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高等代数试题 一、 填空题（每小题4分，共12分）1已知,则的维数为 ,此生成空间的一组基为 .2已知是的一个基，由基，到基的过渡矩阵为 ，向量关于基的坐标为 .3. 设是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为，则向量的长度为 .二（28分）已知二次型， 通过某个正交线性替换可化为标准形，（1） 写出二次型的矩阵A及A的特征多项式，并确定的值； （2）求出作用的正交线性替换；（3）二次型是否正定？求出的正惯性指数。三（16分）已知复系数矩阵， （1） 求矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子；（2） 求矩阵的若当标准形；（3）求矩阵的有理标准形。四（16分）设是数域上的n维线性空间，为的两个子空间，并且，任取，设，定义变换：（1）证明：是上的线性变换且；（2）证明：； （3）证明：在某组基下的矩阵为，其中为r级单位矩阵，请指出r等于什么？ 五（10分）设是线性空间V的一组基，是它的对偶基， ，（1）证明：也是V的一组基；（2）用表出的对偶基。 六(8分) 设是一个n维欧氏空间，为中的正交向量组，令（1）证明：是的一个子空间；（2）证明：。七(10分) 1、设是维欧式空间V的一个线性变换。证明：如果满足下列三个条件中的任意两个，那么它必然满足第三个： （i）是正交变换； （ii）是对称变换； （iii）是单位变换。 2、若是一般欧式空间V上的线性变换，上述结论是否成立？（以下不要）七(6分) 设是两个实对称矩阵，且是正定矩阵。证明存在一实可逆矩阵，使得同时为对角形。四、设是全体次数不超过的实系数多项式，再添上零多项式组成的实数域上的线性空间，定义上的线性变换： (1) 写出线性变换在基下的矩阵；（4分）(2) 求的核和值域；（6分）(3) 证明：.（6分）二、已知二次型，通过某个正交变换可化为标准形，(1) 写出二次型对应的矩阵A及A的特征多项式，（4分）并
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