高考数学一轮复习 第二章 函数 第三节 函数的奇偶性与周期性课件 文.pptVIP

第三节函数的奇偶性与周期性 总纲目录 教材研读 1 函数的奇偶性 考点突破 2 奇 偶 函数的性质 3 周期性 考点二函数奇偶性的应用 考点一函数奇偶性的判断 考点三函数周期性的应用 1 函数的奇偶性 教材研读 2 奇 偶 函数的性质 1 奇 偶 函数的定义域关于原点对称 2 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 相反 3 在公共定义域内 i 两个奇函数的和是 奇函数 两个奇函数的积是 偶函数 ii 两个偶函数的和 积都是 偶函数 iii 一个奇函数 一个偶函数的积是 奇函数 4 若函数f x 是奇函数且在x 0处有定义 则f 0 0 与函数奇偶性有关的结论 1 如果函数f x 是偶函数 那么f x f x 2 既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型 即f x 0 x d 其中定义域d是关于原点对称的非空数集 3 偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大 小 值 取最值时的自变量互为相反数 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数 取最值时的自变量也互为相反数 3 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的任何值时 都有f x t f x 那么就称函数y f x 为周期函数 称t为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数就叫做f x 的最小正周期 有关周期函数的几个常用结论周期函数y f x 满足 1 若f x a f x a 则函数的周期为2 a 2 若f x a f x 则函数的周期为2 a 3 若f x a 则函数的周期为2 a 4 若f x a 则函数的周期为2 a 5 若函数f x 的图象关于直线x a与x b对称 那么函数f x 的周期为2 b a 6 若函数f x 的图象既关于点 a 0 对称 又关于点 b 0 对称 则函数f x 的周期是2 b a 7 若函数f x 的图象既关于直线x a对称 又关于点 b 0 对称 则函数f x 的周期是4 b a 8 若函数f x 是偶函数 其图象关于直线x a对称 则其周期为2 a 9 若函数f x 是奇函数 其图象关于直线x a对称 则其周期为4 a 1 下列函数中为偶函数的是 a y x2sinxb y x2cosxc y lnx d y 2 x 答案ba中函数为奇函数 b中函数为偶函数 c与d中函数均为非奇非偶函数 故选b b 2 下列函数为奇函数的是 a y b y exc y cosxd y ex e x 答案da b选项中的函数为非奇非偶函数 c选项中的函数为偶函数 d选项中的函数为奇函数 故选d d 3 已知f x ax2 bx是定义在 a 1 2a 上的偶函数 那么a b的值是 a b c d 答案b依题意知b 0 2a a 1 a 则a b b 4 已知函数f x 是奇函数 在 0 上是减函数 且在区间 a b a b 0 上的值域为 3 4 则在区间 b a 上 a 有最大值4b 有最小值 4c 有最大值 3d 有最小值 3 答案b当x b a 时 x a b 由题意得f b f x f a 即 3 f x 4 所以 4 f x 3 即在区间 b a 上f x min 4 f x max 3 故选b b 5 2017课标全国 14 5分 已知函数f x 是定义在r上的奇函数 当x 0 时 f x 2x3 x2 则f 2 答案12 解析由题意可知f 2 f 2 x 0 时 f x 2x3 x2 f 2 f 2 2 8 4 12 12 12 6 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 则f 8 的值为 答案0 解析 f x 为定义在r上的奇函数 且f x 4 f x f 0 0 t 4 f 8 f 0 0 0 典例1判断下列函数的奇偶性 1 f x xlg x 2 f x 1 x 3 f x 4 f x 考点突破 考点一函数奇偶性的判断 解析 1 x 0 函数f x 的定义域为r 关于原点对称 又f x x lg x xlg x xlg x f x 即f x f x f x 是偶函数 2 当且仅当 0时函数有意义 1 x 1 由于定义域关于原点不对称 函数f x 是非奇非偶函数 3 函数的定义域为 x x 0 关于原点对称 方法技巧判定函数奇偶性的常用方法 1 定义法 2 图象法 3 性质法 设f x g x 的定义域分别是d1 d2 那么在它们的公共定义域上 奇 奇 奇 奇 奇 偶 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 复合函数的奇偶性可概括为 同奇则奇 一偶则偶 易错警示 1 性质法 中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的 2 判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f x 与f x 的关系 只有对各段上的x都满足相同的关系时 才能判断其奇偶性 1 1设函数f x g x 的定义域都为r 且f x 是奇函数 g x 是偶函数 则下列结论中正确的是 a f x g x 是偶函数b f x g x 是奇函数c f x g x 是奇函数d f x g x 是奇函数 答案c由题意可知f x f x g x g x 对于选项a f x g x f x g x 所以f x g x 是奇函数 故a项错误 对于选项b f x g x f x g x f x g x 所以 f x g x 是偶函数 故b项错误 对于选项c f x g x f x g x 所以f x g x 是奇函数 故c项正确 对于选项d f x g x f x g x f x g x 所以 f x g x 是偶函数 故d项错误 故选c c 1 2判断下列函数的奇偶性 1 f x x3 2 f x 3 f x 答案 1 1 2 3 解析 1 由已知得f x f x 即 xln x xln x 则ln x ln x 0 ln 2 x2 0 得lna 0 a 1 2 由已知可得 f 1 g 1 2 f 1 g 1 4 两式相加 解得g 1 3 规律总结利用函数的奇偶性可解决的4个问题 1 求函数值 将待求函数值利用奇偶性转化到已知区间上求函数值 2 求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知区间上 再利用奇偶性求出 3 求解析式中的参数 利用待定系数法求解 根据f x f x 0得到关于参数的恒等式 由系数的对等性得参数的方程或方程 组 进而得出参数的值 4 画函数图象 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象 2 1 2018河北石家庄质检 函数f x 是r上的奇函数 x1 x2 r x1 x2 f x1 f x2 0 则f 1 x 0的解集是 a 0 b 0 c 1 d 1 答案c f x 为r上的奇函数 f 0 0 又 x1 x2 r x1 x2 f x1 f x2 0 即x 1 c 2 2设f x 为定义在r上的奇函数 当x 0时 f x 2x 2x b b为常数 则f 1 a 3b 1c 1d 3 答案a f x 为定义在r上的奇函数 f 0 0 b 1 f 1 f 1 2 2 1 3 a 2 3已知函数f x x3 sinx 1 x r 若f a 2 则f a 的值为 a 3b 0c 1d 2 答案b设f x f x 1 x3 sinx 显然f x 为奇函数 又f a f a 1 1 所以f a f a 1 1 从而f a 0 故选b b 典例3 1 周期为4的奇函数f x 在 0 2 上的解析式为f x 则f 2018 f 2019 a 0b 1c 2d 3 2 定义在r上的函数f x 满足f x 6 f x 当 3 x 1时 f x x 2 2 当 1 x 3时 f x x 则f 1 f 2 f 3 f 2018 考点三函数周期性的应用 答案 1 b 2 339 规律总结函数周期性的应用根据函数的周期性 可以由函数局部的性质得到函数的整体性质 即周期性可将未知区间上的函数值 解析式 图象转化到已知区间上 在解决具体问题时 要注意结论 若t是函数的周期 则kt k z且k 0 也是函数的周期 3 1已知f x 是r上最小正周期为2的周期函数 且当0 x 2时 f x x3 x 则函数y f x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点的个数为 a 6b 7c 8d 9 答案b当0 x 2时 令f x x3 x x x2 1 0 所以y f x 的图象与x轴交点的横坐标分别为x1 0 x2 1 当2 x 4时 0 x 2 2 又f x 的最小正周期为2 所以f x 2 f x 所以f x x 2 x 1 x 3 所以当2 x 4时 y f x 的图象与x轴交点的横坐标分别为x3 2 x4 3 同理可得 当4 x 6时 y f x 的图象与x轴交点的横坐标分别为x5 4 x6 5 当x7 6时 也符合要求 综上可知 共有7个交点 b 考点四函数性质的综合应用 d 答案d 解析原不等式可化为 1 x 3 1 x 1 故选d 命题方向二函数的奇偶性与周期性相结合典例5 2017山东 14 5分 已知f x 是定义在r上的偶函数 且f x 4 f x 2 若当x 3 0 时 f x 6 x 则f 919 答案6 解析由f x 4 f x 2 得f x 6 f x 故f x 是周期为6的周期函数 所以f 919 f 6 153 1 f 1 因为f x 为r上的偶函数 所以f 1 f 1 又x 3 0 时 f x 6 x 所以f 1 6 1 6 从而f 1 6 故f 919 6 6 命题方向三函数的奇偶性 周期性 单调性的综合问题典例6已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 则 a f 25 f 11 f 80 b f 80 f 11 f 25 c f 11 f 80 f 25 d f 25 f 80 f 11 d 答案d 解析 f x f x 4 4 f x 4 f x 8 4 f x 8 t 8 又 f x 是定义在r上的奇函数 f 0 0 f x 在 0 2 上是增函数 且f x 0 f x 在 2 0 上也是增函数 且f x 0 且f x 为减函数 f 25 f 1 0 f 80 f 0 0 f 25 f 80 f 11 故选d 规律总结函数性质综合问题的求解方法 1 函数单调性与奇偶性结合 注意函数单调性及奇偶性的定义 以及奇 偶函数图象的对称性 2 函数周期性与奇偶性结合 此类问题多考查求值问题 常利用奇偶性及周期性进行交换 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 3 解决函数的奇偶性 周期性 单调性的综合问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间 然后利用奇偶性和单调性求解 4 1已知f x 是定义在r上的偶函数 且在区间 0 上单调递增 若实数a满足f 2 a 1 f 则a的取值范围是 a b c d 答案c f x 是偶函数且在 0 上单调递增 f x 在 0 上单调递减 且f f 原不等式可化为f 2 a