山东省枣庄四中高中数学《2.2.2反证法》课件 新人教A版选修22.ppt

1 用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有 不 不是 不可能 不存在 等词语的命题称为否定性命题 此类问题的正面比较模糊 而反面比较具体 适合使用反证法 用反证法证明否定性命题 2 反证法的证题步骤 第一步 分清命题的条件和结论 第二步 做出与命题结论相矛盾的假设 第三步 由假设出发 应用演绎推理方法 推出矛盾的结果 第四步 断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假设不成立 于是原结论成立 从而间接地证明了原命题成立 反证法的书写格式易错之处是 假设 易错写成 设 例1 已知三个正数a b c成等比数列 但不成等差数列 求证 不成等差数列 审题指导 本题的结论属否定性命题 可采用反证法证明 解题关键是利用等差 等比中项公式 规范解答 假设成等差数列 则即a c 2 4b 又a b c成等比数列 b2 ac 即b a c 2 4 a c 2 0 即 从而a b c这与已知中a b c不成等差数列矛盾 原假设错误 故不成等差数列 变式训练 已知平面上有四个点 不存在三点共线 求证 以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 证明 1 假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形 记这四个点为a b c d 考虑点d在 abc之内或之外两种情况 1 如果点d在 abc之内 如图 根据假设围绕点d的三个角都是锐角 其和小于270 这与一个周角等于360 矛盾 2 如果点d在 abc之外 如图 根据假设 bad b bcd d都小于90 这和四边形内角之和等于360 矛盾 综上所述 假设不成立 所以题中结论成立 用反证法证明唯一性命题的适用类型1 当证明结论以 有且只有 只有一个 唯一存在 等形式出现的命题时 由于反设结论易于推出矛盾 所以用反证法证明唯一性就非常简单明了 用反证法证明唯一性命题 2 用反证法证题时 一定要处理好推出矛盾这一步骤 因为反证法的核心就是从求证的结论反面出发 导出矛盾的结果 因此如何导出矛盾 就成为了关键所在 对于证题步骤 绝不可死记 而要具有全面扎实的基础知识 灵活运用 证明 有且只有一个 的问题 需要证明两个问题 即存在性问题和唯一性问题 例2 已知a b是异面直线 求证 过a且平行于直线b的平面只有一个 审题指导 原结论为唯一性命题 宜采用反证法 规范解答 假设过直线a且平行于直线b的平面有两个 分别为 和 在直线a上取点a 过b和a确定一个平面 且 与 分别交于过点a的直线c d 由b 知b c 同理b d 故c d 这与c d相交于点a矛盾 故假设不成立 原结论成立 变式训练 求证 两条相交直线有且只有一个交点 证明 假设结论不成立 令两条相交直线为a和b 即有两种可能 无交点 不只有一个交点 1 若直线a b无交点 那么a b或a与b是异面直线与已知矛盾 2 若直线a b不只有一个交点 则至少有两个交点a和b 这样同时经过点a b就有两条直线 这与 经过两点有且只有一条直线 矛盾 综上所述 原假设不成立 故两条相交直线有且只有一个交点 误区警示 注意明确反面有几种情况 不要忽略了某种情况 1 当命题出现 至多 至少 等形式时 适合用反证法 用反证法证明 至少 至多 等存在性命题 2 常见的 结论词 与 反设词 例3 若x 0 y 0 且x y 2 求证 与中至少有一个小于2 审题指导 结论中有词语 至少 宜采用反证法 注意 至少有一个 的否定形式为 一个也没有 规范解答 假设与都大于等于2 即 2 2 因为x 0 y 0 所以1 y 2x 1 x 2y 得2 x y 2x 2y 所以x y 2 这与已知条件x y 2矛盾 所以假设不成立 所以与中至少有一个小于2 变式训练 用反证法证明 若函数f x 在区间 a b 上是增函数 那么方程f x 0在区间 a b 上至多只有一个实数根 证明 假设方程f x 0在区间 a b 上至少有两个实根 设 为其中的两个实根 因为 不妨设 又因为函数f x 在 a b 上是增函数 所以f 这与f 0 f 矛盾 所以方程f x 0在区间 a b 上至多只有一个实根 例 若下列关于x的方程x2 4ax 4a 3 0 a为常数 下同 x2 a 1 x a2 0 x2 2ax 2a 0中 至少有一个方程有实根 试求实数a的取值范围 审题指导 本题若从正面分析求解a的范围 情况比较复杂 容易出错 而从反证法的思想出发 求得三个方程均无实根时a的范围 再求其补集就简单多了 规范解答 假设三个方程均无实根 则有 解得所以 a 1 所以当a 1或a 时 三个方程中至少有一个方程有实根 变式备选 若二次函数f x 4x2 2 p 2 x 2p2 p 1在区间 1 1 内至少存在一个实数c 使f c 0 求实数p的取值范围 解析 方法一 补集法 假设f x 在区间 1 1 上不存在实数c 使f c 0 令即即 p 3或p 符合题意的p的取值范围是 3 p 方法二 直接法 依题意 有f 1 0或f 1 0 即2p2 p 1 0或2p2 3p 9 0 p 1或 3 p 3 p 典例 12分 已知x yr且x2 y2 0 求证 x y全为零 审题指导 本题直接证明不易入手 宜采用反证法 规范解答 假设x y不全为零 则有以下三种可能 1 x 0 y 0 得x2 y2 y2 0 与x2 y2 0矛盾 4分 2 x 0 y 0 得x2 y2 x2 0 与x2 y2 0矛盾 7分 3 x 0 y 0 得x2 y2 0与x2 y2 0矛盾 10分综上原假设错误 故x y全为零 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 已知a 0 b 0 若a b 则 证明 假设不大于 即或因为a 0 b 0 所以即a b 又由b这些都与a b矛盾 所以假设不成立 所以 1 应用反证法推出矛盾的推导过程中 下列可以作为条件的是 假设 原命题的条件 公理 定理 定义等 原结论 a b c d 解析 选c 反证法中的所谓矛盾主要有两类 一是与题设中所给条件相矛盾 二是与已知事实相矛盾 2 自然数a b c中恰有一个偶数 的否定正确的为 a a b c都是奇数 b a b c都是偶数 c a b c中至少有两个偶数 d a b c中都是奇数或至少有两个偶数 解析 选d 恰有一个偶数的否定包括两类情况 其一是没有偶数 都是奇数 其二是至少有两个偶数 3 x 0且y 0 否定是 解析 p且q 的否定形式为 因此 x 0且y 0 的否定是 x 0或y 0 答案 x 0或y 0 4 设实数a b c满足a b c 1 则a b c中至少有一个不小于 解析 假设a b c都小于 则a b c 1与已知条件矛盾 故 a b c 中至少有一个不小于 答案 5 设0 x 2 0 y 2 0 z 2 求证 x 2 y y 2 z z 2 x 中至少有一个不大于1 证明 方法一 假设x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 x 1均成立 则三式相乘 有xyz 2 x 2 y 2 z 1 由于0 x 2 0 x 2 x x2 2x x 1 2 1 1