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第十二章 气体动理论 气体动理论 分子物理学 和热力学都是研究热现象规律的 但两者的观点和采用的方法不同 气体动理论是从微观的角度出发 运用统计的方法 根据物质分子结构 通过分析分子的微观运动 采用统计方法建立宏观量与微观量之间的关系 从而说明物质宏观性质的本质 用来解释从实验中直接观测到的物体的宏观热性质 热力学则是从宏观的角度 以观测和实验事实为依据 主要从能量的观点出发 以实验定律为基础处理热运动中宏观量之间的关系 分析 研究热功转换的关系和条件 以及消耗能量作功等一系列技术性问题 研究对象 热运动 构成宏观物体的大量微观粒子的永不休止的无规则运动 热现象 与温度有关的物理性质的变化 研究对象特征 单个分子 无序 具有偶然性 遵循力学规律 整体 大量分子 服从统计规律 宏观量 表示大量分子集体特征的物理量 可直接测量 如p V T等 微观量 描述个别分子运动状态的物理量 不可直接测量 如分子的m 等 宏观量 微观量 研究方法 1热力学 宏观描述 1 具有可靠性 2 知其然而不知其所以然 3 应用宏观参量 2气体动理论 微观描述 1 揭示宏观现象的本质 2 有局限性 与实际有偏差 不可任意推广 2 标准状态下 1m3的气体约有1025个分子 1mol气体有6 02 1023个分子 3 分子在不停地作热运动 在常温常压下每秒发生几亿次碰撞 4 分子之间有作用力 当分子间距离较小时为斥力 分子间距离较大时为引力 1 气体是由大量分子组成的 气体分子的直径约为10 10m 动画 5 分子之间有间隙 如50l水与50l酒精混合 混合液的体积为97l而不是100l 再如 在2万个大气压下油从钢瓶壁渗出 说明分子之间有间隙 本章学习要点 1 确切理解平衡状态和平衡过程 2 深刻理解理想气体状态方程的物理意义 并能熟练运用 3 掌握气体分子运动论的基本观点和理想气体的分子模型 4 掌握压强公式和温度公式 深刻理解压强和温度微观本质 5 深刻理解能量按自由度均分原理 熟练掌握理想气体内能的计算 6 理解并掌握气体分子热运动的基本特征 麦克斯韦速率分布规律 三种速率 12 1 平衡态理想气体状态方程热力学第零定律 理想气体处于热平衡态下时 各状态参量之间的关系 理想气体是一种理想化的模型 它的模型有两种 宏观模型 温度不太低 压强不太高 微观模型 分子间的作用力不计 分子的体积不计 两种模型是等价的 当气体的压强较低时 气体较稀薄 分子间的距离较大 则分子间的作用力可忽略不计 且分子间的距离远远大于分子本身的线度 分子的体积也可忽略不计 在外界条件一定的情况下 系统内部各处均匀一致 宏观性质不随时间t改变 例如 在一个容器中间 有一隔板 一边为真空 另一边盛有气体 如果外界条件不变的情况下 气体处于热平衡态 当抽出隔板后 右边的气体向左边扩散 气体密度不均匀 气体处于非平衡态 经过一段时间后 内部均匀一致 达到新的热平衡态 1 单一性 p T处处相等 2 物态的稳定性 与时间无关 3 自发过程的终点 4 热动平衡 有别于力平衡 热力学系统的平衡态 热力学系统 thermodynamicsystem 简称系统 system 它是指在给定的范围内 由大量的微观粒子所组成的宏观物体 例如 气缸对所研究的热力学系统能够发生相互作用的其它物体 称为外界或环境 与外界没有任何相互作用的热力学系统 称为孤立系统 isolatedsystem 它只是一个理想的概念 与外界有能量交换 但没有物质交换的热力学系统 称为封闭系统 closedsystem 与外界既有能量交换 又有物质交换的热力学系统 称为开放系统 opensystem 平衡态 equilibriumstate 是指热力学系统内部没有宏观的粒子流动和能量流动的状态 这时系统的各种宏观性质不随时间变化 由于宏观的粒子流动或能量流动是由系统的状态变化或系统受到外界的影响而造成的 因此平衡态也可定义为 对于一个孤立系统 经过足够长时间后 系统必将达到的宏观性质不随时间变化的状态 注意 即使在平衡态下 组成系统的微观粒子仍在不停地作随机运动 只是它们的统计平均效果不存在宏观流动 因此热力学平衡 thermodynamicalequilibrium 是一种动态的平衡 1 压强P 从力学角度描写气体状态的物理量 单位面积的压力 国际单位 牛顿 米2 N m 2 帕 Pa 1Pa 1N m 2 常用单位 大气压 atm 其它单位 厘米汞柱 cmHg 2 体积V 从几何角度描写气体状态的物理量 气体分子活动的空间体积 对于理想气体分子大小不计 分子活动的空间体积就是容器的体积 国际单位 米3 m3 常用单位 升 l 3 温度T 从热学角度描写气体状态的物理量 国际单位 绝对温标Tk 开尔文 常用单位 摄氏温标t 4 摩尔数 气体质量 摩尔质量 单位 摩尔 mol 5 普适气体恒量R 1摩尔气体在标准状态下 或 理想气体 处在热平衡态 理想气体状态方程 理想气体 处在热平衡态 气体定律 质量不变 同种气体 1 理想气体状态方程 单位要配套使用 2 气体定律 方程两边单位统一 k称为玻耳兹曼常量 n N V 为气体分子数密度 3 理想气体物态方程二 令 m表示一个分子的质量 如果物体A和B分别与物体C处于热平衡的状态 那么A和B之间也处于热平衡 实验证明 一般而言 热接触的两个系统都将发生变化 但经过一段时间后 两个系统的状态便不再随时间变化 表明它们已经达到了一个共同的平衡态 我们称这两个系统达到了热平衡 thermalequilibrium 现在 我们用三个热力学系统A B和C来做实验 先用绝热壁将B和C互相隔开 但使它们同时与A热接触 经过足够长时间后 A和B以及A和C都将分别达到热平衡 这时 如果再使B和C热接触 则将发现B和C的状态都不再发生变化 说明B和C也处于热平衡 由此得出结论 如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡 则它们彼此也必定处于热平衡 这称为热力学第零定律 zerothlawofthermodynamics 或热平衡定律 例 一氧气瓶盛有体积为V1 30l 压强为P1 130atm的氧气 若压强下降到P2 10atm 就应停止使用重新灌气 有一车间每天用掉P3 1atm V3 40l的氧气 问这瓶氧气能用几天 设使用中温度不变 解 由理想气体状态方程 有 原氧气瓶内质量 氧气瓶剩余质量 每天使用氧气质量 使用的天数 作业 P20812 512 7 12 5 解 气胎内空气质量不变 内胎容积不变 可看作等容过程 12 7 原氧气瓶内质量 氧气瓶剩余质量 每天使用氧气质量 使用的天数 12 2 物质的微观模型统计规律性 从微观物质结构和分子运动论出发运用力学规律和统计平均方法 解释气体的宏观现象和规律 并建立宏观量与微观量之间的关系 1 气体是由大量分子 或原子 组成 2 分子在不停地作无规则的热运动 3 分子间有相互作用 4 分子可视为弹性的小球 分子数目太多 无法解这么多的联立方程 即使能解也无用 因为碰撞太频繁 运动情况瞬息万变 必须用统计的方法来研究 5 服从牛顿力学 对于单个分子的运动是无规则的 遵守牛顿定律 但对大量的分子则需用统计平均的方法 对大量无规则的事件 进行统计 满足一定的规律性 事件的次数越多 规律性也越强 用 概率 来表示 定义 某一事件i发生的概率Pi Ni 事件i发生的次数 N 各种事件发生的总次数 例如 投掷硬币 有2个面 开始几次出现哪一面朝上是无规律的 但随着投掷的次数越多 出现某一面的概率越接近二分之一 统计规律有以下几个特点 1 对大量偶然事件整体所遵守的规律为统计规律 2 总是伴随着涨落 同样对于分子的无规则的热运动也可用统计平均的方法去找出其内在的规律性 因此分子在各方向运动的概率是相同的 没有哪个方向的运动占优势 播放动画 道尔顿板实验 道尔顿板实验 分子在x方向的平均速度 由于分子沿x轴正向和x轴负向的运动概率是相同的 因此 在x方向上分子的平均速度为0 同样有 分子速度在x方向的方均值 同理 分子速度在y z方向的方均值 由于分子在x y z三个方向上没有哪个方向的运动占优势 所以 分子的三个速度方均值相等 由矢量合成法则 分子速度的方均值为 则 12 3 理想气体的压强公式 压强是由于大量气体分子对容器壁碰撞的结果 例如 篮球充气后 球内产生压强 是由大量气体分子对球壁碰撞的结果 压强公式解释了宏观的压强与微观的气体分子运动之间的关系 设长方形容器的边长分别为x y z 体积为V 其内有N个分子 分子的质量为m 视为弹性小球 速度为v 分子数密度n 单位体积内的分子数 则有 2 分子以vx向A1面碰撞 并以 vx弹回 分子受A1面的冲量 1 跟踪一个分子 某一时刻的速度v在x方向的分量为vx 由牛顿第三定律 A1面受到分子的冲量为 3 分子与A2面发生碰撞后 又与A1面发生碰撞 相继两次对A1面碰撞所用的时间 单位时间内对A1面的碰撞次数为 4 单位时间一个分子对A1面的冲量 即平均冲力 为 5 容器内N个分子对器壁的平均冲力为 6 A1面受到的压强为 体积V为 则压强 上下同乘N得 由 和 压强公式 定义分子平均平动动能 压强公式又可表示为 由气体的质量密度 压强公式又可表示为 1 压强是由于大量气体分子碰撞器壁产生的 它是对大量分子统计平均的结果 对单个分子无压强的概念 2 压强公式建立起宏观量压强P与微观气体分子运动之间的关系 3 分子数密度越大 压强越大 分子运动得越激烈 压强越大 12 4 理想气体分子的平均平动动能与温度的关系 由理想气体状态方程 分子的质量为m 分子数为N 气体质量 摩尔质量 N0为阿伏加德罗常数 一 温度公式 其中 k为玻尔兹曼常数 为分子数密度 再由压强公式 与 温度公式 比较有 1 温度是对大量分子热运动的统计平均结果 对个别分子温度无意义 2 温度是分子平均平动动能的标志 分子运动得越激烈 温度越高 3 不同气体温度相同 平均平动动能相同 4 由P nkT可知标准状况下分子数密度 不同气体在标准状态下的n相同 5 由温度公式可计算某一温度下气体的方均根速率 方均根速率 例 求27 C的空气方均根速率 空气的摩尔质量为29g mol 由 和 解 A 温度相同 压强相同 B 温度 压强都不同 C 温度相同 氦气压强大于氮气压强 D 温度相同 氦气压强小于氮气压强 解 1一瓶氦气和一瓶氮气密度相同 分子平均平动动能相同 而且都处于平衡状态 则 2理想气体体积为V 压强为p 温度为T 一个分子的质量为m k为玻耳兹曼常量 R为摩尔气体常量 则该理想气体的分子数为 A B C D 解 作业 P20712 112 2书上12 812 912 1012 1112 12 12 8 解 太阳中氢原子数密度可表示为 12 9 4 将分子看成是均匀等距排列的 12 10 12 11 12 12 12 5 能量均分定理理想气体内能 在研究气体的能量时 需要确定其物理模型 这个物理模型就是自由度 用自由度模型描写气体能量是有局限性的 对少原子分子气体 在常温下理论值与实验值符合得较好 但对多原子分子或在高温情况下 理论值与实验值相差较大 这得用量子物理方法进行研究 本节我们使用自由度模型和能量均分的统计原理来研究理想气体在常温下的气体能量 自由度是描写物体在空间位置所需的独立坐标数 例如 物体沿一维直线运动 最少只需一个坐标 则自由度数为1 所谓独立坐标数是指描写物体位置所需的最少的坐标数 轮船在海平面上行驶 要描写轮船的位置至少需要两维坐标 则自由度为2 飞机在天空中飞翔 要描写飞机的空间位置至少需要三维坐标 则自由度为3 但对于火车在轨道上行驶时自由度是多少呢 自由度是1 由于受到轨道限制有一维坐标不独立 1 一个质点 描写它的空间位置 需要3个平动自由度 2 两个刚性质点 描写其质心位置需3个平动自由度 描写其绕x y轴转动需2个转动自由度 绕z轴的转动能量可不计 总自由度数 3 三个或三个以上的刚性质点 需3个平动自由度和3个转动自由度 平动自由度 转动自由度 总自由度 对于理想气体在常温下 分子内各原子间的距离认为不变 只有平动自由度 转动自由度 1 单原子分子气体 例如 氦气 He 氖气 Ne 氩气 Ar 等为单原子分子气体 其模型可用一个质点来代替 平动自由度 转动自由度 总自由度 2 双原子分子气体 例如 氢气 H2 氧气 O2 氮气 N2 等为双原子分子气体 其模型可用两个刚性质点模型来代替 平动自由度 转动自由度 总自由度 3 多原子分子气体 例如 二氧化碳气体 CO2 水蒸气 H2O 甲烷气体 CH4 等为多原子分子气体 其模型可用多个刚性质点来代替 平动自由度 转动自由度 总自由度 由温度公式有分子平均平动动能 即在x方向的自由度上平均分配了kT 2的能量 由于分子运动在哪个方向都不占优势 因此 在y z方向的自由度上也都平均分配了kT 2的能量 每个平动自由度上分配了一份kT 2的能量 使平动动能与转动动能不断转换 平动动能 转动动能 使平动动能与转动动能达到相同 即每个转动自由度上也平均分配了kT 2能量 由此可知 分子有i个自由度 其平均动能就有i份kT 2的能量 分子平均动能 由于分子的激烈碰撞 几亿次 秒 分子平均动能 对于理想气体而言 分子间的作用力忽略不计 分子与分子间的势能为0 由于只考虑常温状态 分子内的原子间的距离可认为不变 则分子内原子与原子间的势能也可不计 一个分子的能量为 分子与分子间的势能 分子中原子与原子间的势能 多原子 双原子 1 一个分子的能量为 一个分子的平均平动动能为 一个分子的平均转动动能为 单原子 双原子 多原子 单原子 双原子 多原子 单原子 2 1mol气体分子的能量为 3 m 千克气体的能量为 气体内能 多原子 双原子 单原子 凡例 虚设联想 12 6 麦克斯韦气体分子速率分布律 麦克斯韦是19世纪英国伟大的物理学家 数学家 1831年11月13日生于苏格兰的爱丁堡 自幼聪颖 父亲是个知识渊博的律师 使麦克斯韦从小受到良好的教育 10岁时进入爱丁堡中学学习 14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发表了一篇关于二次曲线作图问题的论文 已显露出出众的才华 1847年进入爱丁堡大学学习数学和物理 1850年转入剑桥大学三一学院数学系学习 1856年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳任自然哲学教授 1860年到伦敦国王学院任自然哲学和天文学教授 1861年选为伦敦皇家学会会员 1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于电磁学的研究成果 完成了电磁场理论的经典巨著 论电和磁 并于1873年出版 1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什实验物理学教授 负责筹建著名的卡文迪什实验室 1874年建成后担任这个实验室的第一任主任 直到1879年11月5日在剑桥逝世 麦克斯韦主要从事电磁理论 分子物理学 统计物理学 光学 力学 弹性理论方面的研究 尤其是他建立的电磁场理论 将电学 磁学 光学统一起来 是19世纪物理学发展的最光辉的成果 是科学史上最伟大的综合之一 单个分子速率不可预知 大量分子的速率分布遵循统计规律 是确定的 这个规律也叫麦克斯韦速率分布律 按统计假设 各种速率下的分子都存在 用某一速率区间内分子数占总分子数的百分比 表示分子按速率的分布规律 1 将速率从分割成很多相等的速率区间 2 总分子数为N 例如速率间隔取100m s 任一速率区间内分子出现的概率为 则可了解分子按速率分布的情况 3 概率 与 v有关 不同v附近概率不同 有关 速率间隔大概率大 f v 为速率分布函数 子数为dN 在该速率区间内分子的概率 写成等式 5 速率分布函数的物理意义 表示在速率v附近 单位速率区间内分子出现的概率 即概率密度 或表示在速率v附近 单位速率区间内分子数占总分子数的百分比 对于不同气体有不同的分布函数 麦克斯韦首先从理论上推导出理想气体的速率分布函数 1860年麦克斯韦推导出理想气体的速率分布律 1 f v v曲线 讨论 2 在dv速率区间内分子出现的概率 3 在f v v曲线下的面积为该速率区间内分子出现的概率 4 在f v v整个曲线下的面积为1 归一化条件 分子在整个速率区间内出现的概率为1 例 试说明下列各式的物理意义 答 由速率分布函数可知 表示在速率v附近 dv速率区间内分子出现的概率 表示在速率v附近 dv速率区间内分子的个数 表示在速率v1 v2速率区间内 分子出现的概率 表示在速率v1 v2速率区间内 分子出现的个数 利用麦克斯韦速率分布率可计算最概然速率 方均根速率 平均速率等物理量 1 最概然速率vP 最概然速率也称最可几速率 表示在该速率下分子出现的概率最大 气体分子各种运动速率都有 在哪个速率下出现的概率最大 即求f v 的极大值对应的速率 将f v 对v求导 令一次导数为0 最概然速率 由 和 讨论 1 vP与温度T的关系 曲线的峰值右移 由于曲线下面积为1不变 所以峰值降低 曲线的峰值左移 由于曲线下面积为1不变 所以峰值升高 2 vP与分子质量m的关系 例 求空气分子在27 C时的最概然速率vP 解 由公式 2 平均速率 气体分

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