江西省井冈山中学高一数学《412利用二分法求方程的近似解》课件.pptVIP

第四章函数应用 理解教材新知 1函数与方程 把握热点考向 应用创新演练 考点一 考点二 考点三 1 2利用二分法求方程的近似解 在一个风雨交加的夜里 从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障 这是一条10km长的线路 如果沿着线路一小段一小段查找 困难很多 每查一点要爬一次电线杆子 10km长 大约有200多根电线杆子 如图 问题1 维修线路的工人师傅怎样工作最合理 提示 首先从ab的中点c查 随带话机向两端测试 若发现ac正常 断定故障在bc段 再取bc中点d 再测cd和bd 问题2 在有限次重复相同的步骤下 能否最快地查出故障 提示 能 对于在区间 a b 上连续不断且的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 f a f b 0 一分为二 二分法就是通过不断逼近的方法 找到零点附近足够小的区间 根据所要求的精确度 用此区间的某个数值近似地表示零点 如图 例1 利用计算器 求方程lgx 2 x的近似解 精确到0 1 思路点拨 解答本题可首先确定lgx 2 x的根的大致区间 y lgx y 2 x的图像可以作出 由图像确定根的大致区间 再用二分法求解 精解详析 作出y lgx y 2 x的图像 可以发现 方程lgx 2 x有唯一解 记为x0 并且解在区间 1 2 内 设f x lgx x 2 用计算器计算得f 1 0 x 1 2 f 1 5 0 x 1 5 2 f 1 75 0 x 1 75 2 f 1 75 0 x 1 75 1 875 f 1 75 0 x 1 75 1 8125 在区间 1 75 1 8125 中的值精确到0 1均为1 8 近似解为1 8 一点通 用二分法求方程的近似解 首先要选好计算的初始区间 这个区间既要包含所求的根 又要使其长度尽量小 其次要依据给定的精确度 及时检验所得区间端点的近似值是否达到要求 达到给定的精确度 以决定是停止计算还是继续计算 1 设f x 3x 3x 8 用二分法求方程3x 3x 8 0在x 1 2 内近似解的过程中得f 1 0 f 1 25 0 所以方程的根在 1 25 1 5 内 答案 b 2 求方程x3 x 1 0在 1 1 5 的一个实根 精确到0 1 解 设f x x3 x 1 f 1 10 方程在 1 1 5 内有实数解 用二分法逐次计算 列表如下 至此 可以看出 1 3125 1 34375 内的所有值 若精确到0 1都是1 3 方程在区间 1 1 5 的实数解精确到0 1的近似解是1 3 例2 用二分法求函数y x3 3的一个正零点 精确到0 01 思路点拨 精解详析 由于f 1 20 因此可取区间 1 2 作为计算的初始区间 用二分法逐次计算 见表如下 因为区间 1 44140625 1 443359375 内的所有值 若精确到0 01都是1 44 所以1 44就是所求函数一个精确到0 01的正零点的近似值 一点通 二分法求解步骤 1 确定区间 a b 验证f a f b 0 初始区间的选择不宜过大 否则易增加运算的次数 2 求区间 a b 的中点c 3 计算f c 若f c 0 则c就是函数的零点 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 a c 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 c b 4 判断a b的两端的近似值是否相等 若相等得零点的近似解 否则重复 2 4 步 特别注意要运算彻底 3 为求函数f x lnx 2x 6在 2 3 内的零点的近似值 精确到0 1 已得到数据如下表 根据以上数据确定f x 取 2 3 内的近似零点 解 由表中数据可知区间 2 53125 2 546875 内的所有值若精确到0 1 都是2 5 所以2 5是函数f x lnx 2x 6精确到0 1的零点近似值 4 求函数f x x3 2x2 3x 6的一个为正数的零点 精确到0 1 解 由于f 1 60 可取区间 1 2 作为计算的初始区间 用二分法逐次计算 列表如下 由上表可知 区间 1 71875 1 734375 中的每一个数精确到0 1都等于1 7 所以1 7就是函数的一个误差不超过0 1的正数零点 例3 如图 有一块边长为15cm的正方形铁皮 将其四个角各截去一个边长为xcm的小正方形 然后折成一个无盖的盒子 1 求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式 并讨论这个函数的定义域 2 如果要做成一个容积是150cm3的无盖盒子 那么截去的小正方形的边长x是多少 精确到0 1cm 思路点拨 先求出体积y关于x的函数 再用二分法求近似解 精解详析 1 盒子的体积y以x为自变量的函数解析式为y 15 2x 2x 其定义域为 x 0 x 7 5 2 如果要做成一个容积是150cm3的无盖盒子 那么有方程 15 2x 2x 150 令f x 15 2x 2x 150 函数图像如图所示 由图像可以看到 函数f x 分别在区间 0 1 和 4 5 内各有一个零点 即方程 15 2x 2x 150分别在区间 0 1 和 4 5 内各有一个解 下面用二分法求方程的近似解 取区间 0 1 的中点x1 0 5 用计算器可算得f 0 5 52 因为f 0 5 f 1 0 所以x0 0 5 1 再取 0 5 1 的中点x2 0 75 用计算器可算得f 0 75 13 31 因为f 0 75 f 1 0 所以x0 0 75 1 同理可得x0 0 75 0 875 x0 0 8125 0 875 x0 0 84375 0 875 x0 0 84375 0 859375 x0 0 84375 0 8515625 x0 0 84375 0 84765625 因为区间 0 84375 0 84765625 内的所有值 若精确到0 1都是0 8 所以0 8就是所求函数的近似解 同理可得方程在区间 4 5 内精确到0 1的近似解为4 7 答 如果要做成一个容积是150cm3的无盖盒子 截去的小正方形的边长大约是0 8cm或4 7cm 一点通 二分法在实际生活中经常用到 如在平时的线路故障 气管故障等检查中 可以利用二分法较快地得到结果 还可用于实验设计 资料查询等方面 在用二分法解决实际问题中 应考虑两个方面 一是转化为方程的根或函数的零点 二是逐步缩小范围 逼近问题的解 5 中央电视台有一档娱乐节目 幸运52 主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会 如果猜中 就把物品奖励给选手 同时获得一枚商标 某次猜一种品牌的手机 手机价格在500 1000元之间 选手开始报价 1000元 主持人回答 高了 紧接着报价900元 高了 700元 低了 800元 低了 880元 高了 850元 低了 851元 恭喜你 猜中了 表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分 实际中 游戏报价过程体现了 逼近 的数学思想 你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗 解 取价格区间 500 1000 的中点750 如果主持人说低了 就再取 750 1000 的中点875 否则取另一个区间 500 750 的中点 若遇到小数 取整数 照这样的方案 游戏过程猜测价如下 750 875 812 843 859 851 经过6次可以猜中价格 6 现有12个小球 从外观上看完全相同 除了1个小球质量不合标准外 其余的小球质量均相同 用一架天平 无砝码 限称三次 把这个 坏球 找出来 并说明此球是偏轻还是偏重 如何称 解 先在天平左右各放4个球 有两种情况 1 若平 则 坏球 在剩下的4球中 再取此4球中的3球为一边 取3个好球为另一边 放在天平上 若仍平 则 坏球 为4球中未取到的那个球 将此球与1个好球放上天平比一比 即知 坏球 是轻还是重 若不平 则 坏球 在一边3球之中 且知是轻还是重 任取其中2球放在天平上 无论平还是不平 均可确定 坏球 2 若不平 则 坏球 在天平上的8球中 不妨设右边较重 从右边4球中取出3球 置于一容器内 然后从左边4球中取3球移入右边 再从外面好球中取3个补入左边 看天平 有三种可能 若平 则 坏球 是容器内3球之一且偏重 若左边重 坏球 已从一边换到另一边 因此 坏球 只能是从左边移入右边的3球之一 并且偏轻 若右边重 据此知 坏球 未变动位置 而未被移动过的球只有两个 左右各一 坏球 是其中之一 暂不知是轻还是重 显然对于以上三种情况的任一种 再用天平称一次 即可找出 坏球 且知其是轻还是重 1 判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是 其图像在零点附近是连续不断的 且该零点为变号零点 所谓变号零点即变量在零点两侧取值时函数值符号相反 因此 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合 对函数的不变号零点不适用 2 二分法的实质是通过 取中点 不断缩小零点所在区间的范围 当达到一定精确度要求时 所得区间内的任意一点就是零点的近似值 在计算时要注意以