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文档简介

第40讲数学归纳法及应用 学习目标 了解数学归纳法的原理 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 进一步体会归纳 猜想 证明的意义 提升归纳推理 抽象概括的能力 基础检测 c c b d 特殊事例 一般性结论 数学归纳法 第一个值n0 n k n k 1 n0 假设时结论成立 推得时结论亦成立 验证时结论成立 n k k n0且k n n k 1 n n0 归纳奠基 归纳递推 从而命题对从开始的所有n都成立 n0 2 用框图表示数学归纳法的步骤 点评 本题是探索性问题通过特殊情况进行探索 再对一般情况用数学归纳法证明 特殊到一般是一种重要的数学思想方法 它常与数学归纳法相伴 从而走到完美 用数学归纳法证整除性问题时 首先要从要证的式子中拼凑出能利用归纳假设的式子 然后证明剩余式子也能被该数 或式 整除 拼凑是关键 点评 用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题 关键在于弄清等式两边的构成规律 等式的两边各有多少项 由n k到n k 1时 等式的两边会增加多少项 增加怎样的项 难点在于寻求等式中n k和n k 1时之间的联系 点评 用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式 一是直接给出不等式 按要求进行证明 二是给出两个式子 按要求比较它们的大小 对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较 以免出现判断失误 最后猜出从某个n值开始都成立的结论 再用数学归纳法证明 点评 已知数列递推关系 但求不出通项时 往往可把an 1看成an的函数 由an的范围可确定an 1的范围 从而可用数学归纳法 点评 近几年的高考试题 不但要求能用数学归纳法证明与自然数集有关的命题 而且加强了对于不完全归纳法应用的考查 既要求归纳发现结论 又要求证明结论的正确性 因此有必要培养并提升 观察 归纳 猜想 证明 的思维模式和能力 1 数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法 它是一种完全归纳法 是对不完全归纳法的完善 2 证明代数恒等式的关键是 第二步将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式 凑假设 然后利用归纳假设 经过恒等变形 得到结论所需要的形式 凑结论 3 用数学归纳法证明不等式的关键是 第二步利用证明不等式的方法 如放缩 把式子化为n k 1成立时的式子 4 用数学归纳法证明几何问题时 要注意结合几何图形的性质 在求由 n k到n k 1 增加的元素个数时 可以先用不完全归纳法找其变化规律 5 由有限个特殊事例进行归纳 猜想 而得出一般性结论 然后加以证明是科学研究的重要思想方法 研究与正整数有关的数学问题 此方法尤为重要 如猜想数列的通项an或前n项和sn 解决与自然数有关的探索性 开放性问题等 这里猜想必须准确 证明必须正确 既用到合情推理 又用到演绎推理 猜想的准确与否可用证明
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