桥梁、弦艺术和Bézier曲线.docxVIP

桥梁、弦艺术和Bzier曲线Renan Gross耶路撒冷弦桥建造以色列耶路撒冷弦桥是为了该城市的轻轨列车系统。然而，它的设计不仅仅将实用考虑在内，它还是一件艺术作品，被设计成一座丰碑。其美丽不仅在于其纵横交错的缆线的视觉外观，而且还在于它背后的数学。让我们深入研究一下桥和桥背后的故事。弦桥的晚景弦桥通常是悬索桥，它的整体重量由上方承担。在这种情况下，桥面由多条强大的钢索连接到一个单一的塔。缆线以下列方式连接：塔顶的缆线支撑桥梁的中心，底部的那些缆线支撑更远部分的受力，因为这个原因我们看到缆线相互交叉。从下面看弦桥尽管这些缆线给出了一条条离散直线，但我们注意到一个明显的特点：缆线边缘的轮廓似乎惊人的光滑。我们不禁要问它服从某些数学公式吗？为了找出边缘形成的形状，我们将着手为桥梁制定一个数学模型。由于建筑本身是相当复杂的，它具有弯曲的桥面和一个由两部分组成的斜塔，我们将不得不提出一些简化模型。虽然我们失去了一点点的准确度和精密度，但我们获得了数学的简单性，并且仍然可以捕捉到弦桥形式的美丽本质。更重要的是，我们还能够将我们的简化模型结果推广到实际的桥梁结构上去。这就是建模的核心-抓住现实世界中的重要特征，并把它们转化为数学。桥弦分析让我们先建立一个坐标系(x, y)，x-轴对应于桥基，y-轴对于将桥挂起的塔。图1：坐标轴叠加在桥上把塔取成y-轴从0到1的部分，桥面取成x-轴从0到1的部分，然后我们在每根轴画上有均匀间距的n个标志。从x-轴上的每个标志，我们画一条直线到y-轴，使得x-轴上的第1个标记和y-轴上的第n个标志相连，x-轴上的第2个标记和y-轴上的第n1个标志相连，等等。这些线代表我们的桥弦。我们还假设x-轴和y-轴直角相交。这不是一个完美的现实画面，缆线没有均匀分布，塔和桥面也不垂直，但这一假设简化了分析。图2：坐标轴和均匀间隔的弦桥弦形成的轮廓基本上是出于缆线和它们相邻缆线的交叉点：你用一条直线把每个交叉点及它后面的交叉点相连。弦越多，轮廓越光滑。因此，众多的弦引导出了被称为包络线的平滑曲线，当有充分多条弦存在时你会看到非常漂亮的轮廓。放弃详细计算（你可以在这里找到），我们发现这条曲线上所有点的坐标具有下面的形式其中t在0和1之间。因此，我们会问：这是它吗？形状是以这样一个数学关系出现吗？事实上，不是！虽然起初不容易看到，但我们都要证明其数学关系实际上是一个抛物线方程！对此你可能会说，一个抛物线的方程是：y=ax2+bx+c,它与我们上面得到的结果非常不同。你说得不错，然而，花一点功夫就可以证明我们的抛物线的论断，如果我们定义R=x+y和S=xy，我们就能把我们不熟悉的方程改写为这个形式就是我们熟知的抛物线方程。通过用S和R取代变量x和y，我们实际上已经将坐标系旋转了45度。但这个新的坐标系吓不住我们。正如我们可以看到的，抛物线的方程都是一样的。图3：上：抛物线R(S)=S2/2+1/2。左下：倾斜45度的同样的抛物线。右下：将左图中x和y在0和1之间的正方形中的倾斜抛物线放大，这就是代表了桥的区域。我们得到的结果是，缆线的轮廓基本上是抛物线，这让我们很满意，因为抛物线有一个简单而优雅的形状。但它也使我们有点纳闷。为什么如此简单？为什么是抛物线，而不是一些其它的曲线？如果我们改变桥的形状，比方说使塔更倾斜一些，它会如何影响我们的曲线？有什么方法对之前用的简化假设做出修改呢？一个不太可能的答案我们的问题答案源于一个令人惊讶的领域：汽车设计。早在20世纪60年代，工程师Pierre Bzier使用特殊的曲线指定他的汽车零部件看起来的形状。这些曲线称为Bzier曲线。现在看看它们能给我们提供什么样的启发。我们都知道，任何两点间只有一条直线，因此，我们可以只用两个点定义一条特定的线。类似地，Bzier曲线可以由任何数量的称为控制点的点来定义。不像直线那样，它不通过所有的这些点，而是始于第一点，结束于最后那个点，但不一定通过所有的其它点。相反，其它的点充当“砝码”，引导曲线从初始点流到最后点。需要指出的是，给定的总点数是有特定意义的。点的个数用来定义曲线的次数。一条两点线性Bzier曲线有次数1，它就是通常的直线；三点的二次Bzier曲线有次数2，为抛物线；一般地，一个次数为n的曲线有n+1个控制点。图4：次数为1,2和3的Bzier曲线Bzier曲线构造的一个可视化好方法是想象有一支铅笔，它从第一个控制点开始绘制到最后一个控制点。在其途中，铅笔被吸引到不同的控制点，但在移动过程中铅笔的被吸引度不断变化。起初前几个控制点最吸引它，所以铅笔开始绘制时是朝着它们的方向走。随着铅笔的向前移动，它越来越被后面的控制点吸引，直到它到达最后一点。在我们画线的任何给定时刻，我们可以问：“铅笔已经画了曲线的百分之几了？”这个百分比被称为曲线参数，并以t标记。图5：绘制Bzier曲线这一切又如何涉及到我们的抛物线型桥？当我们看到如何绘制Bzier曲线时，就会揭示这样的联系。绘制的方式之一是按照曲线坐标的数学公式。我们将跳过这种方式（你可以在这里看到这个公式），而转到第二种方法：递归地构造Bzier曲线。在这个方法中，为了构建一个次数为n的曲线，我们使用两个次数为n1的曲线。下面我们用一个例子来说明它。假设我们有一条三次曲线。它由四个点P0,P1,P2,P3定义。从这些我们建立两个新的点组：除最后点之外的所有点，或者除了第一点以外的所有点。因此我们有： 第一组：P0,P1,P2; 第二组：P1,P2,P3.这两组中的每一个定义了一条二次Bzier曲线。还记得我们如何讲到使用铅笔，从第一点移动到最后一点。现在，假设你有两支铅笔同时画这两条二次曲线。第一条将从P0开始，收于P2，而第二条始于P1而终于P3。在两支铅笔行走的任何给定时刻，你可以用一条直线连接他们的位置。因此，在这两支笔画的时候，想到第三支铅笔。这支铅笔总是在前两支铅笔当前位置连接线上的某个地方，并以和其他两支笔同样的速度移动。开始时它是在P0和P1的连线上，因为前两支铅笔才移动了曲线的0%，第三支铅笔沿着这条线的0%处，故在P0点。当其他两支铅笔走了比方说曲线的36%，分别位于点Q0和Q1，第三支铅笔是在Q0和Q1连线中标志为36%的那个点。当其他两支铅笔已经完成了他们100%的旅程，分别在点P2和P3处，第三铅笔是在P2和P3连线上的100%处，即在P3点。图6：用二次曲线构造一条三次Bzier曲线。红色和绿色的曲线是二次曲线，而粗的黑色曲线是三次曲线 - 这是我们要构建的曲线。点Q0和Q1沿着两条二次曲线走，而我们的绘图铅笔总是沿着连接Q0和Q1的蓝线走。一个很好的问题是：刚才我们描述了如何构造一条n次曲线，但这样做需要绘制n1次曲线。我们如何知道该怎样做呢？幸运的是，我们可以对这些助理曲线应用完全相同的过程。我们将从两条次数较小的曲线把它们构造出来。重复此过程，我们最终完成曲线的绘制。这是线性一次曲线，即仅仅是一条直线，画它没有任何问题。因此，所有复杂的Bzier曲线可以通过很多直线的组合绘制而成。应用Bzier曲线现在我们有点熟悉Bzier曲线了，那么可以回到原来的问题：什么原因使桥的形状成为抛物线？我们怎样才能扩展我们的模型，以减弱我们所提出的假设？事实证明，美丽的弦桥只是一条二次Bzier曲线！要看到这一点，让我们回到代表桥梁的坐标系统，绘制对应调整三个点P0,P1,P3的坐标之间的间距，使之一致。使用我们的递归过程，这条二次曲线将由两条直线形成：从P0到P1的直线（从1下降到0的y-轴）和从P1到P2的直线（从0增加到1的x-轴）。现在假设第一支铅笔已沿y-轴下降距离t到达点(0,1t)。与此同时，第二支铅笔沿着x-轴达到点(0,t)。因此，第三支铅笔将在从点(0,1t)到点(0,t)的线Lt上的100t%的位置。因此，Bzier曲线与所有t属于0和1之间的线Lt相遇。这些线（或至少它们当中的n条）对应于我们的桥弦。图7：红色箭头代表t=0.5时t沿轴走过的距离，蓝线是线L0.5。现在设t=0.5，我们则看到线L0.5的中点P=(0.25,0.25)位于Bzier曲线上。图8显示P点还位于所有Lt形成的轮廓上（如果这张图不使你信服，请看这里的网页）。这足以表明，Bzier曲线和轮廓线是相同的曲线。如图8所示，任何其它与Lt相遇的抛物线将错过点P并穿越线L0.5两次。图8：蓝线代表Lt的一部分。红线是L0.5。绿色曲线表明除轮廓线外的任何抛物型线都不会碰到P点欣赏这一事实将使我们能够处理先前模型的一些不准确之处。首先，我们曾经假设轴之间互相垂直，即塔和桥面之间实际上有一个角度。现在我们看到，这并不重要。如果我们将y-轴（以及任何其他在x-轴和y-轴之间从原点(0, 0)辐射出的线）反时针旋转一个所需的角度以增加轴之间的角度，刚才使用的论点依然有效。我们知道，任何二次Bzier曲线是一条抛物线，桥梁轮廓因而仍然是一条抛物线。其次，我们看到，在我们的模型中弦是否均匀分布无关紧要：它们只是其轮廓定义Bzier曲线的直线族Lt的一些代表罢了。第三，由塔而来的桥弦不跨越它的整个长度，在大约一半处终止。这意味着，我们只看到部分Bzier曲线。如果向前延长桥面，我们仍将有一条抛物线满足P2=(2,0)。然后桥弦的轮廓是抛物线的一部分，并跨越到(0,1)。图9：用于弦桥的正确Bzier曲线知道了抛物线形状的弦桥轮廓的根本原因后，现在我们可以稍休息一下。某种意义上说，20世纪60年代用于汽车零部件设计的曲线已经潜入到21世纪的桥梁设计之中！Bzier曲线无处不在Bzier曲线的妙处远远不仅仅体现在汽车和桥梁上。它进入了更多的领域和并有着广泛的应用。其中的一个领域是弦艺术，这时弦线在充满钉子的板上散布着。虽然弦只能作直线，它们中的许多以不同的角度排列而生成Bzier曲线轮廓，就像桥弦所为。图10：由弦组成的一艘船和模式Bzier曲线的另一个有趣之处表现在计算机图形学。在许多图像处理程序中，我们常常用画笔工具绘制Bzier曲线。更重要的是，许多计算机的字体是用Bzier曲线定义的。