广东省连州市高三数学 《空间角》课件 新人教A版.ppt

空间角 1 异面直线所成的角 2 范围 1 定义 设a b是异面直线 过空间任一点o引 则所成的锐角 或直角 叫做异面直线a b所成的角 3 求法 平移法 向量法 设直线ab和cd所成的角为 则 09 广东 3 已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为2 点e是正方形bcc1b1的中心 点f g分别是棱c1d1 aa1的中点 设点e1 g1分别是点e g在平面dcc1d1内的正投影 2 证明 直线fg1 平面fee1 3 求异面直线e1g1与ea所成角的正弦值 2 直线与平面所成的角 3 范围 1 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 叫这条斜线和这个平面所成的角 2 若直线l 平面 则l与 所成角为直角若直线l 平面 或直线l 平面 则l与 所成角为0 定义法的具体步骤如下 找过斜线上一点与平面垂直的直线 连结垂足和斜足 得出斜线在平面的射影 确定出所求的角 把该角置于三角形中计算 4 求法 定义法 向量法 设是平面的一个法向量 直线ab与平面所成的角为 则 二面角的两个面的法向量的夹角与二面角的大小相等或互补 m 则 amb为二面角的平面角 求二面角 06 广东 3 如图所示 af de分别是 o o1的直径 ad与两圆所在的平面均垂直 ad 8 bc是 o的直径 ab ac 6 oe ad 求二面角b ad f的大小 求直线bd与ef所成的角的余弦值 45 06 安徽 p是边长为1的正六边形abcdef所在平面外一点 pa 1 p在平面abc内的射影为bf的中点o 证明pa bf 求面apb与面dpb所成二面角的大小 a b c d e f o p 06 陕西 如图 点a在直线l上的射影为a1 点b在l上的射影为b1 已知求 i 直线ab分别与平面所成角的大小 ii 二面角a1 ab b1的余弦值 45 30 11 湖南理19 如图 在圆锥po中 已知po d为ac的中点 证明 平面pod 求二面角b pa c的余弦值 o的直径ab 2 c是ab弧的中点 平面pac 10 广东 3 是半径为a的半圆 ac为直径 e点为的中点 点b和点c为线段ad的三等分点 平面aec外一点f满足 1 证明 eb fd 2 已知q r为线段fe fb上的点 求平面bed与平面rqd所成二面角的正弦值 09四川 理 19题 如图 四边形pcbm是直角梯形 pcb 90 pm bc pm 1 bc 2 又ac 1 acb 120 ab pc 直线am与直线pc所成的角为60 求证 平面pac 平面abc 求二面角m ac b的余弦值 求三棱锥p mac的体积 例 如图 在矩形abcd中 ab 4 ad 2 e为cd的中点 将 ade沿ae折起 使平面ade 平面abce 得到几何体d abce 1 求证 be 平面ade 并求ab与平面ade所成的角的大小 2 求bd与平面cde所成角的正弦值 1 在矩形abcd中 连接be 因为ab 2ad e为cd的中点 所以ad de eab 45 从而 eba 45 故ae eb 过d作do ae于o 因为平面ade 平面abce 所以do 平面abce 所以do be 又ae do o 所以be 平面ade 可知ae为ab在平面ade上的射影 从而 bae为ab与平面ade所成的角 大小为45 2 由 1 可知 do 平面abce be ae 过o作of be 以o为原点 oa of od分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则d 0 0 e 0 0 b 2 2 0 c 2 2 0 设平面cde的法向量n x y z 又 2 2 0 n 2x y z 0z xn x y 0y x 取x 1 得n 1 1 1 又 2 cos n 则bd与平面cde所成角的正弦值为 则 得 本例的求解策略说明 若方便获知直线在平面内的射影 则可用传统的构造法求直线与平面所成的角 若找直线在平面内的射影较难 则可用向量法求直线和平面所成的角 由 1 知平面平面pab 且ad bc 平面pab 作业 求二面角的常用方法 几何法 1 定义法 amb为二面角a l b的平面角 m是l上任意一点 在a内作射线ma l 在b内作射线mb l m 例1 06年江西卷 如图 在三棱锥a bcd中 侧面abd acd是全等的直角三角形 ad是公共的斜边 且ad bd cd 1 另一个侧面是正三角形 求二面角b ac d的余弦值 n b 2 求二面角p ad b的余弦值 2 三垂线法 amo为二面角a bc d的平面角 若ao 平面bcd于o 则作om bc于m 连结am 08 北京 2 如图 在三棱锥p abc中 ac bc 2 acb 90 ap bp ab pc ac 求证 pc ab 求二面角b ap c的大小 ec是be在平面pac内的射影 bec是二面角b ap c的平面角 ce be 三垂线法作二面角的步骤 1 过点a作面bcd的垂线段ao 2 过垂足o作交线bc的垂线om 3 连接am 08 天津 3 在四棱锥p abcd中 底面abcd是矩形 已知 证明ad 平面pab 求二面角p bd a的正切值 04 广东 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 已知ab 4 ad 3 aa1 2 e f分别是线段ab bc上的点 且eb fb 1 求二面角c de c1的正切值 10 广东 3 是半径为a的半圆 ac为直径 e点为的中点 点b和点c为线段ad的三等分点 平面aec外一点f满足 1 证明 eb fd 2 已知q r为线段fe fb上的点 求平面bed与平面rqd所成二面角的正弦值 无棱二面角 故平面bed与平面rqd所成二面角的正弦值是 06 重庆 四棱锥p abcd中 pa 底面abcd dab为直角 ab cd ad cd 2ab e f分别为pc cd的中点 试证 cd 平面bef 设pa k ab 且二面角e bd c的平面角大于30 求k的取值范围 11湖北18 如图 已知正三棱柱 的各棱长都是4 e是bc的中点 动点f在侧棱cc1上 且不与点c重合 当cf 1时 求证 设二面角 的大小为 求 的最小值 05 广东16 在四面体p abc中 已知pa bc 6 pc ab 10 ac 8 f是线段pb上一点 点e在线段ab上 且ef pb 证明 pb 平面cef 求二面角b ce f的正切值 用向量法但不用建系 2009 广州一模理 如下图 在三棱锥p abc中 pa 平面abc ab ac d e f分别是棱pa pb pc的中点 连接de df ef 1 求证 平面def 平面abc 2 若pa bc 2 当三棱锥p abc的体积最大时 求二面角a ef d的平面角的余弦值 1 求证 平面def 平面abc 1 证明 d e分别是棱pa pb的中点 de是 pab的中位线 de ab de 平面abc ab 平面abc de 平面abc 同理可证df 平面abc de df d de 平面def df 平面def 平面def 平面abc 2 由已知pa 平面abc ac ab pa bc 2 ab2 ac2 bc2 4 2 若pa bc 2 当三棱锥p abc的体积最大时 求二面角a ef d的平面角的余弦值 当且仅当ab ac时等号成立 v取得最大值 其值为 解法一 作dg ef 垂足为g 连接ag pa 平面abc 平面abc 平面def pa 平面def ef 平面def pa ef dg pa d ef 平面pag ag 平面pag ef ag 解法二 分别以ab ac ap所在直线为x轴 y轴 z轴 建立如右图的空间直角坐标系a xyz 则a 0 0 0 d 0 0 1 二面角a ef d的平面角的余弦值为 四 教学过程的设计与实施 总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤 1 建立坐标系 写出点与向量的坐标 2 求出平面的法向量 进行向量运算求出法向量的夹角 3 通过图形特征或已知要求 确定二面角是锐角或钝角 得出问题的结果 2008 山东卷 如图 已知四棱锥p abcd中 底面abcd为菱形 pa 平面abcd abc 60 e f分别是bc pc的中点 1 证明 ae pd 2 若h为pd上的动点 eh与平面pad所成最大角的正切值为 求二面角e af c的余弦值 1 证明 由四边形abcd为菱形 abc 60 可得 abc为正三角形 因为e为bc的中点 所以ae bc 又bc ad 因此ae ad 因为pa 平面abcd ae 平面abcd 所以pa ae 而pa 平面pad ad 平面pad 且pa ad a 所以ae 平面pad 又pd 平面pad 所以ae pd 2 设ab 2 h为pd上任意一点 连接ah eh 由 1 知 ae 平面pad 则 eha为eh与平面pad所成的角 在rt eah中 ae 所以当ah最短时 eha最大 即当ah pd时 eha最大 此时tan eha 因此ah 又ad 2 所以 adh 45 所以pa 2 方法一 因为pa 平面abcd pa 平面pac 所以平面pac 平面abcd 过e作eo ac于o 则eo 平面pac 过o作os af于s 连接es 则 eso为二面角e af c的平面角 在rt aoe中 eo ae sin30 ao ae cos30 在rt aso中 so ao sin45 因为se 所以在rt eso中 cos eso 即所求二面角的余弦值为 方法二 由 1 知ae ad ap两两垂直 以a为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 又e f分别为bc pc的中点 所以有a 0 0 0 b 1 0 c 1 0 d 0 2 0 p 0 0 2 e 0 0 f 12 1 所以 0 0 1 设平面aef的一法向量为m x1 y1 z1 m 0 x1 0m 0 x1 y1 z1 0 取z1 1 则m 0 2 1 因为bd ac bd pa pa ac a 所以bd 平面afc 故为平面afc的一法向量 又 3 0 所以cos m 因为二面角e af c为锐角 所以所求二面角的余弦值为 则 因此 如图 在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中 e是棱bc的中点 点f是棱cd上的动点 1 试确定点f的位置 使得d1e 平面ab1f 2 当d1e 平面ab1f时 求二面角c1 ef c的正切值的大小 欲使d1e 平面ab1f 只需d1e垂直于平面ab1f内的两条相交直线af和ab1 而异面直线垂直的问题可利用线面垂直的定义来证明 2 的解决关键是由二面角的定义 只需作出棱ef的垂面 计算平面角的大小即可 1 如图 连接a1b de 因为a1b ab1 a1d1 ab1 所以ab1 平面a1bed1 所以ab1 ed1 又因为e为线段bc的中点 d1d af 所以f为线段dc的中点时 有de af 则af 平面d1de 所以d1e af 故d1e 平面ab1f 2 连接c1e c1f ac ef ac与ef交于点h 连接c1h 由 1 知 ac ef 又c1c ef 所以ef 平面c1hc 所以 c1hc就是二面角c1 ef c的平面角 易知在rt c1hc中 c1c 1 ch 所以tan c1hc 2 1 空间角包括 两异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角 求空间角首先要把它转化为平面角 然