江苏省邳州市高中数学 2.4 指数与指数函数课件 苏教版必修2.ppt

要点梳理1 指数幂的概念 1 根式一般地 如果一个数的n次方等于a n 1且n n 那么这个数叫做a的n次方根 也就是 若xn a 则x叫做 其中n 1且n n 式子叫做 这里n叫做 a叫做 a的n次方根 根式 根指数 被开方数 2 4指数与指数函数 基础知识自主学习 2 根式的性质 当n为奇数时 正数的n次方根是一个正数 负数的n次方根是一个负数 这时 a的n次方根用符号 表示 当n为偶数时 正数的n次方根有两个 它们互为相反数 这时 正数的正的n次方根用符号 表示 负的n次方根用符号 表示 正负两个n次方根可以合写为 a 0 a 当n为奇数时 当n为偶数时 负数没有偶次方根 零的任何次方根都是零 3 分数指数幂的意义 a 0 m n n 且n 1 a 0 m n n 且n 1 a 思考分数指数幂与根式有何关系 分数指数幂是根式的另一种写法 因此分数指数幂与根式之间可以相互转化 在分数指数幂的定义中 我们只对正数和零的分数指数幂进行了定义 但事实上 负数也有分数指数幂 但必须保证相应的根式有意义 2 有理数指数幂的运算性质 asat a 0 t q s q as at a 0 t q s q as t a 0 t q s q ab t a 0 b 0 t q as t ast atbt 提示 as t 2 指数函数 1 指数函数的定义 一般地 函数y ax a 0且a 1 叫做指数函数 其中x是自变量 2 指数函数y ax a 0且a 1 的图象及性质如下表所示 基础自测1 化简的结果是 解析原式 4 5 1 2 2010 淮安模拟 设y1 40 9 y2 80 44 y3 则y1 y2 y3的大小关系为 解析 y1 40 9 21 8 y2 80 44 21 32 y1 y3 y2 y1 y3 y2 1 3 若a 0 a 1 则函数y ax 1的图象一定过点 解析由函数y ax的图象过点 0 1 可知函数y ax 1的图象过点 1 1 4 当x 0 2 时 函数y 3x 1 2的值域是 解析 y 3x 1是增函数 当x 0 2 时 3 3x 1 33 1 3x 1 2 25 1 1 1 25 例1 2010 镇江模拟 化简与计算 1 2 3 有理指数幂的运算 注意将小数化成分数 根式化成分数指数幂 典型例题深度剖析 分析 解 跟踪练习1已知a b是方程x2 6x 4 0的两根 a b 求 1 a3 b3 2 解 1 a b是方程的两根且a b a b 6 ab 4 a b均为正数 a3 b3 a b a2 ab b2 a b a b 2 3ab 代入a b 6 ab 4得a3 b3 6 62 3 4 6 24 144 2 a b 0 代入a b 6 ab 4 例2 已知函数 1 作出图象 2 由图象指出其单调区间 3 由图象指出 当x取什么值时有最值 先化去绝对值符号 将函数写成分段函数的形式 再作出其图象 然后根据图象判断其单调性 最值 解 1 由函数解析式可得其图象分成两部分 分析 一部分是 x 2 的图象 由下列变换可得到另一部分y 2x 2 x 2 的图象 由下列变换可得到y 2xy 2x 2 如图为函数的图象 2 由图象观察知函数在 2 上是增函数 在 2 上是减函数 3 由图象观察知 x 2时 函数有最大值 最大值为1 没有最小值 向左平移2个单位 向左平移2个单位 跟踪练习2 1 函数的定义域 值域分别是 2 若直线y 2a与函数y ax 1 a 0且a 1 的图象有两个公共点 则a的取值范围是 解析 1 方法一函数的定义域是r 因为当x 0时 0 1 当x 0时 0 2x 1 所以函数的值域是 0 1 方法二利用图象变换作出的图象 由图可知值域为 0 1 2 画y 2a与函数y ax 1 a 0且a 1 图象 当a 1时 不可能有两个公共点 当0 a 1时 如右图 由图象可知0 2a 1 0 a 答案 1 r 0 1 例3 求下列函数的定义域 值域及其单调区间 1 定义域是使函数有意义的x的取值范围 单调区间利用复合函数的单调性求解 2 利用换元法 同时利用复合函数单调性判断方法进而求得值域 解 1 依题意x2 5x 4 0 解得x 4或x 1 f x 的定义域是 1 4 分析 x 1 4 函数f x 的值域是 1 当x 1 时 u是减函数 当x 4 时 u是增函数 而3 1 由复合函数的单调性可知 在 1 上是减函数 在 4 上是增函数 故f x 的增区间是 4 减区间是 1 函数的定义域为r 令t t 0 g t t2 4t 5 t 2 2 9 t 0 g t t 2 2 9 9 等号成立的条件是t 2 即g x 9 等号成立的条件是 2 即x 1 g x 的值域是 9 由g t t 2 2 9 t 0 而t 是减函数 要求g x 的增区间实际上是求g t 的减区间 求g x 的减区间实际上是求g t 的增区间 g t 在 0 2 上递增 在 2 上递减 由0 t 2 可得x 1 由t 2 可得x 1 g x 在 1 上递减 在 1 上递增 故g x 的单调递增区间是 1 单调递减区间是 1 跟踪练习3 2010 南通模拟 已知函数f x a2x 2ax 1 a 0 且a 1 在区间 1 1 上的最大值为14 求实数a的值 指数函数与二次函数复合函数的性质的讨论 可用换元法 同时要注意底数a对函数y ax单调性的影响 解令y a2x 2ax 1 ax 1 2 2 由x 1 1 知 当a 1时 显然当ax a 即x 1时 ymax a 1 2 2 a 1 2 2 14 即a 3 a 5舍去 分析 当0 a 1时 则由x 1 1 得ax 综上所述 a 或a 3 例4 14分 已知定义在r上的奇函数f x 有最小正周期2 且当x 0 1 时 f x 1 求f x 在 1 1 上的解析式 2 证明 f x 在 0 1 上是减函数 3 当 为何值时 方程f x 在 1 1 上有实数解 解题示范 1 解当x 1 0 时 x 0 1 f x 是奇函数 由f 0 f 0 f 0 且f 1 f 2 1 f 1 f 1 得f 0 f 1 f 1 0 在区间 1 1 上 有 2 证明当x 0 1 时 f x 设0 x1 x2 1 00 即f x1 f x2 故f x 在 0 1 上单调递减 10分 3 解因为当x 0 1 时 f x 是减函数 所以f x 同理x 1 0 时 f x 又f 1 f 0 f 1 0 f x 在 1 1 上有实数解 14分 跟踪练习4设a 0 是r上的偶函数 1 求a的值 2 求证 f x 在 0 上是增函数 1 解 f x 是r上的偶函数 f x f x 2 证明在 0 上任取x1 x2 且x1 x2 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 故f x 在 0 上是增函数 本节内容在高考中占有重要地位 以基本概念 基本运算 数值的大小比较及以指数函数的性质为载体考查不等式问题 有时也与函数性质 二次函数 方程 不等式等内容结合 以综合题的形式考查 1 单调性是指数函数的重要性质 特别是函数图象的无限伸展性 x轴是函数图象的渐近线 当01 x 时 y 0 当a 1时 a的值越大 图象越靠近y轴 递增的速度越快 思想方法感悟提高 高考动态展望 方法规律总结 当0 a 1时 a的值越小 图象越靠近y轴 递减的速度越快 2 画指数函数y ax的图象 应抓住三个关键点 1 a 0 1 3 熟记指数函数y 10 x y 2x y y 在同一坐标系中图象的相对位置 由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系 4 在有关根式 分数指数幂的变形 求值过程中 要注意运用方程的观点处理问题 通过解方程 组 来求值 或用换元法转化为方程来求解 一 填空题1 2010 镇江模拟 若0 x 1 则2x 2 x 0 2x的大小关系是 解析 2x 2 x 0 2x 定时检测 2 2011 江苏 已知a 函数f x ax 若实数m n满足f m f n 则m n的大小关系为 解析 0f n m n 3 2011 山东烟台模拟 函数y 2 x 的单调增区间是 解析画出函数的图象 如图 m n 0 4 2010 泰州月考 设函数若f x 是奇函数 则g 2 解析 f 2 2 2 f 2 f 2 又 f 2 g 2 g 2 5 2010 扬州调研 若函数y 4x 3 2x 3的定义域为集合a 值域为 1 7 集合b 0 1 2 则集合a与集合b的关系为 解析因为y 4x 3 2x 3的值域为 1 7 所以1 2x 2 3 2x 3 7 所以x 0或1 x 2 6 2010 南京调研 若f x x2 2ax与g x a 1 1 x在区间 1 2 上都是减函数 则a的取值范围是 解析f x x2 2ax与g x a 1 1 x在区间 1 2 上都是减函数 即故0 a 1 a b 0 1 7 2010 锦州模拟 函数y ax a 0 且a 1 在 1 2 上的最大值比最小值大 则a的值是 解析当a 1时 y ax在 1 2 上单调递增 当0 a 1时 y ax在 1 2 上单调递减 8 2010 盐城模拟 函数f x x2 bx c满足f 1 x f 1 x 且f 0 3 则f bx f cx 用 f 2x f 3x f 2x 9 2011 湖北黄冈四市联考 设函数f x 2x 1 的定义域和值域都是 a b b a 则a b 解析因为f x 2x 1 的值域为 a b 所以b a 0 而函数f x 2x 1 在 0 上是单调递增函数 因此应有所以有a b 1 1 二 解答题10 2011 广东韶关一模 要使函数y 1 2x 4xa在x 1 上y 0恒成立 求a的取值范围 解由题意得1 2x 4xa 0在x 1 上恒成立 11 2011 江苏苏北四市期末 设f x ax b同时满足条件f 0 2和对任意x r都有f x 1 2f x 1成立 1 求f x 的解析式 2 设函数g x 的定义域为 2 2 且在定义域内g x f x 且函数h x 的图象与g x 的图象关于直线y x对称 求h x 3 求函数y g x h x 的值域 解 1 由f 0 2 得b 1 由f x 1 2f x 1 得ax a 2 0 由ax 0得a 2 所以f x 2x 1 2 由题意知 当x 2 2 时 g x f x 2x 1 设点p x y 是函数h x 的图象上任意一点 它关于直线y x对称的点为p y x 依题意点p y x 应该在函数g x 的图象上 即x 2y 1 所以y log2 x 1 即h x log2 x 1 3 由已知得 y log2 x 1 2x 1 且两个函数的公