福建省长泰县第一中学高三数学二轮复习 05讲 转化与化归思想课件.ppt

第4讲转化与化归思想1 转化与化归思想的基本内涵是 解某些数学问题时 如果直接求解较为困难 可通过观察 分析 类比 联想等思维过程 恰当的运用数学方法进行变换 将原问题a转化为另一个新问题b 而问题b是相对较容易解决的或已经有固定解决程序的问题 且问题b的解决可以得到原问题a的解答 这种思想方法 我们称之为 转化与化归的思想方法 可用框图直观表示为 其中的问题b是化归目标或化归方向 转化的手段是化归策略 2 化归与转化思想的核心是将生疏的问题转化为熟知的问题 解题的过程就是一个缩小已知与求解之间差异的过程 是未知向已知转化的过程 也是目标向问题靠拢的过程 待解决的问题a 容易解决的问题b 问题a的解 问题b的解 观察 分析 类比 联想 应用 解决 还原 3 化归思想有着客观的基础 它着眼于揭示内在本质联系 实现转化与化归 通过矛盾的转化 达到解决问题的目的 4 化归转化思想方法要遵循以下原则 1 目标简单化原则 即越转化 问题越简单 越利于解决问题 2 和谐统一原则 即转化和化归应满足目标问题与待解决问题在量 形 关系上趋于统一使问题的条件和结论更均匀和恰当 使待解决问题在表现形式上 越发趋于和谐 3 具体化原则 化归方向越具体 越有利于问题的解决 4 回归原则 无论怎么转化 无论转化为什么新的问题 都是手段 不是目的 最终的目的是解决原始问题 因而 最后要回归到原始问题上来 否则 劳而无功 5 数形结合思想体现了数与形的相互转化 函数与方程思想体现了函数 方程 不等式间的相互转化 分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化 这三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现 各种变换方法 分析法 反证法 待定系数法 构造法等都是转化的手段 可以说 转化与化归是数学思想方法的灵魂 例1 设y log2x 2 t 2 log2x t 1 若t在 2 2 上变化时 y恒取正值 求x的取值范围 分析由于 习惯 的影响 常把x看作自变量 这样处理的话问题很复杂 由于t的取值范围已知 可考虑变换主元为t 这样自变量的范围已知了 函数类型也简单了 解设y f t log2x 1 t log2x 2 2log2x 1 则f t 是一次函数 当t 2 2 时 f t 0恒成立 解得log2x3 x的取值范围是 8 探究拓展本题的关键是把t看成自变量 即将原变量x与参数t变更关系 视t为主元 转换思考的角度 从而使解法变得简易 若按照习惯 仍把x看成自变量 问题就复杂多了 因此 在解题时要多注意对题目中一些变量的理解 以便是灵活运用 改变对 x 的看法 这将有助于解决问题 变式训练1 2009 苏州市调研 设不等式2x 1 m x2 1 对满足 m 2的一切实数m都成立 求实数x的取值范围 分析如果把不等式看做关于x的二次不等式 则求解过程繁琐 如果把不等式看做是关于m的一次不等式 则可以简化求解过程 这就是变量与常量的转化 解令f m x2 1 m 2x 1 m 2 2 则原不等式等价于f m 0恒成立 m 2 2 由于f m 是关于m的一次函数或常数函数 例2 2008 南通调研 已知向量a 1 tanx 1 b 1 sin2x cos2x 0 记f x a b 1 求f x 的解析式并指出它的定义域 解 1 a 1 tanx 1 b 1 sin2x cos2x 0 f x a b 1 tanx 1 sin2x cos2x 探究拓展应该认真审视一下本例 解题过程中使用了三角知识中的两种重要转化 一是三角函数名称的转化 如 1 中将切函数化为弦函数 二是角度的转化 如 2 中将目标单角化为条件中的2倍角 便于使用条件 还有将2角改写为也是一种智慧之举 使得条件顺利得以使用 问题顺利得以解决 目标 意识很明显 转化方法运用的恰到好处 备考者要从中认真体会和学习使用 变式训练2已知分析不难发现未知角可化为已知角 整体地利用已知条件来解答问题 解 例3 已知不等式x x 2m 1的解集为r 求实数m的取值范围 解依题意 x r x x 2m 1恒成立 设f x x x 2m x r 应满足f x min 1 将f x 化简后得 研究该分段函数知f x min f 2m 2m x r 故只须2m 1 所以实数m的取值范围为 探究拓展可以说 数学问题的解决过程 就是问题转化过程的展现 转化成功了 问题解决也就成功了 分析本例中的几处转化 便于备考者琢磨和体会 首先是将不等式解集为r的问题等价转化为代数式的值恒大于1的问题 其次再等价转化为函数f x x x 2m 最小值大于1的问题 再次转化得分段函数 便于研究其值域 从中可以看出 每一次转化都使问题趋于更简单 更方便于问题的解决 也就是向目的地更近了一步 变式训练3 2008 南通调研 若不等式4x 2x 1 a 0在 1 2 上恒成立 则a的取值范围是 解析设2x t 1 x 2 2 t 4 依题意有不等式t2 2t a 0 在 2 4 上恒成立 即a t2 2t t 2 4 设f t t2 2t t 2 4 依二次函数知识可知当t 2 4 时 必须有a f t min 即a 0 a 0 为所求 0 f t 8 0 例4 2009 江苏百校样本分析卷 已知某几何体的三视图如下图所示 其中左视图是边长为2的正三角形 主视图是矩形且aa1 3 设d为aa1的中点 1 作出该几何体的直观图并求其体积 2 求证 平面bb1c1c 平面bdc1 3 bc边上是否存在点p 使ap 平面bdc1 若不存在 说明理由 若存在 证明你的结论 1 解由题意可知该几何体为直三棱柱 且它的直观图如图所示 几何体的底面积s 3 高h 3 所求体积v 2 证明连结b1c交bc1于e点 则e为bc1 b1c的中点 连结de ad a1d ab a1c1 bad da1c1 90 abd da1c1 bd dc1 de bc1 同理de b1c 又 b1c bc1 e de 平面bb1c1c 又 de 平面bdc1 平面bdc1 平面bb1c1c 3 解取bc的中点p 连结ap 则ap 平面bdc1 证明如下 连结pe 则pe平行且等于ad 四边形aped为平行四边形 ap de 又de 平面bdc1 ap 平面bdc1 ap 平面bdc1 当p为bc边上的中点时有ap 平面bdc1 探究拓展转化是解决问题的关键与核心问题 备考者可以以本例为载体细心揣摩转化思想方法在解决立体几何问题中的作用 本例一开始 要将三视图转化为主体直观图 实现条件与信息的转化 以便于使用 第 2 题中为了证明面面垂直 转化为证明一面过另一面的垂线 由证明平面bdc1 平面bb1c1c 转化为证明dm 平面bb1c1c 这又要转化为证明线线垂直 其中还穿插了转化为 一条直线的平行线与平面垂直 那么这条直线也与平面垂直 第 3 题中的线面平行问题的处理 也是转化为线线平行问题才解决的 可以说立体几何问题中 类似的升维与降维的转化 比比皆是 解题过程采用综合法叙述 掩盖了这种转化的明显性与直观性 若以分析法表述的话 就明确得多了 变式训练4 2009 淮安调研 在四棱锥o abcd中 底面abcd为菱形 oa 平面abcd e为oa的中点 f为bc的中点 求证 1 平面bdo 平面aco 2 ef 平面ocd 证明 1 oa 平面abcd bd 平面abcd 所以oa bd abcd是菱形 ac bd 又oa ac a bd 平面oac 又 bd 平面obd 平面bdo 平面aco 2 取od中点m 连接em cm 则me ad abcd是菱形 ad bc ad bc f为bc的中点 cf ad me cf me cf 四边形efcm是平行四边形 ef cm 又 ef 平面ocd cm 平面ocd ef 平面ocd 规律方法与总结1 常用转化策略有 正与反的转化 数与形的转化 相等与不等的转化 整体与局部的转化 空间与平面的转化 复数与实数的转化 常量与变量的转化 不同数学语言之间的转化等等 2 转化与化归的本质是 有利于问题解决 基于这个 有利于 应充分发挥个人的聪明才智 大胆联想 类比 假设 尽快探索出转化方案和方法 使问题顺利得以解决 3 对于常见问题还是有章可循 有法可依的 通常可以从以下几方面入手 1 通过变量替换 增量代换 等价代换等换元方法 将问题转化为变量个数少 次数低 结构简单 形式熟悉的问题 2 考虑到点集和有序实数对集合之间的映射关系 可将平面几何问题转化为解析几何问题解决 而解析法 也可以将方程问题转化为曲线问题解决 3 特殊化策略 即在解决一个一般性问题有困难时 先将问题特殊化 如取特殊值 取特殊位置 考察极端化情形 从中获得解法 结论等 再将这些解法 结论推广到一般问题上去 获得一般问题的解答 4 一般化策略 这是与 特殊化策略 完全相反过程的一种策略 为了解决问题a 先解决比a更一般的问题a 然后再将其特殊化获得解答 5 语言转化策略 数学符号表达一定的语义 可视作一种 语言 图形也是表达思想的一种 语言 这两种 语言 与普通的文字语言之间相互转化 是一种常用的策略 6 正反互化策略 当正面解决问题较困难或情形繁杂 而其对立面较易解决或情形较少时 可先解决其对立面面临的问题 再回归到原问题上去 7 升降维转化策略 在立体几何中 有时将视角放在一个特别的平面内 进行计算或证明之 后 再将结论放回原三维几何体中去 这种处理策略称之为降维策略 反之 则称为升维策略 8 另外还有相等与不等的转化策略 整体与局部的转化策略 复数与实数的转化策略 常量与变量的转化策略等 4 不等式恒成立 能成立 恰成立等问题的转化 不等式恒成立 能成立 恰成立等问题是高考中的常见题型 常应用函数方程思想和 分离变量法 转化为最值问题 也可抓住所给不等式的特征 利用数形结合法 其处理方法可以总结如下 1 恒成立问题若不等式f x a在区间d上恒成立 则等价于在区间d上f x min a 若不等式f x a成立 则等价于在区间d上f x max a 若在区间d上存在实数x使不等式f x a在区间d上恰成立 则等价于不等式f x a的解集为d 若不等式f x b在区间d上恰成立 则等价于不等式f x b的解集为d 一 填空题1 在 abc中 若sina sinb sinc 5 7 8 则 b 解析由正弦定理知sina sinb sin a b c 5 7 8 可设a 5k b 7k c 8k c 2 已知方程x3 4 x的解在区间内 k是的整数倍 则实数k的值是 解析设f x x3 x 4 其零点对应着方程的解 应先考虑f x 的零点在内情形 试解f 1 20 f 1 f 2 0 零点位于区间 1 2 内 零点位于区间 相应k 1 1 3 已知点的最大值为 解析本题可以直接用两点间的距离公式求解 但是如果注意到点m在圆x2 y2 9上 点n在圆x2 y2 16上 则可使问题简化 所以 mn max 4 3 7 7 4 若正数a b满足ab a b 3 则ab的取值范围是 分析一运用均值不等式定理a b 2ab 将原等式转化为不等式 解析方法一 a b为正数 a b 2 ab a b 3 ab 2 3 2 2 3 0 1 舍 3 ab 9 ab的取值范围为 9 分析二由ab a b 3 从中解出b 代入ab中 二元转化为一元 方法二由ab a b 3 得 ab的取值范围为 9 答案 9 5 已知pa pb pc两两互相垂直 且 pab pac pbc的面积分别为1 5cm2 2cm2 6cm2 则过p a b c四点的外接球的表面积为cm2 注 s 4r2 其中r为球半径 解析以pa pb pc为相邻三棱构造长方体 则其对角线长是外接球直径 且过p a b c四点的外接球就是所在长方体的外接球 设三棱长分别为a b c 则解得对角线长为所以求外接球直径为表面积为 6 2009 盐城调研 当a为任意实数时 直线 a 1 x y 2a 1 0恒过定点p 则过点p且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是 解析 a 1 x y 2a 1 0 可得 x 2 a x y 1 0 定点p的坐标为 2 3 设抛物线为x2 ky 代入有 抛物线的标准方程为 二 解答题7 y f x 1 定义域为 2 3 求y f 2x 1 的定义域 解y f x 1 定义域为 2 x 3 1 x 1 4 f x 的定义域为 1 4 y f 2x 1 中 1 2x 1 4即y f 2x 1 的定义域为 8 2009 无锡调研 设不等式x2 a 1 x a2 0对一切a 1 2 都成立 求x的取值范围 解原不等式可化为a2 ax x x24或x4或x 1 9 已知二次函数f x ax2 2x 2a 1 其中x 2sin若二次方程f x 0恰有两个不相等的实根x1和x2 求实数a的取值范围 分析注意即 1 x 2 问题转化为二次方程根的分布问题 根据图象得出等价的不等式组 解由以上分析 问题转化为二次方程ax2 2x 2a 1 0 在区间 1 2 上恰有两个不相等的实根 由y f x 的图象 如图所示 得等价不等式组 10 2009 通州市查漏补缺卷 已知数列 an 的前n项和为sn 点数列 bn 满足 bn 2 2bn 1 bn 0 n n 且b3 11 前9项和为153 1 求数列 an bn 的通项公式 2 设数列 cn 的前n项和为tn 求使不等式对一切 n n 都成立的最 大正整数k的值 3 设n n 问是否存在m n 使得