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文档简介

第四章线性方程组的理论 线性方程组有解的条件线性相关性的理论线性方程组解的结构 在第一章用消元法讨论线性方程组 第一节线性方程组有解的条件 1 的求解问题 第三章中 1 式写成以向量x为未知元的方程 2 定理1 证明 其中 那么 相应的矩阵的 行初等变换将方程组 1 的系数矩阵A和增广 矩阵B分别化成 因为 都是阶梯型矩阵 所以可以看出 而 而初等变换不改变矩阵的秩 所以 由第一章知 线性方程组有解的充要条件是 所以R A R B 定理2n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 推论1当时 齐次线性方程组只有唯一的零解 推论2当时 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 定理3矩阵方程有解的充分必要条件是 例1解齐次线性方程组 解对系数矩阵A作初等变换变为最简形 原方程的同解方程组为 取为自由变量 即得 令 将之写成为通常的参数形式 其中为任意实数 写成列向量形式 例2求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵B进行初等变换 故方程组无解 例3求解非齐次方程组的通解 解对增广矩阵B进行初等变换 故方程组有解 且有 所以方程组的通解为 例4设有线性方程组 1 有唯一解 2 无解 3 有无穷多个解 并在有无穷多个解时求其通解 问为何值时 此线性方程组 解因为方程的个数与未知量的个数相同 故可从系数矩阵的行列式入手讨论 因为 故由克拉默法则知 当 时 当时 写出对应方程组的增广矩阵 方程组有唯一解 并把它化成行阶梯形矩阵 所以方程组无解 当时 所以方程组无解 当时 所以方程组有无穷多个解 取为自由未知量 得原方程组的同解方程组为 即 令为任意常数 则得方程组的通解为 练习1设有线性方程组 解 其通解为 这时又分两种情形 练习2 解证 对增广
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