追求数学教育的本来面目（章建跃）.ppt

追求数学教育的本来面目 人教社中数室章建跃 感悟数学的 本来面目 毕达哥拉斯学派 宇宙的实体有两个 一个是数字 万物皆数 数的存在是有限方面的实体 一个是无限的空间 空间的存在是无限方面的实体 数字跟空间结合在一起就产生出宇宙万象 19世纪伟大的法国数学家傅里叶说 数学可以用来决定最一般的规律 同时也可以量度时间 空间 温度 所以数学跟大自然一样广泛 丰富 和大自然走的是相同的轨道 也共同见证着宇宙的包容 简洁 稳定 丘成桐先生说 调和的思想也可说贯穿了古代数学直到近代数学的发展 数学的美 使我们与大自然更为接近 大自然的美开阔了我们的胸襟 加深了我们的视野 很幸运的是 自然界的真理往往是极为美妙的 所以从数学的美选择出来的方程 选择出来的图形 往往能够解释大自然里的真理 我的粗浅领悟 数学与大自然同构 数学与哲学相通 数学是思维的科学因而数学又是一门 内心科学 数学不仅能证明大自然的真理 而且能解释人的内心世界 这就是数学的本来面目 也是数学内在力量之所在 我们要不断地问自己 数学的本来面目是什么 数学教育的本来面目是什么 我们要不断求索的是数学教育内在的本质在哪里 永恒不变的究竟是什么 万变不离其宗的 宗 在哪里 旧典时式 将永恒不变的本真用符合时代精神的方式表达出来 这就是不断接近本来面目的过程 也就是改革的过程 一 三个理解 是基石 理解数学 理解学生 理解教学 三个理解 的内涵 掌握丰富的数学学科知识 中小学数学课程结构体系 教学重点的知识 学生数学学习难点的知识 关于重点知识的教学解释的知识 关于评估学生的知识理解水平的知识 等 特别是 内容所反映的数学思想方法 的理解水平决定了教学所能达到的水平和效果 例 为什么说在有理数乘法法则的教材设计中 渗透了数系扩充的基本思想 原有数系的运算和运算律保持不变 例 理解有理数的意义 重点是理解负有理数的意义 那么 难点在哪里 难点是用正数 负数表示具有相反意义的量时 描述向指定方向变化的情况 即 向指定方向变化用正数表示 向指定方向的相反方向变化用负数表示 这与学生的日常经验有一定的矛盾 需要一个 心理转换 把 体重减少1kg 转换为 体重增长 1kg 需要对 负 与 正 的相对性有较好的理解 例在 二元一次方程组 的学习中 学生在认知上会有哪些问题 应如何化解 二 高度重视教学目标的制定 当前 教学目标的表达比较混乱 五花八门 三维目标 成为时髦 也有按 知识技能 数学思考 问题解决 情感态度 的 也有按 知识 技能 能力 价值观 的 等等 三维目标 的理解 三维目标 是课程目标的设计思路 是同一学习过程中的三个心理维度 不是教学目标的维度 教学目标取决于教学内容的特点 要在 三个维度 的指导下 综合考虑学段目标 内容特点和学情来确定 课堂教学不是为了体现课程目标的 三个维度 而存在 而是要具体而扎实地把课程内容传递给学生 促进学生健康发展 数学教学目标系统 教育方针 学校一切学科的目标 课程目标 宏观目标 要付出大量时间和精力 经过长期努力才能实现的学习结果 包含多方面的 更为具体的目标 由课程专家制定 用 总体目标 学段目标 的方式呈现 单元目标 中观目标 用于计划需要几周或几个月的时间学习的单元 是课程目标的具体化 例如 理解有理数加法法则 就是一个单元目标 由课程专家制定 课标中 内容标准 中所列的都是单元目标 课堂教学目标 微观目标 专注于具体内容的学习 只处理细节 它们在计划日常教学中发挥作用 例如 理解有理数的加法法则 这一单元目标要具体化为 1 能借助实际事例解释有理数加法法则 2 会根据有理数加法法则计算两个有理数和 由教师根据课标要求和本班学生实际制定 三 大力提高概念教学水平 1 当前概念教学的问题概念教学走过场 常常采用 一个定义 三项注意 的方式 在概念的背景引入上着墨不够 没有给学生提供充分的概括本质特征的机会 以解题教学代替概念教学 学生在数学上耗费大量时间 精力 结果可能是对数学的内容 方法和意义知之甚少 有些老师不知如何教概念 2 教概念的意义 李邦河院士 数学根本上是玩概念的 不是玩技巧 技巧不足道也 数学是思维的科学 概念是思维的细胞 概念不理解 其他一切都免谈 因此 概念教学是最基本也是最重要的 3 概念教学的核心 概念教学的核心是概括 将凝结在数学概念中的数学家的思维打开 以典型丰富的实例为载体 引导学生展开观察 分析各事例的属性 抽象概括共同本质属性 归纳得出数学概念 4 概念教学的基本环节 概念的引入 借助具体事例 从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念 内涵的概括 提供典型丰富的具体例证 进行属性的分析 比较 综合 概括不同例证的共同特征 概念的明确 下定义 给出准确的数学语言描述 文字的 符号的 概念的辨析 以实例为载体分析关键词的含义 恰当使用反例 概念的巩固 用概念作判断的具体事例 形成用概念作判断的具体步骤 概念的应用 纳入概念系统 建立与相关概念的联系 例数轴概念的教学设计 一 内容和内容分析内容 数轴的概念 用数轴上的点表示数 点与数的一一对应 内容分析 数形结合思想的产物 由此 数的概念和运算与位置 方向 距离相统一 使数的语言得到了几何解释 数有了直观意义 有助于数的概念的理解 还可以从中得到启发而提出新的问题或结论 如相反数 绝对值等 数轴上的点表示实数的本质 实数与数轴上的点一一对应 存在性 唯一性 这样要求的意义 等价性 将问题转化后所得到的结论就是原问题的结果 需要学生逐渐体会 在这样的要求下 明确规定原点 方向和单位长度 三要素 是必须而且自然的 数轴的 三要素 与实数集的 三要素 原点0 原点和0的 基准 作用 单位长度1 单位 的 标准 作用 方向符号 方向 长度 是标记 空间位置差别 的两个要素 数轴的方向 左 右 具有 相反意义 对应于负数 正数 教学重点是 体会数轴的三要素 体会用数轴上的点表示数的合理性 二 目标和目标解析 目标 1 能用数轴上的点表示有理数 2 能借助具体实例 解释数轴三要素的作用 目标解析 目标 1 属于 理解 层次 是指学生能画出数轴并找到表示给定数的点 目标 2 也属 理解 层次 是指学生能判断一种情境是否适合用数轴表示 并将情境中的事物与三要素分别对应起来 从发展的角度看 学生还应体会到 用点表示数 时 数轴 三要素 保证了点与数的 一一对应 即任意一个数对应于数轴上的唯一一个点 反之 数轴上任意一个点对应于唯一一个数 这里 概念所反映的基本思想需要逐步体会 还要逐步积累借助数轴的直观研究问题的经验 三 教学问题诊断分析 学生第一次遇到用形表示数的问题 领会其中蕴含的思想 体验这一方法的意义 尚待时日 可以借鉴引入负数的经验和生活经验 在基本思想上 还是要借助于具体情境 教师先讲解 学生获得体验后进行模仿式举例 教学难点 数轴 三要素 与数集中0 1以及数的符号的对应性 四 教学过程设计 1 问题情境下的三次概括问题1在一条东西向的马路上 有一个汽车站牌 汽车站牌往东3 和7 5m处分别有一棵柳树和一棵杨树 汽车站牌往西3m和4 8m处分别有一棵槐树和一根电线杆 试画图表示这一情境 师生活动 学生小组讨论解决问题的方法 学生板演 学生画图后提问 1 马路可以用什么几何图形代表 直线 2 你认为站牌起什么作用 基准点 3 你是怎么确定问题中各物体的位置的 方向 与站牌的距离 设计意图 三要素 为定向 用直线 点 方向 距离等几何符号表示实际问题 这是实际问题的第一次数学抽象 说明 学生也可能只用与站牌的距离来表示 有不同表示最好 可以与下面的方法做比较 看哪个更方便 问题2上面的问题中 东 与 西 左 与 右 都具有相反意义 我们知道 正数和负数可以表示两种具有相反意义的量 那么如何用数表示这些树 电线杆与汽车站牌的相对位置呢 学生画图表示后提问 1 0代表什么 基准点 2 数的符号的实际意义是什么 方向 3 如图 在一条直线上 A B的距离等于B C的距离 B点用3表示 C点用7 5表示 行吗 为什么 不行 单位不一致 与实际情境不符 OABC0137 5 4 上述方法表示了这些树 电线杆与汽车站牌的相对位置关系 例如 4 8表示位于汽车站牌西侧4 8m处的电线杆 你能自己再举个例子吗 设计意图 继续以 三要素 为定向 将点用数表示 实现第二次抽象 为定义数轴概念提供直观基础 问题3大家都见过温度计吧 你能描述一下温度计的结构吗 比较上面的问题 你认为它用了什么数学知识 教师可以先解释0度的含义 冰水混合物的温度规定为0度 温度的基准点 设计意图 借用生活中的常用工具 说明正数 负数的作用 引导学生用 三要素 表达 为定义数轴概念提供又一个直观基础 问题4你能说说上述两个实例的共同点吗 设计意图 完成第三次概括 即进一步明确 三要素 的意义 体会 用点表示数 和 用数表示点 的思想方法 为定义数轴概念提供进一步的直观基础 2 定义 辨析数轴概念请你带着下列问题阅读教科书 1 画数轴的步骤是什么 2 根据上述实例的经验 原点 起什么作用 原点 是数轴的 基准 表示0 是表示正数和负数的分界点 3 你是怎么理解 选取适当的长度为单位长度 的 与问题的需要相关 表示较大的数 单位长度取小一些等 4 数轴上 在原点的右边 离原点越远的点所表示的数 在原点的左边 离原点越远的点所表示的数 宏观看大小 设计意图 明晰概念 加深对数轴 三要素 的理解 3 练习 巩固概念 1 课本练习1 2 2 数轴上表示3的点在原点的哪一侧 与原点的距离是多少个单位长度 表示数 2的点在原点的哪一侧 与原点的距离是多少个单位长度 设a是一个正数 对表示a的点和表示 a的点进行同样的讨论 设计意图 练习 1 包括画数轴表示有理数和指出数轴上的点表示的有理数 使学生进一步巩固数轴的概念 并使学生了解所有的有理数都可以用数轴上的点表示 练习 2 通过从特殊到一般的方法归纳出数轴上不同位置 原点左右 点的特点 培养学生的抽象概括 由具体的数到字母表示的数 能力 4 小结 布置作业教师与学生一起回顾本节课所学主要内容 并请学生回答以下问题 1 本节课学了哪些主要内容 2 数轴的 三要素 各指什么 它们各起什么作用 3 你能举出引进数轴概念的一个好处吗 设计意图 通过小结 使学生梳理本节课所学内容 掌握本节课的核心 数轴 三要素 感受通过数轴把数与形结合起来的好处 布置作业 教科书练习第3题 习题1 2第2题 四 课堂教学的高立意与低起点 立意不高 许多教师的 匠气 太浓 题型 技巧 的教学 弥漫着 功利 缺少思想 精神的追求 提高课堂教学立意的关键是提高思想性 具体做法上 要注意 先行组织者 的使用 要加强思想方法的引导 构建研究数学问题的框架 以增强学生学习的自觉性 主动性 使学生的数学思考更有目的性 有序性和有效性 培养良好的数学思维习惯 例四边形的 先行组织者 概括三角形中研究的问题 线索和基本方法 定义 组成元素 分类 三角形的性质 变化中的不变性 规律性 从度量关系和位置关系入手 三角形的全等 确定三角形的条件 特殊三角形的研究 角特殊 直角三角形 边特殊 等腰三角形 性质 判定 相似三角形 性质 判定 目的 给学生一个类比对象 使他们知道研究的 基本套路 引导学生类比 思考 四边形 研究的问题 线索和方法等 一般四边形 组成元素 度量 内角和 外角和 特殊四边形 从边的特殊性和角的特殊性入手 边的特殊性 平行四边形 性质和判定 性质 研究的是在 平行四边形 的条件下 它的组成元素有什么普遍规律 如边的大小关系 内角的关系 对角线的关系等 判定 研究的是具备什么条件的四边形才是平行四边形 其他度量问题 特殊的平行四边形 角的特殊 矩形 边的特殊 菱形 边角都特殊 正方形 都要研究性质和判定 研究的方法 化归为三角形 平行线的性质等已有知识 特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三角形的知识 矩形 直角三角形 菱形 等腰三角形 五 如何进行 思维的教学 1 树立正确的学生观 学生的主动参与是根本保证 2 让学生真正 动起来 书上得来终觉浅 绝知此事须躬行 3 精心选择和使用例子 一个好例子胜过一千次说教 4 关注课堂中生成的教学资源 从学生的切身体验中引发更深层次的思考 5 把概括的机会让给学生 例锐角三角函数概念概括过程的设计 目的 解直角三角形课题的引入 从实际需要看 如比萨斜塔的倾斜问题 从数学内部看 以往讨论了直角三角形边与边的关系 角与角的关系 边与角有没有确定的关系 定性考察 从直角三角形全等的判定可知 Rt 中 除直角外 任意给两个条件 至少一个是边 其余唯一确定 定量化 的过程设计 从最熟悉的直角三角形开始 无论Rt 的大小如何 30 所对的边是斜边的一半 本质特征 思考 由这个比值能干什么 当 A 30 时 已知斜边可求 A的对边 反之也可 及时巩固 等腰直角三角形中 锐角A的对边与斜边的比是多少 由这个比值能干什么 推广到一般 给定锐角A A的对边与斜边的比值是否为一个确定的值 注意引导学生理解条件 什么不变 什么变 下定义 用符号表示 辨析定义 1 A为Rt ABC的锐角 ABC的大小可以变化 但 A的对边与斜边的比值不变 即对于每一个锐角A都有唯一确定的比值与之对应 这个比值叫做 A的正弦 2 符号sinA的理解 一个由A唯一确定的数 例如sin30 0 5 3 sinA的取值范围 等 概念