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现代控制理论 孙金生办公室 自动化学院401电话 84315467 401Email JSSUN67 Y 现代控制理论的组成 线性系统理论最优控制最优估计与滤波系统辨识自适应控制 线性系统理论 第一章状态空间分析法 1 1状态空间描述的基本概念 状态系统运动信息的集合称为状态 状态变量能够唯一确定系统状态的一组独立 数目最少的 变量 1 1状态空间描述的基本概念 如何选取状态变量 可根据初始条件选取一个用n阶微分方程描述的系统当n个初始条件输入u t 给定时 可唯一确定系统将来的状态 1 1状态空间描述的基本概念 对于确定系统动态行为来说 一组独立的状态变量既是必要的 也是充分的 当变量个数少于n 便不足以确定系统状态 当变是个数多于n 必有不独立变量 对于确定系统状态是冗余的 1 1状态空间描述的基本概念 状态向量把描述系统状态的n个状态变量看作向量x t 的分量 则x t 称为n维状态向量 1 1状态空间描述的基本概念 状态空间以n个状态变量作为坐标轴所构成的空间称为n维状态空间 1 1状态空间描述的基本概念 状态方程状态变量的一阶导数与状态变量 输入变量的关系称为状态方程 n阶系统的状态方程是n个联立的一阶微分方程或差分方程 由于所选状态变量不同 于是状态方程也不同 故系统的状态方程也是不唯一的 1 1状态空间描述的基本概念 状态方程般表达式为 1 1状态空间描述的基本概念 记成向量 矩阵形式为 1 1状态空间描述的基本概念 多输入 含p个输入变量 线性定常连续系统的状态方程一般表达式为 1 1状态空间描述的基本概念 记成向量 矩阵形式为 1 1状态空间描述的基本概念 输出方程系统输出变量与状态变量 输入变量的关系称为输出方程 1 1状态空间描述的基本概念 记成向量 矩阵形式为 1 1状态空间描述的基本概念 状态空间表达式状态方程 输出方程的组合称为状态空间表达式 简称动态方程 1 1状态空间描述的基本概念 状态空间分析法以状态向量描述 分析系统性能的方法称为状态空间分析法 1 2线性定常连续系统动态方程的建立 一 物理系统动态方程的建立二 由系统微分方程或传递函数建立动态方程三 由微分方程或系统传递函数建立标准形动态方程 一 物理系统动态方程的建立 设机械位移系统如图所示 力F及阻尼器汽缸速度v为两种外作用 给定输出量为质量块的位移x及其速度 加速度 图中m k f分别为质量 弹簧刚度 阻尼系数 试求该双输入 三输出系统的动态方程 双输入一三输出机械位移系统 建立过程 据牛顿力学 外力由惯性力 阻尼力 弹簧恢复力kx平衡 故有显见为二阶系统 若已知质量块伪初始位移及初始速度 该微分方程在输入作用下的解便唯一确定 建立过程 据牛顿力学 外力由惯性力 阻尼力 弹簧恢复力kx平衡 故有显见为二阶系统 若已知质量块伪初始位移及初始速度 该微分方程在输入作用下的解便唯一确定 建立过程 故选x和作为状态变量 建立过程 其向量 矩阵形式为 状态变量图 将状态方程中的每个一阶微分方程用图解来表示 即每个一阶微分方程的左端诸项之和 构成了状态变量的导数 经积分可得该状态变量 最终按照系统中各状态变量的关系连接成封闭的图形 便是状态变量图 二 由系统微分方程或传递函数建立动态方程 试求出用三阶微分方程表示的系统的状态方程 选择系统的状态变量为 其向量 矩阵形式为 设系统数学模型如图所示传递函数结构图给定 试确定系统的状态空间表达式 传递函数结构图可变换为 取拉氏反变换可得状态方程 三 由微分方程或系统传递函数建立标准形动态方程 对于给定的系统微分方程或系统传递函数 寻求对应的动态方程而不改变系统的输入 输出特性 称此动态方程是系统的一个状态空间实现 由于所选状态变量不同 其动态方程也不同 故其实现方法有多种 为便于揭示系统内部的重要结构特性 导出标准形实现最有意义 三 由微分方程或系统传递函数建立标准形动态方程 1 可观测标准形实现 微分方程含有输入导数项 为使状态方程中不含输入导数项 可如下选择一组状态变量 设 1 可观测标准形实现 其展开式为 1 可观测标准形实现 考虑系统的微分方程 可得 1 可观测标准形实现 故有状态方程 输出方程为 1 可观测标准形实现 其向量 矩阵形式为 请大家注意矩阵A c的形状特征 若动态方程中的A c具有该形式 便有可观测标准形之称 由微分方程导出的上述动态方程 称可观测标准形实现 2 可控标准形实现 将传递函数G s 分解为两部分相串联 并引入中间交量z s 2 可控标准形实现 由第一个方块可导出以u作为输入 z作为输出的不含输入导数项的微分方程 由第二个方块可导出系统输出量可表为z及其导数的线性组合 定义如下一组状态变量 2 可控标准形实现 可得状态方程 输出方程为 2 可控标准形实现 其向量矩阵形式为 请大家注意矩阵A b的形状特征 这种A阵称友矩阵 若状态方程中的A b具有该形式 便有可控标准形之称 由微分方程导出的如上所示的动态方程 称可控标准形实现 2 可控标准形实现 注意到可控 可观测两种标准形实现动态方程中两矩阵存在下列关系 上述关系称为对偶关系 两种实现中的A b c矩阵 其元素均与微分方程或传递函数中的常系数有关 故由微分方程或传递函数可直接列写出可控 可观测标准形实现的动态方程 3 G s 的对角形实现 当G s 只含相异实极点时 除了可化为可控 可观测标准形实现以外 还可以化为对角形实现 其A阵是一个对角阵 设D s 的因式分解为 则G s 可展开成部分分式之和 3 G s 的对角形实现 若令状态变量为 3 G s 的对角形实现 展开可得 3 G s 的对角形实现 向量 矩阵形式为 4 G s 的约当形实现 当G s 不仅含有相异实极点 还含有相同实极点时 除了可化为可控 可观测标准形实现以外 还可化为约当形实现 其A阵是一个含约当块的矩阵 4 G s 的约当形实现 设D s 的因式分解为 则G s 可展成下列部分分式之和 4 G s 的约当形实现 取状态变量 4 G s 的约当形实现 4 G s 的约当形实现 向量 矩阵形式为 1 2线性定常连续系统动态方程的建立 四 动态方程的线性变换当选取不同状态变量时 为实现既定系统微分方程或系统传递函数的动态方程也不同 若两种实现之间的状态变量用一