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(五)直线与圆锥曲线专练1过点Q(2,)作圆O:x2y2r2(r0)的切线,切点为D,且|QD|4.(1)求r的值;(2)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点,过点P作圆O的切线l,且l交x轴于点A,交y轴于点B,2如图,F是椭圆1(ab0)的右焦点,O是坐标原点,|OF|,过F作OF的垂线交椭圆于P0,Q0两点,OP0Q0的面积为.(1)求该椭圆的标准方程;(2)若过点M(,0)的直线l与上、下半椭圆分别交于点P,Q,且|PM|2|MQ|,求直线l的方程3已知点A(4,0),直线l:x1与x轴交于点B,动点M到A,B两点的距离之比为2.(1)求点M的轨迹C的方程;(2)设C与x轴交于E,F两点,P是直线l上一点,且点P不在C上,直线PE,PF分别与C交于另一点S,T,证明:A,S,T三点共线4设直线l:yk(x1)(k0)与椭圆x24y2m2(m0)相交于两个不同的点A,B,与x轴相交于点C,记O为坐标原点(1)证明:m2; (2)若,求OAB的面积取得最大值时椭圆的方程答 案1解:(1)由题可知,圆O的圆心为(0,0),半径为r.过点Q(2,)作圆O:x2y2r2(r0)的切线,切点为D,且|QD|4,r|OD|3.(2)设直线l的方程为1(a0,b0),即bxayab0,则A(a,0),B(0,b),直线l与圆O相切,3,3ab,6,|6,当且仅当ab3时,等号成立|的最小值为6.2解:(1)由题设条件,|P0F|.易知|P0F|, 从而.又c|OF|,即a2b25,因此a2a50,解得a3或a,又a0,故a3,从而b2.故所求椭圆的标准方程为1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意y10,y20,并可设直线l:xty,代入椭圆方程得1,即(4t29)y28ty160.从而y1y2,y1y2.又由|PM|2|MQ|,得2,即y12y2.因此y1y2y2,y1y22y,故2,可解得t2.注意到y2且y20,因此t.故满足题意的直线l的方程为xy,即为2xy20.3解:(1)设点M(x,y),依题意,2,化简得x2y24,即轨迹C的方程为x2y24.(2)证明:由(1)知曲线C的方程为x2y24,令y0得x2,不妨设E(2,0),F(2,0),如图设P(1,y0),S(x1,y1),T(x2,y2),则直线PE的方程为yy0(x2),由得(y1)x24yx4y40,所以2x1,即x1,y1.直线PF的方程为y(x2),由得(y9)x24yx4y360,所以2x2,即x2,y2.所以kAS,kAT,所以kASkAT,所以A,S,T三点共线4解:(1)证明:依题意,直线l显然不平行于坐标轴,故yk(x1)可化为xy1.将xy1代入x24y2m2,消去x,得(14k2)y22kyk2(1m2)0,由直线l与椭圆相交于两个不同的点,得4k24k2(1m2)(14k2)0,整理得m2.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)由,得y1y2,由,得y13y2,代入上式,得y2.于是,OAB的面积S|OC|y1y2|2|y2|,其中,上式取等号的条件是4k
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