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抛物线的几何性质 y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py F x 0 y R x 0 y R y 0 x R y 0 x R 原点 即 0 0 x轴 y轴 注意椭圆 双曲线与抛物线在几何性质上的联系与不同点 联系 区别 抛物线与椭圆 双曲线比较起来 主要区别在于抛物线只有一个焦点 一个顶点 一条对称轴 一条准线 没有中心 椭圆 双曲线 抛物线都有 范围 对称性 顶点 等基本的几何性质 另外 就标准方程而言 椭圆 双曲线有两个参数 而抛物线只有一个参数 例1 顶点在坐标原点 对称轴是坐标轴 并且过点M 2 的抛物线有几条 求它的标准方程 当焦点在x 或y 轴上 开口方向不定时 设为y2 mx m 0 或x2 my m 0 可避免讨论 三 例题选讲 问题引入 直线与抛物线相切 是 直线与抛物线只有一个交点 的什么条件 思考题 过点A 0 5 与抛物线y2 8x只有一个公共点的直线有几条 直线与抛物线位置关系 1 相离 2 相切 3 相交 一个交点 两个交点 判断方法探讨 1 直线与抛物线的对称轴平行 例 计算直线y 6与抛物线y2 4x的位置关系 计算结果 得到一元一次方程 容易解出交点坐标 2 直线与抛物线的对称轴不平行 例 计算直线y x 1与抛物线y2 4x的位置关系 计算结果 得到一元二次方程 需计算判别式 相交 判断位置关系方法总结 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程 得到一元二次方程 直线与抛物线相交 一个交点 计算判别式 判别式大于0 相交 判别式等于0 相切 判别式小于0 相离 F F 例1 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分 灯口直径是60cm 灯深40cm 求抛物线的标准方程和焦点的位置 例2 图中是抛物线形拱桥 当水面在L时 拱顶离水面2米 水面宽4米 水下降1米后 水面宽多少 抛物线的实用性例题 x y 3 某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成 如图 某卡车空车时能通过此隧道 现载一集装箱 箱宽3米 车与箱共高4 5米 问此车能否通过此隧道 说明理由 x 例3 已知直线L1 直线L2 垂足为M 点N L2 如图 以A B为端点的曲线段C上任意一点到L1的距离与到N的距离相等 若 AMN为锐角三角形 且 AM AN 3 BN 6 建立适当的坐标系 求曲线段C的方程 思路分析 坐标系的建立是本题的突破口 由于L1 L2 故可选择它们为坐标轴 也可以以线段MN的垂直平分线为y轴 哪一种更好呢 由题设可知曲线段C为抛物线的一部分 L1为准线 N为焦点 很显然选择标准方程y2 2px p 0 下面的关键是求出
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