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文档简介

4矩 协方差矩阵 定义1 将二维r v X1 X2 的四个二阶中心矩 排成矩阵的形式 称此矩阵为r v X1 X2 的协方差矩阵 定义2 类似地可定义n维r v X1 X2 Xn 的协方差矩阵 为 X1 X2 Xn 的协方差矩阵 则称矩阵 f x1 x2 xn 则称X服从n元正态分布 其中C是 X1 X2 Xn 的协方差矩阵 C 是C的行列式 表示C的逆矩阵 X和是n维列向量 表示X的转置 设n维r v X X1 X2 Xn 的概率密度是 n元正态分布的几条重要性质 1 若X X1 X2 Xn 服从n元正态分布 则 a1X1 a2X2 anXn服从正态分布 对一切不全为0的实数a1 a2 an 2 若X X1 X2 Xn 服从n元正态分布 Y1 Y2 Yk是Xj j 1 2 n 的线性函数 则 Y1 Y2 Yk 也服从多元正态分布 3 设 X1 X2 Xn 服从n元正态分布 则 X1 X2 Xn相互独立 的充要条件是 X1 X2 Xn两两不相关 4 n维正态变量 X1 X2 Xn 的每个分量Xi i 1 2 n 都是正态变量 反之 若X1 X2 Xn都是正态变量且相互独立 则 X1 X2 Xn 是n维正态变量 例1设随机变量X和Y相互独立且X N 1 2 Y N 0 1 试求Z 2X Y 3的概率密度 故X和Y的联合分布为正态分布 X和Y的任意线性组合是正态分布 解 X N 1 2 Y N 0 1 且X与Y独立 D Z 4D X D Y 8 1 9 E Z 2E X E Y 3 2 3 5 即Z N E Z D Z 故Z的概率密度是 Z N 5 32 于是 这一讲我们介绍了协方差和相关系数 相关系数是刻划两个r v 间线性相关程度的一个重要
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