构造函数法的初等数学解题研究.doc

目 录摘 要1Abstract.11 绪 论22 常用构造函数方法22.1构造一次函数和二次函数32.2构造对数函数42.3构造幂函数和指数函数42.4构造三角函数53 构造函数法在初等数学解题中的应用63.1构造函数法在不等式问题中的应用63.2构造函数法求最值73.3构造函数解决数列中的有关问题73.4 构造函数法解几何问题84 构造函数对学生创造力发展的促进作用8参考文献：10致 谢10I 构造函数法的初等数学解题研究 摘 要：函数思想是中学数学重要的思想方法之一，有些数学问题如果将其中某些变化的量联系起来，构造出适当的函数，再利用该函数的性质，就能很巧妙地解决问题。构造函数法解决问题是一种创造性的思维过程, 具有较好的灵活性和技巧性。本文通过实例介绍构造函数法在中学数学中解决不等式、数列、求最值问题等方面的应用。简明地指出构造函数法的关键以及利用构造函数法解决数学问题应具有观察问题、分析、联想、转化、知识全面等能力, 从而掌握如何用构造函数法来解决数学问题。同时简要的概括了构造函数法解题对中学生思维和创造力发展的促进作用。关键词：函数思想；构造函数；中学数学；不等式证明；数列The Research of Constructive Method in Problem-solving Yang LijuanCollege of Mathematics and Information Mathematics and Applied Mathematics Grade 2009 Instructor: Zhang ZhengAbstract: Functional idea is one of the most important thought method for middle school mathematics thought . Linking some mathematical problems to construct suitable function and using the properties of the function ,we can solve the problem very cleverly. The constructor method to solve the problem is a kind of creative thinking process.It has good flexibility and skills. This paper introduces the constructor method application solutions and constant problem, for example in inequality, series, equation. Simply indicate key constructor method and the constructor method to solve mathematics problems should have observation, analysis, lenovo, transformation, comprehensive knowledge and skills, to learn how to solve mathematical problems in the constructor method.Key words: functional idea; constructed function; secondary mathematics; inequality; sequence of number 1 绪 论 构造法是一种富有创造性的解题方法，它很好地体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、试验、探索、归纳、概括、特殊化等重要的数学方法。函数思想是中学数学中的一个重要思想。徐利志和郑毓信先生在总结数学思想的时候，提出了RMI方法，此法被称为构造函数法。它是应用各种有效的映射变换手段实现解题任务的一种普遍的思想方法，这种方法体现了数学的变换和化归思想【1-3】。运用这一思想，可根据问题的条件和结论，构造反映问题本质特征的函数关系使问题得以解决。构造函数法的实质是运用构造适当辅助函数的方法来解答问题。高等数学中经常运用构造辅助函数的方法解题。构造辅助函数这种方法也已渗透到中学数学中。在解决一些诸如不等式、数列、解析几何、求最值等问题若直接去证明或解答，问题的解决过程可能会很复杂，若能从题目所给的条件中将某些变化的量联系起来，构造出适当的函数，再利用该函数的性质，就可能很迅速地解决问题。 构造函数是一种非常重要的函数思想极具富创性，它有利于学生形成挖掘题目隐含条件的良好习惯从而提高研究能力有利于培养学生的创造性思维品质和创新意识。构造函数法的拥有十分丰富的内容，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础的，是一种针对具体问题的特点而采取相应的解决办法的思维方法在解题过程中，若按思维定势来探求解题途径比较困难时我们不妨变换一下思维角度，从问题的结构和特点出发，构造一个与问题相关的辅助函数，实现问题的转化，从而使问题得到证明4。 2 常用构造函数方法 在数学解题中，通过观察问题的结构特征或变更问题中相关的式子，由此联想构造函数，依照这个函数的图像，性质来分析解决问题是一条重要的解题策略。运用这一策略解题的关键在于怎么构造函数，以及构造什么样的函数。首先我们来解决如何构造函数的问题。可以从以下几个方面入手： （1）从题目中的特征值入手，寻找切入点。 （2）从题目中的结构特征，寻找切入点。（3）通过移项，重组变形寻找切入点。 (4）通过变量分离，寻找切入点。 （5）通过减少変元法，寻找切入点。其次是根据题目已知构造什么样的函数的问题。构造函数法解题构造的函数应该满足：1） 与原题的形式或几何解释密切相关；2） 能够使推理计算变得简洁；3） 函数的基本特性（定义域、值域、单调性、有界性、奇偶性、周期性等）与命题要求相符；4） 所构造的函数与命题条件有着直接或间接地联系。通常可以构造以下几类函数数：2.1构造一次函数和二次函数 数量关系是数学中的一种基本关系。现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性。因此如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元从而揭示其中主要的函数关系。有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在 。问题本身有多个变元，且变元具有对称性，可确定其中之一为主元，构造一次函数，利用一次函数的线性性质解题，这种构造方法为确定主元法。对含参不等式恒成立的某些问题适时的变更主元，可避免不必要的分类讨论。例1、。 解析：，得，代入待证式子得，且0ak,若以a为变元可将式子整理为，令，根据一次函数图象特征和单调性，,因为0bk,0ck,所以,又,所以。许多与不等式有关的问题，可通过构造二次函数将不等式问题转化为二次函数来处理。利用二次函数的图象和性质，运用根与系数的关系，根的判别式等知识来解决问题。，若构造一个二次函数恒成立，使是的系数，e2，因为恒成立，则e的最大值为。2.2构造对数函数 例3.已知是定义在R上的函数，a,bR,都有，问是否为一个常值函数。解析：很难直接去证明是一个常值函数或者不是，注意到形式上的对称性，可对其进行变形处理，当ab0时，两边同时除以ab得，x0,则原式变成。观察可知这是对数函数的模型，而对数函数不是常值函数。因此只需要构造一个对数函数就能说明不是一个常值函数。例4.【5】已知为正整数，且。求证。分析：将待证不等式的两边取对数，得，即证明成立即可。证明：构造函数则有，所以由知，即，所以，证毕。2.3构造幂函数和指数函数 例5.比较与3的大小。 解析：构造函数，根据函数的凹凸性即可解答。 例6.【6】已知a、b、cR+，且，比较与的大小。 解析：比较与的大小等价于比较与1的大小。这是指数函数的模型，因此可以构造指数函数，利用指数函数的单调性可以解决问题。解：设因为a、b、cR+,所以当时，此时；当时，由是减函数知；当时，由是减函数知，此时。2.4构造三角函数代数问题和三角问题可以相互转化，利用三角中的关系式替代代数中的关系系式是构造三角模型的主要方式。三角函数是一类值得我们注意的重要函数。它们的单调性、有界性、周期性等都是很简单且易于运用的很好的性质。例7.（第31届西班牙数学奥林匹克试题）已知。解析：由题目中的关系式可以联想到三角函数中的关系式，令，用表示x,y,再计算x+y的值是否为0,就可以了。3 构造函数法在初等数学解题中的应用3.1.构造函数法在不等式问题中的应用构造函数法解不等式问题主要解决不等式证明和比较大小问题。构造函数法用于不等式证明的主要是根据不等式中变量关系构造函数，根据函数的单调性，有界性解决问题。例1思路分析：已知a,b,c为三角形的三边有a,b,c均大于零，但是不知道a,b,c具体的大小关系。若构造函数证明此不等式。证明：构造函数，即=1，(0x + ) 函数在(0，+)上是单调递增。三角形三边长具有0ca+b,，即+ +此题的关键在于根据了需要证明的不等式的形状，适当的构造了一个单调函数，再根据函数的单调性这一基本性质证明了结论。函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理，使之成为一个系统在具体运用时自如流畅，既要具有一定的思维定向也要谨防盲目套用。函数与不等式之间如同一对孪生兄弟通过对不等式结构特征的分析。来构造函数模型，常常可以收到出奇制胜的效果。此类 问题对转化能力要求很高。不能有效转化是解题难以突破的主要原因。要善函数证明不等式。要从被证的不等式的形特点入手，发生联想去寻找相应的基本函数，然后利用该函数的性质加以证明。 例2.解不等式4X+3X5X的解集。分析：若将不等式变形为（）x+()x1，则可引进函数，利用函数的单调性能解决问题。 解：将原不等式变形为（）x+()x1， （）2（）21 （）x+()x（）2（）2设原函数f(x)=（）x+()x,则原不等式即为f(x)f(2),易知在R上为单调递减函数，故元不等是的解集为2，）3.2构造函数法求最值 将（2），（3）带入（1）整理得， 。 3.3构造函数解决数列中的有关问题 数列的实质是函数用函数思想解数列问题能够加深对数列概念及公式的理解。加强知识点间的联系。 例4.7在等差数列中，已知，求的值。 解：因为，所以是n的一次函数，点共线，所以，共线，则有，化简即得，。3.4 构造函数法解几何问题 在几何问题中我们往往会遇到求夹角的最值和求线段的最短(长)距离等问题，如果仅从几何方面去思考，往往使问题难以解决倘若能够灵活地运用构造函数方法，便会使几何问题“柳暗花明”。 例5.8(2OLO福建文科数学）：若点O和点F，分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为 。解析：由题意，F（-1,0），设点P(m,n)则有，解得，n2=3(1),因为=（m+1,n）,=（m,n）,所以=m(m+1)+n2=m(m+1)+3（1）=+m+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为=-2因为-2m2,所以当m=2时， 取得最大值为6。构造函数法在数学解题中除了以上应用外, 还可以用于求近似计算、求导函数值证明恒等等。通过构造辅助函数, 我们可以利用知道的结论和定理来解决目前的题目, 需要注意的是原题和辅助题目应是等价的, 在解题中构造辅助函数方法灵活多样,具体问题应具体分析,仔细分析各类数学问题与函数的直接或间接联系,大胆联想、猜测、推理,就可以构造出合适的函数,在数学解题中往往能起到事半功倍的功效。4 构造函数对学生创造力发展的促进作用 如果把一道数学题的已知条件和结论视为河的两岸,那么,解题便犹如过河一样。数学中有着许许多多的“天桥”函数,便是这五颜六色的“天桥”中由此渡彼的一架“彩虹”。 构造函数思想是数学中的一种重要的思想方法,它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳法等思想,在数学教学工作中有意识地培养学生掌握这一方法, 可以开阔学生思路,培养学生分析问题、解决问题和创新的能力。 构造函数法解题有时虽然经历了一条曲折迂回的道路，并且往往经历了更多的巧思，联想，挖掘，但是它往往能独辟蹊径，顺利解决问题。这有利于让学生形成挖掘题目隐含条件的良好习惯，有利于提高学生的创造性思维品质，从而提高创新意识，也有利于培养学生的研究能力。 构造函数法解题主要在以下几个方面对学生的思维有促进作用： （1）构造函数法解题，有助于培养学生思维的灵活性。 构造函数有时产生于灵机一动，但这个灵机一动，是基于过去经验和训练的长期积累。注视学生中时明时暗的创造性“火花”，逐步促使其由低级向高级，由偶尔向经常，从自发向自觉转化。在运用构造函数法解题时往往要比较已知条件和结论，概括题目的特征，从而构造函数。而“比较概括构造”是培养学生思维灵活性的重要手段。 （2）构造函数法解题，有助于培养思维的深刻性。思维的深刻性是创造能力非常突出的条件。其表现为能发现事物的隐含信息；能揭示出此事物之所以是此事物而非彼事物的特有本质属性；能透过现象(含假象)排除干扰，归纳，抽象出事物的发生和发展变化规律。构造函数法中的构造，本身就是一种再创造，它理所当然地成为培养学生思维深刻性的极好素材。观察每个式子得结构及数量特征，联想有一个函数满足这样的特征，然后再构造出符合条件的函数。由此“观察联想构造”是培养思维深刻性的有效途径，只有善于并细心观察，大胆设想并展开联想的翅膀，才能作有效构造。“一个不亲自检查桥梁每一部分坚固性就不过桥的旅行者，是不可能走远的。甚至在数学中，有些事情亦需冒险”。 （3）构造函数法解题，有助于培养思维的批判性。多次实践的经验，常能使我们摸索出规律，获得技巧；习惯的态度、评价、感觉以及对公认现象和见解的深信不疑等，都会影响才能的发挥；绝不可把澡盆里的脏水和小孩一起倒掉。构造函数解法解题新颖简洁。与常规解法对比易见构造函数解题在培养学生的创造能力中所起的作用。这种作用的发挥是对过去经验和习惯思维模式批判性继承的结果。学生的创造能力，也正是在这