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文档简介

第一部分函数 极限 连续 1 3 连续1 连续函数的概念2 连续函数的性质3 初等函数的连续性 1 连续函数的概念 函数在一点的连续性间断点的分类区间上的连续函数 定义1 由定义1知 我们是通过函数的极限来定义连续 一 函数在一点的连续性 性的 换句话说连续就是指 回顾 函数的极限 同学们还记得我么 还记得 语言么 例 证 例 这是因为 又如 函数 极限 由极限的定义 定义1可以叙述为 对于任意正数e 这是因为 存在d 0 对任意的存在当时 为狄利克雷函数 证 注意 上述极限式绝不能写成 例1 由上面的定义和例题应该可以看出 函数在点x0 类似于左 右极限 下面引进左 右连续的概念 要求这个极限值只能是函数在该点的函数值 极限存在是函数连续的一个必要条件 而且还 x0连续 那么它在点x0必须要有极限 这就是说 有极限与在点x0连续是有区别的 首先f x 在点 定义3 很明显 由左 右极限与极限的关系以及连续函数 有定义 若 的定义可得 例2讨论函数 解因为 点击上图动画演示 综上所述 所以 二 间断点的分类 定义4 定义 若f在点x0无定义 或者在点x0有定义但却 由此 根据函数极限与连续之间的联系 如果f在 点x0不连续 则必出现下面两种情况之一 或不连续点 在该点不连续 那么称点x0为函数的一个间断点 等于f x0 根据上面的分析 我们对间断点进行如下分类 1 可去间断点 若 一个可去间断点 注x0是f的跳跃间断点与函数f在点x0是否有定 点 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点 义无关 有一个不存在 例 解 例 解 注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义 则可使其变为连续点 例 所以 并且是的一个可去间断点 例讨论函数 在x 0处是否连续 若不连续 则是什么类型的 间断点 所以f x 在x 0处右连续而不左连续 从而不 断点是跳跃间断点 连续 既然它的左 右极限都存在 那么这个间 例 解因为由归结原理可知 均不存在 点 例 解 这种情况成为无穷间断点 例 解 注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点 狄利克雷函数 在定义域R内每一点处都间断 且都是第二类间断点 仅在x 0处连续 其余各点处处间断 判断下列间断点类型 例 解 小结 1 函数在一点连续必须满足的条件 3 间断点的分类与判别 2 区间上的连续函数 第一类间断点 可去型 跳跃型 第二类间断点 无穷型 振荡型 间断点 见下图 可去型 第一类间断点 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 思考题 练习题 练习题答案 三 区间上的连续函数 若函数f在区间I上的每一点都连续
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