湖南省师范大学附属中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题文（含解析）.docx

湖南师大附中2018-2019学年度高二第二学期期中考试数学（文科）第卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合补集的定义，求出A的补集即可【详解】全集U1，0，1，2，3，4，A1，0，2，4，UA1，3故选：C【点睛】本题考查了补集及其运算，熟练掌握补集定义是解本题的关键2.函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的性质以及分母不是0，求出函数的定义域即可【详解】由题意得：，解得：x1且x2，故函数的定义域是1，2）（2，+），故选：A【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题3.设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则方程的根落在区间（ ）A. B. C. D. 不能确定【答案】B【解析】，该方程的根所在的区间为。选B4.如果直线与直线互相平行，那么的值等于（ ）A. -2B. C. -D. 2【答案】D【解析】【分析】根据它们的斜率相等，可得1，解方程求a的值【详解】直线ax+2y+10与直线x+y20互相平行，它们斜率相等，1a2故选D【点睛】本题考查两直线平行的性质，熟知两直线平行则斜率相等是解题的关键，属于基础题5.如图的程序运行后输出的结果为（ ）A. -17B. 22C. 25D. 28【答案】B【解析】【分析】根据流程图，先进行判定是否满足条件x0？，满足条件则执行xy3，不满足条件即执行yy+3，最后输出xy即可【详解】程序第三行运行情况如下：x5，不满足x0，则运行y20+3-17最后x5，y-17，输出xy22故选：B【点睛】本题主要考查了伪代码，条件结构，模拟程序的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题6.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是（ ）A. 异面B. 相交C. 平行D. 平行或重合【答案】C【解析】【分析】由题意设l，a，a，然后过直线a作与、都相交的平面，利用平面与平面平行的性质进行求解【详解】设l，a，a，过直线a作与、都相交的平面，记b，c，则ab且ac，由线面平行的性质定理可得bc又b，c，c又c，l，clal故选：C【点睛】本题考查平面与平面平行的性质、线面平行的判定定理及性质定理的应用，解题的关键是熟练运用定理，属于基础题7.在中，已知， ，则的值为（ ）A. B. C. 或D. 【答案】A【解析】【分析】运用同角的平方关系，可得sinA，sinB，再由两角和的余弦公式，计算所求值【详解】ABC中，cosA，cosB，即有sinA，sinB，则cos（A+B）cosAcosBsinAsinB故选：A【点睛】本题考查两角和的余弦公式的运用，考查同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于基础题8.要从已编号（160）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（ ）A. 5，10，15，20，25，30B. 3，13，23，33，43，53C. 1，2，3，4，5，6D. 2，4，8，16，32，48【答案】B【解析】试题分析：系统抽样，要从60个个体中抽取容量为6的样本，确定分段间隔为，第一段1-10号中随机抽取一个个体，然后编号依次加10得到其余个体，构成样本考点：系统抽样点评：系统抽样的特点：被抽取的各个个体间隔相同，都为109.取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于的概率是（ ）A. B. C. D. 不确定【答案】A【解析】【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，分析题意从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值【详解】记“两段的长都不小于2m”为事件A，将长度为5m的绳子依次分成2m、1m 、2m的三段，若符合剪得两段的长都不小于2m，则只能在中间1m的绳子上剪断， 所以事件A发生的概率故选：A【点睛】本题主要考查概率中的几何概型长度类型，关键是找出两段的长都不小于2m的界点来10.已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据关于x的方程有实根，可知方程的判别式大于等于0，找出，计算出cos，可得答案【详解】，且关于x的方程有实根，则，设向量的夹角为，cos，故选：B【点睛】本题主要考查平面向量数量积的逆应用，即求角的问题，涉及二次方程根的问题，属于基础题二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分11.已知，且，则的最大值是_【答案】4【解析】【分析】由基本不等式可得mn4，注意等号成立的条件即可【详解】m0，n0，且m+n4，由基本不等式可得mn4，当且仅当mn2时，取等号，故答案为：4【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题12.已知函数，则的值为_【答案】【解析】【分析】先求出f（）2，从而f（f（）f（2），由此能求出结果【详解】函数 f（x），f（）2，f（f（）f（2）22故答案为【点睛】本题考查分段函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数解析式的合理运用13.等差数列中，则数列的公差为_【答案】6【解析】【分析】根据题意和等差数列的性质、通项公式直接求出公差d【详解】因为等差数列an中，a33，a833，所以公差d6，故答案为：6【点睛】本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题14.不等式解集是_【答案】【解析】【分析】利用正弦函数的图象与性质即可求得答案【详解】sinx，2kx2k（kZ），不等式sinx的解集为x|2kx2k，kZ故答案为：2k2k(kZ)【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质的应用，属于中档题15.如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是_【答案】.【解析】【分析】由题意可知，PO平面ABCD，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积【详解】如图，正四棱锥PABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，PO底面ABCD，且POR，SABCD2R2，所以2 R2R，解得：R2，球O的表面积：S4R216，故答案为：16【点睛】在求一个几何体的外接球表面积（或体积）时，关键是求出外接球的半径，通常有如下方法：构造三角形，解三角形求出R；找出几何体上到各顶点距离相等的点，即球心，进而求出R；将几何体补成一个长方体，其对角线即为球的直径，进而求出R三、解答题：本大题共5个小题，共40分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.已知函数.（1）证明：在上是减函数；（2）当时，求的最大值和最小值【答案】（1）见解析.（2）在x=1处取得最大值1，在x=-5处取得最小值35,.【解析】本试题主要考查了函数单调性和最值的运用。第一问中，利用定义法或者导数法可以判定单调性，得到在上是减函数（2）中利用第一问中的结论，结合单调性可知函数的最大值和最小值分别在x=1,x=-5处取得。解：（1）方法一、定义法略方法二、导数法因可见函数在上是减函数;命题得证。（2）由（1）可知，函数先增后减，并且在x=1处取得最大值，因此f(1)=1，在x=-5处取得最小值为f(-5)=-35,故可知最小值为-35，最大值为117.在等比数列中，其前项和记为，若，求公比，首项及项数.【答案】【解析】【分析】由题意易得公比q的值，进而可得a1，再由求和公式可得n的方程，解方程可得【详解】由题意等比数列an的公比q满足q327，解得q3，a3a1a1（q21）8a18，解得a11，由求和公式可得Sn13，解得n3【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的应用，属基础题18.已知正方体.（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成的角【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出四边形C1D1AB是平行四边形，从而AD1C1B，由此能证明AD1平面C1BD（2）由BDB1D1，得AD1B1是异面直线AD1与BD所成的角，由此能求出异面直线AD1与BD所成的角【详解】（1）正方体ABCDA1B1C1D1C1D1A1B1，C1D1A1B1，又ABA1B1，ABA1B1，C1D1AB，C1D1AB，四边形C1D1AB是平行四边形，AD1C1B，C1B平面C1BD，AD1平面C1BD，AD1平面C1BD（2）BDB1D1，AD1B1是异面直线AD1与BD所成的角，AD1D1B1AB1，AD1B160，异面直线AD1与BD所成的角为60【点睛】本题考查了线面平行的判定定理的应用及异面直线所成角的求法，考查了空间思维能力的训练，属于基础题19.已知函数，.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的最大值和最小值【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为-1.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简函数的解析式，由此求得最小正周期（2）由（1）得到的表达式，结合当x，时，求出相位的范围，再根据正弦函数的图象与性质的公式，即可得到函数的最大值与最小值【详解】（1）.所以，的最小正周期.（2）因为x，则当时，即x=时，取得最大值，为，当时，即x=时，取得最小值，为，故函数在区间上的最大值为，最小值为-1.【点睛】本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，余弦函数的性质及和差角公式在求值中的应用，属于基础题20.已知直线：，一个圆的圆心在轴上且该圆与轴相切，该圆经过点（1）求圆的方程；（2）求直线被圆截得的弦长【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意设圆心，半径，将点代入圆C的方程可求得a，可得圆的方程；（2）求出圆心C到直线l的距离d，利用勾股定理求出l被圆C所截得弦长【详解】（1）圆心在轴上且该圆与轴相切，设圆心，半径，设圆的方程为，将点代入得， 所求圆的方程为.（2）圆心到直线：的距离，直线被圆截得的弦长为.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及圆的方程的应用问题，考查了垂径定理的应用，是基础题第卷一、填空题：本大题共2小题，每小题6分，共12分21.如图所示，图是棱长为1的小正方体，图，是由这样的小正方体摆放而成按照这样的方法继续摆放，由上而下分别将第1层，第2层，第层的小正方体的个数记为，解答下列问题：（1）按照要求填表：1234136_（2）_【答案】 (1). 10 (2). 【解析】【分析】（1）图有1层，共1个正方体，图有2层，共个正方体，图有3层，共+3个正方体，依次类推，第4个图有4层，共个正方体.（2）由（1）猜想：第个图有层，共个正方体.【详解】（1）图有1层，第1层正方体的个数为；图有2层，第2层正方体的个数为；图有3层，第3层正方体的个数为；依次类推，第4个图有4层，第4层正方体的个数为.（2）由（1）猜想：第个图有层，第层正方体的个数为.【点睛】本题考查了图形规律性的变化情况，考查了归纳推理的能力，属于基础题.22.函数（）的所有零点之和为 【答案】【解析】试题分析：转化为与在的交点的和，因为两个函数均关于对称，所以两侧的交点对称，且关于对称，那么对称点的和为2，分别画出两个函数的图像两侧分别有5个交点，所以考点：函数图像的应用二、解答题：本大题共3小题，共38分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤23.已知函数，（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含1，1，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）分，三种情况解不等式；（2）的解集包含，等价于当时，所以且，从而可得试题解析：（1）当时，不等式等价于.当时，式化为，无解；当时，式化为，从而；当时，式化为，从而.所以的解集为.（2）当时，.所以的解集包含，等价于当时.又在的最小值必为与之一，所以且，得.所以的取值范围为.点睛:形如(或)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为， (此处设)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集(2)图像法：作出函数和图像，结合图像求解24.已知函数,其中.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）若不等式在定义域内恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：）当时， ，求出，利用直线方程的点斜式可求求曲线在点处的切线方程；（）函数定义域为，且 对进行分类讨论，可求实数的取值范围.试题解析：（）当时， 则，又 曲线在点处的切线方程为： （）函数定义域为，且 下面对实数进行讨论：当时，恒成立，满足条件当时，由解得，从而知函数在内递增；同理函数在内递减，因此在处取得最小值 ，解得 综上：当时，不等式在定义域内恒成立. 25. （2013浙江）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（）求抛物线C的方程；（）过F作直线交抛物线于A、B两点若直线OA、OB分别交直线l：y=x2于M、N