郑州大学材料力学09应力分析.ppt

第九章 应力分析强度理论 材料力学 AnalysisofStress TheoryofStrength 第九章应力分析和强度理论 1应力状态概念 3广义虎克定律 4强度理论 2二向应力分析 解析法 2二向应力分析 图解法 1概述 应力不但与点的位置有关 且与过该点的截面方向有关 一点无数截面 同一点各不同方向截面上的应力情况 称为该点的应力状态 StressState 点的应力状态是取单元体分析 一 点的应力状态 低碳钢和铸铁试件受扭后 分别沿横截面和450斜截面破坏 s Introduction 代表构件内一点的几何模型 围绕分析点截取的无限小体 若单元体三对微面应力已知 则过该点任一方向截面应力皆可由截面法求得 任一微面 应力不变 二 单元体 两平行微面 应力相等 相反 性质 三方向尺寸微分长度表示 常取正六面体 从而确定该点应力状态 同一点若截取方向不同 单元体各微面的应力就不同 y 例 画出下列图中的A B C点的单元体 F 应力状态 三 主平面 主应力 主平面 PrincipalPlane 受力构件内过任一点皆有三个主平面 相互垂直 主单元体 PrincipalBody 主应力 PrincipalStress 主平面上的正应力 切应力为零的微面 三主平面围成的单元体 应力状态与强度理论 按代数值大小顺序 和三个主应力 包括零值 可证明 单向应力状态 UnidirectionalStateofStress 一个主应力不为零的应力状态 二向应力状态 PlaneStateofStress 两个主应力不为零的应力状态 三向应力状态 Three DimensionalStateofStress 三个主应力都不为零的应力状态 如 横弯曲构件中大多数点 如 轴向拉压 纯弯曲构件中的点 2平面应力分析 一 任意斜截面上的应力 AnalysisofPlaneStress 同理 化简 x y 符号规则 应力状态与强度理论 拉为正 绕分析对象顺时针正 逆时针为正 求梁中m点300斜截面应力 解 1 取单元体 求出其各微面应力 实际方向 初始表示 例 2 求斜截面应力 3 标于图上 1 1 总是偏于 x y 中代数值较大者 若 二 主应力 主平面 主应力 y 令 上式可求出两 相差 确定二主平面 互相垂直 理论分析可知 两主应力 max min 中代数值较大者 代回 主应力是过一点所有各截面的正应力中的极大 极小值 主平面 三 极值切应力 极值切应力面 与主平面 夹角45度 例1 已知一点应力状态 试求 1 主应力 主平面 2 绘出主应力单元体 3 切应力极值及其作用面 1 主应力 2 主平面 其作用面 与主平面交角45度 3 切应力极值及其作用面 2 如何判断切应力极值作用面上的方向 应力状态与强度理论 3平面应力图解 两式两边平方相加 一 应力圆 StressCircle 此方程曲线为圆 应力圆 R2 a 2 2 ta sa Mohr圆 德 OttoMohr提出 消去参数2 DiagramofPlaneStress 建立应力坐标系 选比例尺 二 应力圆画法 D1 x xy 和D2 y yx 与sa轴交点C即是圆心 以C为圆心 CD1为半径画圆 应力状态与强度理论 x面 y面 量取两点 两点连线 应力圆 简证 以上绘出圆即为应力圆 圆心 半径 即符合应力圆方程 中点 O 一点的坐标值 两点半径夹角2 同一转向 三 图解斜截面应力 sa ta 点面对应 转向相同 转角两倍 E 图解 主应力 最大切应力 D1 sx txy 是应力圆上竖标最大点 上下两极 应是应力圆上横标最大点 左右两极 sy tyx sa ta D2 x微面 例1 求图示单元体1 斜截面应力 2 主应力及主平面位置 坐标系内定出二点 两点连线定圆心C 单元体斜截面与x轴夹角300应力圆从D1同向转600 主应力及主平面 A 20 0 量出 100 得E 32 68 斜截面应力 x微面 半径CD1 绘应力圆 B 120 0 解 例2 受扭构件 分析破坏规律 求主应力 主平面 低碳钢试件沿横截面断开 铸铁试件沿与轴线约成45 螺旋线开 横截面 面 解 确定危险点并画单元体 最大切应力及其作用面 D x面 1 低碳钢圆轴受扭 沿横截面 作用面 断开 2 灰口铸铁圆轴受扭 沿45螺旋面 作用面 断开 铸铁抗拉强度很低 破坏分析 表明由最大切应力引起 剪切破坏 表明由最大拉应力引起 灰口铸铁 例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置 解 一 解析法 观察分析 非典型单元体 主平面 若求出 则可求得 取F微面为x面 MPa 单位 MPa 则E微面为450面 作应力圆 思考 是否还用求相互垂直两微面的应力 2a0 定主应力 主平面 从D2 代表E微面 起转至A点 对应微面 圆之右极 作用面 解 二 图解法 根据F E两微面应力即可作出应力圆 主应力迹线 梁横力弯曲 分析截面上各点主应力大小及方向 单元体 可见 的方向将随点位置不同而变化 s A2 D2 D1 C A1 O t 2a0 s D2 A1 O t 2a0 C D1 A2 2 4 3 应力状态与强度理论 拉力 压力 主应力迹线 StressTrajectories 实线 主拉应力迹线虚线 主压应力迹线 两族曲线 曲线各点切线指示该点的拉 压 主应力方向 主应力方向线的包络线 x q y 主应力迹线画法 主拉应力迹线 主压应力迹线 4三向应力状态 主单元体三个主应力知 任一斜截面应力计算 与三主应力平行的斜截面 所有与平行的截面上 应力都与无关 见图 同样 与 2 3平行的截面 应力分别与 2 3无关 特殊截面 ConceptofTriaxialStress 与都不平行的斜截面 与平行的斜截面 其可用三圆所围阴影区内的点之坐标表示 可证 其可用三个圆周上点之坐标表示 结论 代表单元体任意斜截面上应力的点 必定在三个应力圆圆周或三圆所围区域内 大圆上下两极 显然 单元体所有斜截面应力的极值在最大圆周上 若考虑过该点所有斜截面 应为上式 C1 sx sy 小变形 线弹性 各向同性 只与有关 只与有关 二者互不影响 5广义Hooke定律 复杂应力状态下应力 应变关系 一 线应变 正应力关系 Stress StraininRelation 叠加 同理 分解 sx sy 广义Hooke定律 二 切应变 切应力关系 主应变 主应变 主应力关系 纯剪切状态 sx sy 铝锭密实地置于刚性模具凹座内 求铝块任一点主应力 刚性凹座 铝锭受顶压后横向膨胀受阻 两横向受压 凹座无变形 铝锭横向无应变 联立 铝块内各点受力相同 解 顶部应力 MPa 三 体积应变 体积应变 可见 体积改变只取决于三个主应力之和 或平均值 而与它们之间的大小比例 相对值 无关 应力形式 单位体积的体积改变 变形后 记 平均应力 体积弹性模量 6复杂应力状态下应变能密度 体积改变 形状改变 受力分为两部分 体积改变 形状改变 1 单元体变形看作两部分组成 StrainEnergyDensityunderTriaxialStress 应变能密度可看作两部分组成 体积改变能密度 形状改变能密度 广义Hooke定律代入 1 形状改变比能 一 概述 7强度理论 皆可由实验结果确定 单向拉压 轴拉 梁上下边缘 纯剪状态 扭 梁中性层 复杂应力状态下的强度条件 关于复杂应力状态下 材料发生强度破坏失效 failurebyloststrength 原因的假说 强度理论 强度理论概念 各微面既有 又有 三个主应力比例组合无穷多种 不胜枚举 要按每种比例组合都进行实验以确定其失效值 工作繁重甚至难以实现 复杂应力状态下 完全由实验结果建立强度条件极为困难 TheoryofStrength 两种破坏类型 两方面问题 判断依据 引起破坏失效的主要因素 主应力 应变 能量 2 失效值的确定 技术上可行 可由单向破坏实验确定其失效值 再推用于多向应力状态 各种材料失效现象不同 1 断裂型 强度理论往往针对两种不同类型的破坏分别提出失效准则 强度理论 屈服型 铸铁拉断破坏突然 沿螺旋斜面扭断 低碳钢拉伸屈服流动 沿横截面扭断 1 伽利略最早提出第一强度理论雏形 2 马里奥特关于变形过大引起破坏的论述 是第二强度理论的萌芽 3 杜奎特 C Duguet 提出了最大切应力理论 4 麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论 maximumdistortionenergytheory 长期以来 许许多多种强度理论先后提出 经长期工程实践的检验筛选 一些被扬弃 一些被证实对某类材料或某些受力状态下适用 但目前现有的各种强度理论还不能圆满地解决所有各类强度问题 下面仅对工程计算中应用较广 影响较大的几种强度理论作扼要介绍 强度理论 强度条件 二 四个强度理论 1 最大拉应力 第一强度 理论 认为材料断裂是由最大拉应力引起 无论一点处于何种应力状态 只要最大拉应力达材料的极限值 即会发生脆性断裂 脆断型 断裂准则 失效时 工业发展早期应用较多 铸铁 岩石 混凝土 陶瓷 玻璃等 2 最大伸长线应变 第二强度 理论 认为材料断裂是由最大伸长线应变引起 强度条件 无论一点处于何种应力状态 只要最大伸长线应变达材料的极限值 即会发生脆性断裂 单向 多向 断裂准则 形式上看较全面 与混凝土纵向劈裂纹现象吻合 失效 3 最大切应力 第三强度 理论 屈服准则 屈服型 认为材料屈服是由最大切应力引起 单向 多向 与许多塑性材料试验结果相吻合 J J Guest 钢 铜 铝材薄壁圆管加拉压 扭转 内压 主应力按各种比例组合 失效 4 形状改变比能 第四强度 理论 认为材料屈服是由形状改变应变能引起 无论一点处于何种应力状态 只要形状改变比能达材料的极限值 即会发生塑性屈服 屈服准则 多向 单向 失效 形状改变应变能密度 说明 第三 四强度理论的比较 几何图形表示两个失效准则 比较可知 第三强度理论偏于安全第四强度理论偏于经济 由于以上两个强度理论是针对塑性屈服失效提出 固亦称之为屈服准则 两强度理论的预测值相当接近 而试验数据大多分布在两者之间 二向应力状态 以 表示两个不为零主应力 且不以代数值大小排列 相当应力 四个强度条件的统一形式 强度准则统一形式 例1 图为一点应力状态 按第三 四强度理论建立相应的强度条件 解 三强 四强 扭转实验 钢结构设计规范 用 表示 1 四个强度理论适用范围 脆性材料应采用 三向拉应力相近 三向压缩 塑性材料应采用 即使塑性材料也将以断裂的形式失效 宜采用脆断型强度理论 强度理论 三 强度理论应用 2 强度计算步骤 内力分析 画内力图 确定危险面 应力分析 由危险面应力分布 确定危险点并求主应力 强度计算 选择适当的强度理论 计算相当应力进行强度计算 一般 特殊 即使脆性材料也会出现屈服失效现象 宜采用屈服型强度