概率与数理统计常见分布.doc

离散型1.二项分布Binomial distribution：binom二项分布指的是N重伯努利实验，记为X b(n,p)，E(x)=np,Var(x)=np(1-p)pbinom(q,size,prob)， q是特定取值，比如pbinom(8,20,0.2)指第8次伯努利实验的累计概率。size指总的实验次数，prob指每次实验成功发生的概率dbinom(x,size,prob), x同上面的q同含义。dfunction()对于离散分布来说结果是特定值的概率，对连续变量来说是密度（Density）rbinom(n, size, prob)，产生n个b(size,prob)的二项分布随机数qbinom(p, size, prob),quantile function 分位数函数。分位数：若概率0pZa)=的实数。如t分布的分位数表，自由度f=20和=0.05时的分位数为1.7247。 -这个定义指的是上侧分位数分位数：实数满足0 1 时，分位数是使PX x=F(x)=的数x双侧分位数是使PX2=1-F(2)=0.5的数2。qbinom是上侧分位数，如qbinom(0.95,100,0.2)=27,指27之后P(x=27)=0.95。即对于b(100,0.2)为了达到0.95的概率至少需要27次重复实验。2.负二项分布negative binomial distribution （帕斯卡分布）nbinom掷骰子，掷到一即视为成功。则每次掷骰的成功率是1/6。要掷出三次一，所需的掷骰次数属于集合 3, 4, 5, 6, . 。掷到三次一的掷骰次数是负二项分布的随机变量。dnbinom(4,3,1/6)=0.0334898，四次连续三次1的概率为这个数。概率函数为f(k;r,p)=choose(k+r-1,r-1)*pr*(1-p)k, 当r=1时这个特例分布是几何分布rnbinom(n,size,prob,mu) 其中n是需要产生的随机数个数，size是概率函数中的r，即连续成功的次数，prob是单词成功的概率，mu未知.(mu是希腊字母的读音)3.几何分布Geometric Distribution,geomn次伯努利试验，前n-1次皆失败，第n次才成功的机率dgeom(x,prob),注意这里的x取值是0:n，即dgeom(0,0.2)=0.2,以上的二项分布和负二项分布也是如此。ngeom(n,prob)4.超几何分布Hypergeometric Distribution，hyper它描述了由有限个(m+n)物件中抽出k个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不归还）。概率：p(x) = choose(m, x) choose(n, k-x) / choose(m+n, k) for x = 0, ., k.当n=1时，这是一个0-1分布即伯努利分布，当n接近无穷大时，超几何分布可视为二项分布rhyper(nn,m,n,k),nn是需要产生的随机数个数，m是白球数（计算目标是取到x个白球的概率），n是黑球数，k是抽取出的球个数dhyper(x, m, n, k)5.泊松分布 Poisson Distribution,poisp(x) = lambdax exp(-lambda)/x!for x = 0, 1, 2, . The mean and variance are E(X) = Var(X) = . x ()泊松分布的参数是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率.泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等.rpois(n, lambda)dpois(x,lambda)连续型6.均匀分布 Uniform Distribution，uniff(x) = 1/(max-min) for min = x = max.runif(n,min,max).生成16位数的随机数：as.character(runif(1,1000000000000000,9999999999999999)dunif(x,min,max)=1,恒定等于1/(max-min).对于连续变量，dfunction的值是x去特定值代入概率密度函数得到的函数值。7.正态分布Normal Distribution，normf(x) = 1/(sqrt(2 pi) sigma) e-(x - mu)2/(2 sigma2)其中mu是均值，sigma是standard deviation标准差理论上可以证明如果把许多小作用加起来看做一个变量,那么这个变量服从正态分布rnorm(n,mean=0,sd=1)后两个参数如果不填则默认为0,1。dnorm(x,mean,sd),sd是标准差。画出正态分布概率密度函数的大致图形：x-seq(-3,3,0.1)plot(x,dnorm(x) plot中的x,y要有相关关系才会形成函数图。qnorm(p,mean,sd),这个还是上侧分位数，如qnorm(0.05)=-1.644854,即x= 0, a 0 and s 0.Gamma分布中的参数，称为形状参数（shape parameter），即上式中的s，称为尺度参数（scale parameter）上式中的aE(x)=s*a, Var(x)=s*a2. 当shape=1/2,scale=2时，这样的gamma分布是自由度为1的开方分布/wiki/File:Gamma_distribution_pdf.pngdgamma(x,shape,rate=1,scale=1/rate), 请注意R在这里提供的rate是scale尺度参数的倒数，如果dgamma(0,1,2)则表示dgamma(0,shape=1,rate=2),而非dgamma(0,shape=1,scale=2)pgamma(q, shape, rate = 1, scale = 1/rate, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)qgamma(p, shape, rate = 1, scale = 1/rate, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)rgamma(n, shape, rate = 1, scale = 1/rate)9.指数分布Exponential Distribution，exp指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。记作X Exponential（）。f(x) = lambda e(- lambda x) for x = 0.其中lambda 0是分布的一个参数，常被称为率参数（rate parameter）. E(x)=1/,Var(x)=1/2dexp(x, rate = 1, log = FALSE)pexp(q, rate = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)qexp(p, rate = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)rexp(n, rate = 1)假设在公交站台等公交车平均10分钟有一趟车，那么每小时候有6趟车，即每小时出现车的次数 Exponential(1/6)我们可以产生10个这些随机数看看rexp(10,1/6)60/(rexp10,1/6)即为我们在站台等车的随机时间，如下：1 6.443148 24.337131 6.477096 2.824638 15.184945 14.5949037 7.133842 8.222400 42.609784 15.182827可以看见竟然有一个42.6分钟的随机数出现，据说这种情况下你可以投诉上海的公交公司。不过x符合指数分布，1/x还符合指数分布吗？pexp(6,1/6)=0.6321206, 也就是说这种情况下只有37%的可能公交车会10分钟以内来。按照以上分析一个小时出现的公交车次数应该不符合指数分布。10.卡方分布(non-central)Chi-Squared Distribution，chisq它广泛的运用于检测数学模型是否适合所得的数据，以及数据间的相关性。数据并不需要呈正态分布k个标准正态变量的平方和即为自由度为k的卡方分布。E(x)=k,Var(x)=2k.dchisq(x, df, ncp=0, log = FALSE)pchisq(q, df, ncp=0, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)qchisq(p, df, ncp=0, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)rchisq(n, df, ncp=0)其中df为degrees of freedom。ncp是non-centrality parameter (non-negative).ncp=0时是central卡方分布，ncp不为0时，表示这个卡方分布是由非标准正态分布组合而成，ncp=这些正态分布的均值的平方和。11.分布Beta Distribution，beta变量x仅能出现于0到1之间。空气中含有的气体状态的水分。表示这种水分的一种办法就是相对湿度。即现在的含水量与空气的最大含水量（饱和含水量）的比值。我们听到的天气预告用语中就经常使用相对湿度这个名词。相对湿度的值显然仅能出现于0到1之间（经常用百分比表示）。冬季塔里木盆地的日最大相对湿度和夏季日最小相对湿度。证实它们都符合贝塔分布dbeta(x, shape1, shape2, ncp = 0, log = FALSE)pbeta(q, shape1, shape2, ncp = 0, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)qbeta(p, shape1, shape2, ncp = 0, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)rbeta(n, shape1, shape2, ncp = 0)shape1，shape2是beta分布的两个参数。E(x)=s1/(s1+s2),var(x)=s1*s2/(s1+s2)2 * (s1+s2+1)12.t分布Student t Distribution，t应用在当对呈正态分布的母群体的均值进行估计。当母群体的标准差是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t 分布。学生t 分布可简称为t 分布。其推导由威廉戈塞于1908年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student）这一笔名。之后t 检验以及相关理论经由罗纳德费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。dt(x, df, ncp, log = FALSE)pt(q, df, ncp, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)qt(p, df, ncp, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)rt(n, df, ncp)其中df是自由度，ncp是non-centrality parameter delta，If omitted, use the central t distribution。ncp出现时表示分布由非标准