2011年天津市大学数学竞赛试题参考答案(经济管理类).pdf

Page 1 of 9 2011 年 天津市大学数学竞赛试题参考解答 经管类 一 填空题 填空题 本题本题 15 分分 每小题 每小题 3 分分 1 设 f x 是连续函数 且 0 lim4 1cos x f x x 则 0 1 lim 1 x x f x x 2 e 2 设 2 23 2 x f xaxb x 若 lim 0 x f x 则 a 2 b 4 3 1 elnd x xx x e ln x xC 4 设 f x y 是连续函数 且 d d D f x yxyf x yx y 其中D由 x 轴 y 轴以及 直线 1 xy 围成 则 f x y 1 12 xy 5 ln4 ln2 1 d e1 x x 6 二 选择题 选择题 本题本题 15 分分 每小题 每小题 3 分分 1 设 2 ln 1 f xxx 则 f x 在 0 x 处 A 0 2 f B 0 0 f C 0 2 f D 不可导 答 A 2 设函数 yf x 具有二阶导数 且满足方程 sin e 0 x yy 已知 0 0 fx 则 A f x 在 0 x 的某个邻域中单调增加 B f x 在 0 x 的某个邻域中单调增少 C f x 在 0 x 处取得极小值 D f x 在 0 x 处取得极大值 答 C 3 图中曲线段的方程为 yf x 函数 f x 在区间 0 a 上有连续的导数 则积分 0 d a xf xx 表示 A 直角三角形 AOB 的面积 B 直角三角形 AOC 的面积 C 曲边三角形 AOB 的面积 D 曲边三角形 AOC 的面积 答 D 4 设在区间 a b 上的函数 0 f x 且 0 fx 令 1 d b a Sf xx Page 2 of 9 2 Sf b ba 3 1 2 Sf af bba 则 A 123 SSS B 312 SSS C 213 SSS D 231 SSS 时 有 22 0 yxy 故 y x 在区间 0 单调增加 从而当 0 x 时 22 yxy 也单调增加 可见 曲线 yy x 在区间 0 向下凸 或当 0 x 时 可得 22 2222 0 yxy yxy xy 可见 曲线 yy x 在区间 0 向下凸 由题设知 0 0 0 y y 应用洛必达法则 22 322 000 limlimlim 33 xxx y xy xxy xxx 2 2 0 11111 lim 0 33333 x y y x 七 7 分 设 f x 在 0 1 上具有连续导数 且0 1 0 0 fxf 令 2 0 2 d x g xf ttfx 则 g x 在 0 1 上连续 且 2 1 0 0 1 g xf xfxx 故有 0 0 0 1 g xgx 因此 0 0 1 F xx 于是 F x 在 0 1 上单调增加 0 0 0 1 F xFx 取 1 x 即得 2 11 3 00 1 d d0 Ff ttf tt 所证结论成立 八 7 分 设函数 f xg x 在区间 a a 上连续 0 a g x 为偶函数 f x 满 足条件 f xfxc c为常数 证明 0 d d aa a f x g xxcg xx 设 sin u xxnx 其中n为正整数 2 2 0 0 xxx x xxx 由题设 存在 0 xa b 使 0111 11 22 f xf xf xf x 直线 a L 是曲线 yf x 上任意一 点 a f a 处的切线 其中 0 1 a 记直线 a L 与曲线 yf x 以及直线 0 1 xx 所围成的图形绕 y轴旋转一周所得旋转体的体积为 V a 试问 a 为何值时 V a 取得 最小值 解 切线 a L 的方程为 yf afaxa 即 yfa xafaf a 于是 1 0 2 d V ax f xfa xafaf ax 1 0 11 2 d 322 a xf xxf afaf a 可见 V a 在 0 1 连续 在 0 1 可导 令 1 2 32 0 323 a V afafafaa 由于 0 fa V a 在 0 1 内有唯一的驻点 2 3 a 并且 当 2 0 3 a 时 0 V a 因此 V a 在 2 3 a 处取得最小值 十一 7 分 设 1 闭曲线 是由圆锥螺线 OA z y x sin cos 从 0 变到2 和直线段 AO构成 其中 0 0 0 O 2 0 2 A 2 闭曲线 将其所在的圆锥面 22 zxy 划分成两部分 是其中的有界部分 在 xOy面上的投影区域为D 求D上以 为曲顶的曲顶柱体的体积 求曲面 的面积 解 在xOy面上的投影区域为D 在极坐标系下表示为 O x y 1 a a L Page 8 of 9 0 02 r 故所求曲顶柱体的体积为 22 d d D Vxyx y 2 2 00 dd rr 2 34 0 14 d 33 所在的圆锥面方程为 22 zxy 曲面上任一点处向上的一个法向量为 2222 1 1 xy xy nzz xyxy 故所求曲面 的面积 22 1 d d2 d d xy DD Szzx yx y 22 23 000 24 2 2ddd 23 r r 十二 7 分 设圆 22 2 xyy 含于椭圆 22 22 1 xy ab 的内部 且圆与椭圆相切于两点 即在这两点处圆与椭圆都有公共切线 求 a与 b满足的等式 求 a与 b的值 使椭圆的面积最小 解 根据条件可知 切点不在 y 轴上 否则圆与椭圆只可能相切于一点 设圆与椭圆 相切于点 00 xy 则 00 xy 既满足椭圆方程又满足圆方程 且在 00 xy 处椭圆的切线斜 率等于圆的切线斜率 即 2 00 2 00 1 b xx a yy 注意到 0 0 x 因此 点 00 xy 应满足 22 00 22 22 000 2 2 00 1 1 2 2 1 3 1 xy ab xyy b a yy 由 1 和 2 式 得 22 22 00 2 20 ba yya b 4 O x y 2 Page 9 of 9 由 3 式得 2 0 22 b y ba 代入 4 式 2242 2 222222 2 0 babb a bbaba 化简得 2 2 22 b a ba 或 2242 0 a bab 5 按题意 需求椭圆面积Sab 在约束条件 5 下的最小值 构造函数 2242 L a baba bab 令 23 2 2242 24 0 6 22 0 7 0 8 a b