目的 激励学生学习数学的积极性 提高 学生建立数学模型和运用计算机技术解 决实际问题的综合能力 鼓励学生踊跃 参加课外科技等活动 开拓知识面 培 激励学生学习数学的积极性 提高 学生建立数学模型和运用计算机技术解 决实际问题的综合能力 鼓励学生踊跃 参加课外科技等活动 开拓知识面 培 养创造精神及合作意识 推动大学数学 教学体系 教学内容和方法的改革 养创造精神及合作意识 推动大学数学 教学体系 教学内容和方法的改革 高强度 延续3天3夜 开放式 可以查阅任何资料 可以使用计算机和各种软件 可以调研 但不能请教专家 通讯式 在本校进行 网上发题 合作型 3人一队 共同讨论 分工协 作 最后完成一分论文答卷 竞赛方式 竞赛方式 本科 题目A 连续模型 B 离散模型 任选其一 竞赛特点 竞赛特点 大专 题目C 连续模型 D 离散模型 任选其一 题目来源于实际 内容灵活 给参赛者 较大发挥余地 不要求参赛者预先掌握深入的专门知识 天车与冶炼炉的作业调度 1995 洗衣机节水 1996 投资收益和风险 1998 灾情巡视路线 1998 DNA序列分类 2000 钢管订购计划 2000 公交车调度 2001 基金使用计划 2001 车灯线光源的计算 2002 赛程安排 2002 部分竞赛题 部分竞赛题 论文要求 论文要求 1 模型假设 2 模型建立 3 模型求解 理论分析 算法设计 计算机实现 4 结果分析 误差分析 稳定性分析 5 模型改进 模型的优缺点 改进思路 论文评阅根据假设的合理性 建模的创 新性 结果的正确性和文字表述的清晰性 作为评奖标准 论文评阅根据假设的合理性 建模的创 新性 结果的正确性和文字表述的清晰性 作为评奖标准 数学建模竞赛对数学建模教学起了极大 的推动作用 它使数学建模教学在高等院校 迅速普及 大大激发了学生学习数学的兴趣 和积极性 数学建模竞赛对数学建模教学起了极大 的推动作用 它使数学建模教学在高等院校 迅速普及 大大激发了学生学习数学的兴趣 和积极性 数学建模竞赛对个人的作用 数学建模竞赛对个人的作用 一次刻骨铭心的体验和经历 全面的考查和训练 有助于今后的工作和研究 一次参赛 终身受益 学生的体会学生的体会 数学建模的教学 从千姿百态的原始实 际课题到各种解决方案的内在规律和方法 它具有现代系统科学的坚实理论基础 比其 它传统课程更能激励和训练学生的思维激情 和创造能力 数学建模更多的是一种意识 一种刻骨铭心的应用意识 挑战意识和创新 意识以及现实而客观的态度 似乎从开始读书以来 就几乎如出一辙地 听到师长们苦口婆心的一句话 数学怎么好 可是数学有什么用呢 是简单单的1 1 2运算 呢 还是为了试卷上红红的100分 学了这么多 年数学我不知道数学能做些什么 庆幸的是进 了大学以后 一门新兴的课程彻底改变了我的 观念 这门年轻又充满活力的课程就是数学建 模 以其新鲜 有趣吸引了我 更是以它的挑 战性诱惑了我 我会加油的 数学建模竞赛磨练了我的意志 从拿 到题目时的苦思冥想 到为了做题而奔走 收集数据 再到煞费苦心的模拟编程 其 间我也不知道碰了多少次壁 做了多少弯 路 曾数次产生过放弃比赛的念头 但最 终我却令自己难以置信地坚持下来 在结 束论文的那一刹那 我好象感觉到了一种 久违的欢欣和鼓舞 回首整个赛程 方才 真正体会到苏轼的那句名言 古之成大事 者 不惟有超世之才 亦必有坚忍不拔之 志 的含义 我对数学迷恋由来已久 如果说以前是因为它严密的逻辑 精 确的结论的话 学习了数学建模以后 我更迷恋于它广泛的应用和 强大的功能 高中阶段所做的数学题大都是抽象的计算 那时总渴 望有一天能把所学的知识应用于实际生活 数学建模提供了这样的 天地 我感到它就是数学的心脏 它使我感到了数学的活力 数学 的力量 通过数学建模课程的学习 使我学会了用数学的眼光去观 察身边的事物 我觉得这是最可贵的 走在路灯下 我就想学校这 样安置路灯是否合理 有没有计算过 比如 一盏路灯的照射范围 是多大 两盏路灯之间的距离是多少才合适 如果一盏路灯坏了 时 至少不能让这盏路灯下一片漆黑 到商店买东西 我就想如果 我是老板 我不会缺什么货才进什么货 不会别人卖什么货我就卖 什么货 我会统计什么货卖得最快 定什么价格最能赚钱 怎样合 理分配我的资金 宿舍里的灯是由学校控制的 亮灯和息灯时间是 确定的 有时是阴天 宿舍里很早就暗下来 这时我想能不能找到 一种材料 确定它是否通电与周围光线间的函数关系 根据这种函 数关系研制出一种灯泡 当周围的光线太暗时灯泡就自动亮了 尽管有许多方面我都没有考虑清楚 但这是一个开端 至少培养了 我的观察和想象力 提高了我学习数学的兴趣和应用数学的能力 数模最让人头疼也最吸引人的就是它 对人思想思想的磨砺 既是磨砺 就一定是让 人疼的 除了学习的艰苦 那种苦苦思索 不得其解的煎熬 眼见大限已到却无计可 施的压力 以致数模结束如出地狱 但 是 数学模型实际上是思想模型 每一种 优秀方法的背后都是熠熠闪光的真知灼 见 是用数学语言写出头脑和思想 我常在思考一个问题 通过数学建模比 赛 我们获得了什么 回答是 数学建模带 给我们的并非只是一种过去的荣誉 现在的 知识与智慧 更重要的是对未来人生的奠基 作用 毫不夸张的说 也许我们会在此后的 一生中享受来它的恩泽 数学建模竞赛到底是什么 在我的看法中 它是一个在奋斗中学习与思考 的过程 一个 综合锻炼能力 培养优秀品质的过程 它最 终形成的是一种思维方式 一种透过表象 提取本质的科学研究能力 全国大学生数模竞赛 中国科学技术大学数学系 美国大学生数模竞赛 undergraduate contests 美国数学建模资料 http www mathmodels org 诺贝尔经济学奖与数学 一半以上的获奖者都运用相当深刻的数学工具和 语言 完全因为数学得奖 Debreu Nash Selton rsanyi 数学上涉足非常深 Samuelson Arrow Markowitz Merton Scholes Sen 等数理经济学家 Haavelmo Heckman McFadden 等计量经济学家 运用数学工具和语言来研究经济学是经济学的进步 经济学的数学化是经济学开始成为真正的科学理论的 一个标志 数学是经济学的工具和语言 往往起本质作用 学好 数学为学好和研究经济学提供了非常重要的手段 目前 还有大量经济学问题正有待数学的进一步发 展 才能更好地解决 返回返回 第一章建立数学模型第一章建立数学模型 1 1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型 1 2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义 1 3 数学建模示例数学建模示例 1 4 数学建模的基本方法和步骤数学建模的基本方法和步骤 1 5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类 1 6 数学建模能力的培养数学建模能力的培养 玩具 照片 飞机 火箭模型玩具 照片 飞机 火箭模型 实物模型 水箱中的舰艇 风洞中的飞机 实物模型 水箱中的舰艇 风洞中的飞机 物理模型 地图 电路图 分子结构图 物理模型 地图 电路图 分子结构图 符号模型符号模型 模型模型是为了一定目的 对客观事物的一部分 进行简缩 抽象 提炼出来的 是为了一定目的 对客观事物的一部分 进行简缩 抽象 提炼出来的原型 原型 prototype 的替代物的替代物 模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征中人们需要的那一部分特征 1 1从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型 我们常见的模型我们常见的模型 模型模型 直观模型 物理模型 思维模型 符号模型 数学模型 直观模型 物理模型 思维模型 符号模型 数学模型 具体模型 抽象模型 具体模型 抽象模型 数式模型 图形模型 数式模型 图形模型 在此之前你有没有接触过数学模型呢 在此之前你有没有接触过数学模型呢 你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型 航行问题 航行问题 用用 x 表示船速 表示船速 y 表示水速 列出方程 表示水速 列出方程 75050 75030 yx yx 答 船速为答 船速为20km h 甲乙两地相距甲乙两地相距750km 船从甲到乙顺水航行需 船从甲到乙顺水航行需30h 从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50h 问船的速度是多少 问船的速度是多少 x 20 y 5 求解求解 航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤 作出简化假设 船速 水速为常数 作出简化假设 船速 水速为常数 用符号表示有关量 用符号表示有关量 x y分别表示船速和水速 分别表示船速和水速 用物理定律 匀速运动的距离等于速度乘以 时间 列出数学式子 二元一次方程 用物理定律 匀速运动的距离等于速度乘以 时间 列出数学式子 二元一次方程 求解得到数学解答 求解得到数学解答 x 20 y 5 回答原问题 船速回答原问题 船速为为20km h 数学模型数学模型 Mathematical Model 和 数学建模 和 数学建模 Mathematical Modeling 对于现实世界的一个对于现实世界的一个特定对象特定对象 为了一个 为了一个特定目的特定目的 根据特有的根据特有的内在规律内在规律 作出必要的 作出必要的简化假设简化假设 运用适当的 运用适当的数学工具数学工具 得到的一个 得到的一个数学表述 结构 数学表述 结构 本课程的重点 建立数学模型的全过程 包括表述 求解 解释 检验等 本课程的重点 建立数学模型的全过程 包括表述 求解 解释 检验等 数学模型数学模型 数学 建模 数学 建模 1 2数学建模的重要意义数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展电子计算机的出现及飞速发展 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学以空前的广度和深度向一切领域渗透 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步 越来越受到人们的重视 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步 越来越受到人们的重视 在一般工程技术领域在一般工程技术领域 数学建模仍然大有用武之地数学建模仍然大有用武之地 在高新技术领域在高新技术领域 数学建模几乎是必不可少的工具数学建模几乎是必不可少的工具 数学进入一些新领域 为数学建模开辟了新天地数学进入一些新领域 为数学建模开辟了新天地 数学是一种关键的 普遍的 可以应用的数学是一种关键的 普遍的 可以应用的技术技术 数学数学 由研究到工业领域的由研究到工业领域的技术转化技术转化 对加强 经济竞争力具有重要意义 对加强 经济竞争力具有重要意义 计算和建模计算和建模重新成为中心课题 它们是数学 科学技术转化的主要途径 重新成为中心课题 它们是数学 科学技术转化的主要途径 数学建模的重要意义数学建模的重要意义 数学建模的具体应用数学建模的具体应用 分析与设计分析与设计 预报与决策预报与决策 控制与优化控制与优化 规划与管理规划与管理 数学建模计算机技术 知识经济知识经济 如虎添翼如虎添翼 1 3 数学建模示例数学建模示例 1 3 1椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析问题分析 模 型 假 设 模 型 假 设 四条腿一样长 椅脚与地面点接触 四脚 连线呈正方形 四条腿一样长 椅脚与地面点接触 四脚 连线呈正方形 地面高度连续变化 可视为数学上的连续 曲面 地面高度连续变化 可视为数学上的连续 曲面 地面相对平坦 使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地 地面相对平坦 使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地 通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 模型构成模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形 椅脚连线椅脚连线 的对称性的对称性 x B A D C O D C B A 用用 对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角 表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地 距离是 四只脚着地 距离是 的函数的函数 四个距离四个距离 四只脚四只脚 A C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f B D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g 两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零 正方形正方形ABCD 绕绕O点旋转点旋转 正方形 对称性 正方形 对称性 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 f g 是连续函数是连续函数 对任意对任意 f g 至少一个为至少一个为0 数学 问题 数学 问题 已知 已知 f g 是连续函数是连续函数 对任意对任意 f g 0 且且 g 0 0 f 0 0 证明 存在证明 存在 0 使 使f 0 g 0 0 模型构成模型构成 地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 椅子在任意位置 至少三只脚着地 模型求解模型求解给出一种简单 粗糙的证明方法给出一种简单 粗糙的证明方法 3 由 由 f g 的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数 据连续函数 的基本性质 据连续函数 的基本性质 必存在必存在 0 0 0 0 知 知 f 2 0 g 2 0 2 令 令 h f g 则则 h 0 0 和和 h 2 0 总剂量 总剂量1100 mg药物在药物在t 0瞬间进入胃肠道瞬间进入胃肠道 2 血液系统中药物的排除率与血液系统中药物的排除率与y t 成正比 比例系数成正比 比例系数 0 t 0时血液中无药物时血液中无药物 胃肠道中药量胃肠道中药量x t 血液系统中药量血液系统中药量y t 时间 时间t以 孩子误服药的时刻为起点 以 孩子误服药的时刻为起点 t 0 3 氨茶碱被吸收的半衰期为氨茶碱被吸收的半衰期为5 h 排除的半衰期为 排除的半衰期为6 h 4 孩子的血液总量为孩子的血液总量为2000 ml 模型建立模型建立 x t 下降速度与下降速度与x t 成正比成正比 比例系数比例系数 总剂量总剂量1100mg 药物在药物在t 0瞬间进入胃肠道瞬间进入胃肠道 转移率 正比于 转移率 正比于x 排除率 正比于 排除率 正比于y 胃肠道血液系统胃肠道血液系统 口服药物口服药物 体外体外 药量药量x t 药量药量y t y t 由吸收而增长的速度是由吸收而增长的速度是 x 由排除而减少的速度 与 由排除而减少的速度 与y t 成正比成正比 比例系数比例系数 t 0时血液中无药物时血液中无药物 d 0 0 d y xyy t d 0 1100 d x xx t 模型求解模型求解 d 0 1100 d x xx t 药物吸收的半衰期为药物吸收的半衰期为5 h 1100e t x t ln2 50 1386 1 h 5 1100e1100 2 2 0 5 xx d d y xy t 1100 e t y 0 0 y 药物排除的半衰期为药物排除的半衰期为6 h 1100 ee tt y t 只考虑血液对药物的排除只考虑血液对药物的排除 2 6 ayay e t y ta d d y y t ln2 60 1155 1 h 0 1386 1100e t x t 0 11550 1386 6600 ee tt y t 0510152025 0 200 400 600 800 1000 1200 t h x y mg x t y t 血液总量血液总量2000ml 血药浓度血药浓度200 g ml 结果及分析结果及分析 胃肠道药量 血液系统药量 血药浓度 胃肠道药量 血液系统药量 血药浓度100 g ml y t 200mg 严重中毒严重中毒 y t 400mg 致命致命 t 1 62 t 4 87 t 7 89 y 442 孩子到达医院前已严重中毒 如不及时施救 约3h后将致命 孩子到达医院前已严重中毒 如不及时施救 约3h后将致命 y 2 236 5 施救方案施救方案 口服活性炭使药物排除率口服活性炭使药物排除率 增至原来的增至原来的2倍倍 d 2 1100e 2 236 5 d t z xztxz t 孩子到达医院孩子到达医院 t 2 就开始施救 血液中药量记作就开始施救 血液中药量记作z t 0 13860 2310 1650e1609 5e 2 tt z tt 0 1386 不变 0 1155 2 0 2310 施救方案施救方案 0510152025 0 200 400 600 800 1000 1200 t h x y z mg x t y t z t t 5 26 z 318 施救后血液中药量施救后血液中药量 z t 显著低于显著低于y t z t 最大值低于 致命水平 最大值低于 致命水平 要使要使z t 在施救后 立即下降 可算出 在施救后 立即下降 可算出 至少应为至少应为0 4885 若采用体外血液透析 若采用体外血液透析 可增至可增至0 1155 6 0 693 血液中药量下降更快 临床上是否需要采取这种办 法 当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定 血液中药量下降更快 临床上是否需要采取这种办 法 当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定 数学建模的基本方法数学建模的基本方法 机理分析机理分析 测试分析测试分析 根据对客观事物特性的认识 找出反映内部机理的数量规律 根据对客观事物特性的认识 找出反映内部机理的数量规律 将对象看作将对象看作 黑箱黑箱 通过对量测数据的 统计分析 找出与数据拟合最好的模型 通过对量测数据的 统计分析 找出与数据拟合最好的模型 机理分析没有统一的方法 主要通过机理分析没有统一的方法 主要通过实例研究实例研究 Case Studies 来学习 以下建模主要指机理分析 来学习 以下建模主要指机理分析 二者结合二者结合 用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构 用测试分析确定模型参数用测试分析确定模型参数 1 4数学建模的基本方法和步骤数学建模的基本方法和步骤 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成 模型求解模型求解模型分析模型分析 模型检验模型检验 模型应用模型应用 模 型 准 备 模 型 准 备 了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的 搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征 形成一个 比较清晰 的 形成一个 比较清晰 的 问题问题 模 型 假 设 模 型 假 设 针对问题特点和建模目的针对问题特点和建模目的 作出作出合理合理的 的 简化简化的假设的假设 在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中 模 型 构 成 模 型 构 成 用数学的语言 符号描述问题用数学的语言 符号描述问题 发挥发挥想像力想像力使用使用类比法类比法 尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 模型 求解 模型 求解 各种数学方法 软件和计算机技术各种数学方法 软件和计算机技术 如结果的误差分析 统计分析 模型对数据的稳定性分析 如结果的误差分析 统计分析 模型对数据的稳定性分析 模型 分析 模型 分析 模型 检验 模型 检验 与实际现象 数据比较 检验模型的合理性 适用性 与实际现象 数据比较 检验模型的合理性 适用性 模型应用模型应用 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 数学建模的全过程数学建模的全过程 现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型 现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答 表述表述 求解求解 解释解释 验证验证 演绎 归纳 表述表述 求解求解 解释解释 验证用现实对象的信息检验得到的解答验证用现实对象的信息检验得到的解答 根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和信息将实际问题 翻译翻译 成数学问题成数学问题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答 翻译翻译 回实际对象回实际对象 实践 现 实 世 界 现 实 世 界 数 学 世 界 数 学 世 界 理论实践 1 5数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类 模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性 模型的渐进性模型的渐进性 模型的强健性模型的强健性 模型的可转移性模型的可转移性 模型的非预制性模型的非预制性 模型的条理性模型的条理性 模型的技艺性模型的技艺性 模型的局限性模型的局限性 数学模型的特点数学模型的特点 数学模型的分类数学模型的分类 应用领域应用领域人口 交通 经济 生态 人口 交通 经济 生态 数学方法数学方法初等数学 微分方程 规划 统计 初等数学 微分方程 规划 统计 表现特性表现特性 描述 优化 预报 决策 描述 优化 预报 决策 建模目的建模目的 了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱 确定和随机确定和随机静态和动态静态和动态 线性和非线性线性和非线性 离散和连续离散和连续 1 6 数学建模能力的培养数学建模能力的培养 数学建模与其说是一门数学建模与其说是一门技术技术 不如说是一门 不如说是一门艺术艺术 技术大致有章可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则艺术无法归纳成普遍适用的准则 想像力想像力洞察力洞察力判断力判断力 学习 分析 评价 改进别人做过的模型 学习 分析 评价 改进别人做过的模型 亲自动手 认真作几个实际题目 亲自动手 认真作几个实际题目 参加参加全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛的意义和作用的意义和作用 1992年中国工业与应用数学学会年中国工业与应用数学学会 CSIAM 开始组织开始组织 1994年起教育部高教司和年起教育部高教司和CSIAM共同举办共同举办 每年每年9月月 中国大学生数学建模竞赛 0 200