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制作人 马宇 集合论的发展轨迹 初中毕业升入高一级学校的同学们会一致发现自己所学的第一个数学概念就是 集合 这门研究集合的数学理论在现代数学中被恰当地称为集合论 它是数学的一个基本分支 在数学中占据着一个极其独特的地位 其基本概念已渗透到数学的所有领域 了解集合论 序言 如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦 那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石 由此可见它在数学中的重要性 其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之一 了解集合论 集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的 十七世纪 数学中出现了一门新的分支 微积分 在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果 其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础 十九世纪初 许多迫切问题得到解决后 出现了一场重建数学基础的运动 正是在这场运动中 康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集 这是集合论研究的开端 序言 到1874年康托尔开始一般地提出 集合 的概念 他对集合所下的定义是 把若干确定的有区别的 不论是具体的或抽象的 事物合并起来 看作一个整体 就称为一个集合 其中各事物称为该集合的元素 人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日 那现在就让我们穿越时空 探寻集合论的历史 了解集合论 序言 集合论诞生的背景 集合论的创始人 康托 对康托集合论的不同评价 集合论发展阶段 罗素悖论 集合论发展阶段 公理化集合论 集合论的发展轨迹 集合论在19世纪诞生的基本原因 来自数学分析基础的批判运动 集合论诞生的背景 返回主菜单 其中一个最重要的理由是 数学分析的发展必然涉及到无穷过程 无穷小和无穷大这些无穷概念 康托 正是这19世纪发展起来的极限理论相当完美的解决了微积分理论所遇到的逻辑困难 但是 柯西并没有彻底完成微积分的严密化 柯西思想有一定的模糊性 甚至产生逻辑矛盾 集合论诞生的背景 返回主菜单 集合论诞生的时间轨迹 18世纪 19世纪 18世纪 由于无穷概念没有精确的定义 使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难 而且还使实无穷概念在数学中信誉扫地 19世纪上半叶 柯西给出了极限概念的精确描述 在这基础上建立起连续 导数 微分 积分以及无穷级数的理论 More 那怎么办呢 集合论诞生的背景 集合论诞生的时间轨迹 18世纪 19世纪 19世纪后期 数学家们发现使柯西产生逻辑矛盾的问题的原因在奠定微积分基础的极限概念上 严格地说柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观 确实地建立在纯粹严密的算术的基础上 于是 许多受分析基础危机影响的数学家致力与分析的严格化 在这一过程中 都涉及到对微积分的基本研究对象 连续函数的描述 在数与连续性的定义中 有涉及关于无限的理论 返回主菜单 集合论诞生的背景 因此 无限集合在数学上的存在问题又被提出来了 这自然也就导致寻求无限集合的理论基础的工作啦 原来集合论是这么诞生的 总之 为寻求微积分彻底严密的算术化倾向 成了集合论产生的一个重要原因 返回主菜单 集合论的创始人 康托 1845年3月3日 乔治 康托生于俄国的一个丹麦 犹太血统的家庭 1856年康托和他的父母一起迁到德国的法兰克福 家庭出身 天资聪颖 像许多优秀的数学家一样 他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感 并不时得出令人惊奇的结论 他的父亲力促他学工 因而康托在1863年带着这个目地进入了柏林大学 返回主菜单 德国 柏林大学 集合论的创始人 康托 返回主菜单 外界影响 此时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心 康托很早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着的世界数学中心之一 所以在柏林大学 康托受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学 他在1869年取得在哈勒大学任教的资格 不久后就升为副教授 并在1879年被升为正教授 职业生涯 柏林大学 哈勒大学 集合论的创始人 康托 研究方向 返回主菜单 1874年康托在克列勒的 数学杂志 上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章 数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生 这篇文章的创造性引起人们的注意 在以后的研究中 集合论和超限数成为康托研究的主流 永远康托 他一直在这方面发表论文直到1897年 过度的思维劳累以及强列的外界刺激曾使康托患了精神分裂症 这一难以消除的病根在他后来30多年间一直断断续续影响着他的生活 1918年1月6日 康托在哈勒大学的精神病院中去世 集合论的创始人 康托 返回主菜单 康托 对康托集合论的不同评价 返回主菜单 关于康托的成就 他抛弃了一切经验和直观 用彻底的理论来论证 因此他所得出的结论既高度地另人吃惊 难以置信 又确确实实 毋庸置疑 数学史上没有比康托更大胆的设想和采取的步骤了 康托的集合论是数学上最具有革命性的理论 他处理了数学上最棘手的对象 无穷集合 因此 他的发展道路也自然很不平坦 康托的大胆举措 因此 它不可避免地遭到了传统思想的反对 对康托集合论的不同评价 返回主菜单 反对的理由 19世纪被普遍承认的关于存在性的证明是构造性的 你要证明什么东西存在 那就要具体造出来 因此 人只能从具体得数或形出发 一步一步经过有限多步得出结论来 至于 无穷 许多人更是认为它是一个超乎于人的能力所能认识的世界 不要说去数它 就是它是否存在也难以肯定 而康托竟然 漫无边际地 去数它 去比较它们的大小 去设想没有最大基数的无穷集合的存在 这自然遭到反对和斥责 对康托集合论的不同评价 返回主菜单 集合论的反对者 集合论最激烈的反对者是柏林学派的领袖人物克罗内克 我认为只有我研究的数论及代数才最可靠 因为自然数是上帝创造的 其余的是人的工作 我对康托的研究对象和论证手段都表示强烈的反对 克罗内克 对康托集合论的不同评价 返回主菜单 集合论的反对者 还有不少反对的声音 德国的知觉主义者魏尔认为 康托把无穷分成等级是雾上之雾 法国数学界的权威人物庞加莱曾预言 我们的 后一代将把 康托的 集合论当作一种疾病 庞加莱 对康托集合论的不同评价 返回主菜单 集合论的支持者 当然也不乏支持集合论的数学家 瑞典的数学家米大格 列夫勒在自己创办的国际性数学杂志上把康托的集合论的论文用法文转载 从而大大促进了集合论在国际上的传播 对康托集合论的不同评价 返回主菜单 1897年在第一次国际数学家大会上 霍尔维次在对解析函数的最新进展进行概括时 就对康托的集合论的贡献进行了阐述 三年后的第二次国际数学大会上 为了捍卫集合论而勇敢战斗的希尔伯特又进一步强调了康托工作的重要性 集合论的支持者 希尔伯特 对康托集合论的不同评价 返回主菜单 举世公认 自1901年勒贝格积分产生以及勒贝格的测度理论充实了集合论之后 集合论得到了公认 康托的工作获得崇高的评价 当第三次国际数学大会于1904年召开时 现代数学不能没有集合论 已成为大家的看法 康托的声望已经得到举世公认 勒贝格 对康托集合论的不同评价 返回主菜单 评价 康托能不顾众多数学家 哲学家甚至神学家的反对 坚定地捍卫超穷集合论 与他的科学家气质和性格是分不开的 他的那种深笃的宗教信仰强烈的使命感始终带给他以勇气和信心 正是这种坚定 乐观的信念使康托义无返顾地走向数学家之路并真正取得了成功 康托 集合论发展阶段 罗素悖论 返回主菜单 百度百科更多了解罗素 百度百科更多了解罗素悖论 然而集合论前后经历二十余年 最终获得了世界公认 到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同 数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了 他们乐观地认为从算术公理系统出发 借助集合论的概念 便可以建造起整个数学的大厦 欢欣鼓舞 罗素 集合论发展阶段 罗素悖论 返回主菜单 百度百科更多了解罗素悖论 暴风雨前夜 在1900年第二次国际数学大会上 著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布 数学已被算术化了 今天 我们可以说绝对的严格已经达到了 然而这种自得的情绪并没能持续多久 不久 集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界 这就是1902年罗素得出的罗素悖论 数学悖论 百度百科更多了解罗素 集合论发展阶段 罗素悖论 返回主菜单 百度百科更多了解罗素悖论 罗素悖论 罗素构造了一个所有不属于自身 即不包含自身作为元素 的集合R 现在问R是否属于R 如果R属于R 则R满足R的定义 因此R不应属于自身 即R不属于R 另一方面 如果R不属于R 则R不满足R的定义 因此R应属于自身 即R属于R 这样 不论何种情况都存在着矛盾 这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地 绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中 数学史上的第三次数学危机 意义 危机产生后 众多数学家投入到解决危机的工作中去 百度百科更多了解罗素 集合论发展阶段 公理化集合论 返回主菜单 百度百科更多了解朴素集合论 维基百科更多了解公理化集合论 公理化集合论的诞生 1908年 策梅罗提出公理化集合论 后经改进形成无矛盾的集合论公理系统 简称ZF公理系统 原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上 从而避免了悖论的出现 这就是集合论发展的第二个阶段 公理化集合论 公理化集合论 集合论发展阶段 公理化集合论 返回主菜单 百度百科更多了解朴素集合论 维基百科更多了解公理化集合论 数学危机解决 与此相对应 在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论 公理化集合论是对朴素集合论的严格处理 它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论 因而较圆满地解决了第三次数学危机 朴素集合论 集合论发展阶段 公理化集合论 返回主菜单 百度百科更多了解朴素集合论 维基百科更多了解公理化集合论 建立公理化集合论 公理化集合论的建立 标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利 没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去 希耳伯特 集合论发展阶段 公理化集合论 返回主菜单 百度百科更多了解朴素集合论 维基百科更多了解公理化集合论 评价公理化集合论 从康托尔提出集合论至今 时间已经过去了一百多年 在这一段时间里 数学又发生了极其巨大的变化 包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等 而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的 它是对无限最深刻的洞察 它是数学天才的最优秀作品 是人类纯智力活动的最高成就之一 康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献 关于集合论发展史总结 集合论的重要性 我对康托集合论的评价是 数学天才最优秀的作品 人类纯粹智力活动的最高成就之一 这个时代所能夸耀的最巨大的