医用物理学振动和波VIP

1掌握谐振动方程 振幅 周期和频率 相位 初相位 同频率同振动方向简谐振动的合成 波动方程 波长 波速 周期和频率 相干波和波的干涉2熟悉简谐振动的能量 波的强度 惠更斯原理 波的叠加原理3了解阻尼振动 受迫振动和共振 拍 同频率相互垂直简谐振动的合成 频谱分析 第三章振动和波 Oscillationandwave 习题 6 8 9 10 11 13 14 15 16 18 二 谐振动的振幅 周期 频率 和周相 位相或相位 三 谐振动的表示 谐振动的矢量图表示 一 简谐振动方程 1 何谓阻尼振动 振幅 或能量 随时间逐渐减小的振动 能量减小的原因 1 磨擦阻力的存在 2 引起邻近质点振动 以波的形式向周围传播能量 这叫作辐射阻尼 2 阻尼振动的定量分析 以机械振动为例 一 阻尼振动 设一质点m 受力 阻力 根据牛顿第二定律 令 方程的解有三种情况 由初始条件决定 若t 0时 1 代入 1 式 两式联立 B 阻尼振动周期 C 阻尼振动的对数减缩 C 阻尼振动的对数减缩 定义 对数减缩 相隔一周期的相邻两振幅之比的对数 定义 注意 1 可用求出阻力系数 对数减缩 相隔一周期的相邻两振幅之比的对数 减幅为1 e所经历的振动次数 其解 C1 C2为由初始条件决定的常数 C1 C2为由初始条件决定的常数 何谓强迫振荡 系统在周期性外力 外源 作用下产生的振动 根据牛顿第二定律 二 强迫振荡 令 其解 其解 结论 1 强迫振动是由阻尼振动及由强迫力产生的振动的合成 2 振动开始较复杂 尔后呈现稳定状态 其稳定解为 强迫力提供的能量与克服阻力消耗的能量相等 三 共振 浪桥 共振 最强烈的强迫振动现象 1 位移共振 共振时振幅最大 A要最大 解得 时振幅最大 2 共振现象的应用 我国古代就有大量的应用 天坛的回音壁 黄鹤楼上磨擦铜盆时水的共振表演 工程上的的应用 无线电中利用谐振电路选择信号 次声武器 3 17HZ 引 一 同 振动 方向 同频率的两个谐振动的合成 设一质点同时参加如下两振动 设一质点同时参加如下两振动 求合振动 1 三角函数法 结论 两个同方向 同频率的谐振动合成后仍为同频率的谐振动 2 矢量法 设有 2 矢量法 矢量代表的谐振动的圆频率与振动相同 证明 所代表的谐振动就是合振动 不变 所代表的谐振动的振幅与初相就是合振动的振幅与初相 与合振动的振幅相同 与合振动的初相相同 结论 所代表的谐振动就是合振动 利用矢量求合振动只要利用平行四边形法则求出各谐振动的合振动矢量即可 二 两个同方向频率相近的两个谐振动的合成 一般言之 不同频率的谐振动的叠加呈现出较复杂性的情况 叠加后已非谐振动 下面只研究频率相差不大的两个谐振动的叠加 若有 设 但 为简单 先用函数曲线叠加 声音时大时小 拍现象 定量分析 用和差化积公式 振动的圆频率 振幅变化的频率 振幅变化的频率 若振幅变化的周期为T拍 三 在垂直方向上的两个谐振动的合成 1 解析法 以上两式实为质点运动的运动方程 消去t即可得质点运动的轨迹方程 斜率 A1 A2 斜率 2 作图法 设有两同频率但相位差 2的两个垂直振动 求合振动的轨迹 解1 解析法 1 2 式变为 3 4 平方后求和 轨迹是一椭圆 2 作图法 作业 康书 4 24 4 25 4 26 4 27 即周期T 2 的周期振动 是由一系列简谐振动的叠加 即 四 频谱分析原理 引 波动 振动的传播过程 分类 1 机械波 机械振动在弹性介质中的传播 2 电磁波 变化的电磁场在空间的传播 3 物质波 略 一 波的产生与描述 1 波的产生 a 波的几何描述 b 波的时空描述 c 波的数学描述 2 波的描述 DescriptionofWaveMotion 引言 波的传播是能量的传播 一 波的能量 以一个平面简纵波为例来说明 体积元的总能量 波动过程中 体元中的动能与势能 同相 同时达到最大 同时达到最小 指出两点 体元中的能量是随时间变化的 非弧立系统 波动过程是一个能量传播的过程 二 能流和能流密度 波强 仍以平面简谐波为例 1 能量密度 单位体积中的能量 2 平均能量密度 3 能流 一周期内能量密度的平均值 单位时间内通过介质中某面积的能量 这个体积中的能量值就是能流 显然这个能流是随时间变化的 常取一周期的平均值 平均能流 单位时间内通过某面积的平均能量 4 平均能流密度 波强 通过垂直于波传播的方向的单位面积的平均能流 即单位时间内通过垂直于波动传播的方向的单位面积中的平均能量 单位 导致波衰减的主要原因有 由于波面的扩大造成单位截面积通过的波的能量减少 称为扩散衰减 由于散射使沿原方向传播的波的强度减弱 称为散射衰减 由于介质粘滞性 内摩擦 等原因 波的能量随传播距离的增加逐渐转化为其他形式的能量 这种现象称为介质对波的吸收 三 波的衰减 1 平面波 A不变 吸收衰减的规律 设平面波在均匀介质中沿X轴正方向传播 在X 0处入射波的强度为I0 在X处强度为I 通过厚度为dx的一层介质时 由于介质的吸收 波的强度减弱了 dI 实验表明 比例系数 与介质的性质和波的频率有关 称为介质的吸收系数 解方程 并由 X 0 I I0 得 平面波强度在传播过程中按指数规律衰减 2 球面波 若离波源r1处的波振幅为A1 则离波源r处的振动方程为 球面波的波动方程 一 惠更斯原理 Huygen sPrinciple 1 惠更斯原理的表述 2 对现象的解释 a 从某时刻的波阵面得到下一时刻的波阵面 球面波 平面波 t时刻的波阵面 b 解释反射定律 折射定律 反射定律 波在媒质介面上传播时 入射角等于反射角 入射线反射线及介面的法线均在同一平面内 介面 折射定律 波经过两种媒质介面进行折射 媒质 1 进入媒质 2 时 入射角的正弦与折射角的正弦之比等到于波在第一种媒质中的波速与在第二种媒质中的波速之比 解释反射定律 A B C D E F c 解释衍射现象 衍射 绕射 波动在传播过程中遇到障碍物时能绕过障碍物的边缘前进的现象 室外讲话 墙外有耳 水波的衍射 解释 不足 不能解释波的强度及为什么只考虑向前传播的波 声波的叠加 一般而言 波的叠加较复杂 二 波的干涉 例1 两相干点波源 周相相同 在各向同性的无吸收的介质中传播 在离波源2cm处质点振动的振幅均为3cm 波长 2cm 求与波源分别相距50cm和60cm处P点的振幅 已知 求 解 解 解 例2 如图 A B两点是处于同一介质中相距为20m的两个波源 它们作同方向 同频率的振动 100HZ 设它们激起的是相向前进的两平面波 振幅均为5cm 波速为200m s 且A为波峰时 B为波谷 求A B线上因干涉而静止的各质点位置 已知 AB 20m 100HZ A 5cm u 200m s 求 振幅 0的点的位置 解 1 建立坐标AXY 选取A点位移最大时为计时起点 则 2 波动方程 3 分析周相差 2 波动方程 当 振幅为零 即 时 时 处振幅为零 振幅为零 三 驻波 StandingWave 一 何谓驻波 两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播彼此相遇叠加而形成的波 二 驻波分析 1 波形曲线分析 由此可见 驻波特点是 2 相邻两节点间的质点具有相同的位相 节点两侧具有相反的位相 2 数学分析 由 得 驻波方程 驻波方程 分析 1 驻波波形 t1时刻波形 t2时刻波形 驻波方程 分析 2质点振动方程 X1处质点B振动方程 X2处质点C振动方程 各处质点振幅不同 分析 3腹点与节点位置 腹点 取极大值处 相邻两腹点间距离为 节点 取极小值处 相邻两节点间距离为 相邻的节点与腹点间的距离 质点的相位关系 X Y 质点的相位关系 分析 先看a b两节点间的质点 ab两节点间质点同相 开始计时 X Y 质点的相位关系 开始计时 再看节点b的两侧质点 节点两侧质点反相 而 总之 相邻两节点间的质点同相 节点两侧质点反相 纵驻波 3 驻波的能量 驻波中的能流密度为零 实际上是系统的一种稳定的振动状态 当波节点间质点振幅最大时 势能曲线 动能曲线 当质点到达平衡位置时 能量在节点附近的质点与腹点附近的质点间交换与转移 第三章振动和波动 vibrationandwave 本章习题6 8 9 10 11 13 14 15 16 18 讨论振动和波动的基本规律 第一节简谐振动 振动 物体在一定位置附近作周期性的往复运动称为机械振动 广义上 凡是描述物体性质或物体运动状态的物理量在某一数值附近作周期性的变化都是振动 简谐振动 振动中最简单 最基本的振动 一 简谐振动方程 弹簧振子 上两式为简谐振动方程 解方程得 令 由胡克定律 振动物体的速度和加速度 1 振幅 振动物体离开平衡位置的最大位移A称为振幅 2 周期和频率 振动物体完成一次振动所需要的时间T 称为振动周期 在单位时间内所完成的振动次数 称为频率 振动物体在2 秒内所完成的振动次数 称为系统的角频率 无阻尼自由振动的 T完全取决与振动系统本身的性质 称为固有角频率 固有频率和固有周期 1 T 2 2 T单位Ts Hz rad s 1 3 相位和初位相 t 为相位和 为初位相 在A和 已知的情况下 初始状态由 决定 二 简谐振动的矢量图示法 三 简谐振动的能量 系统的动能和势能 总的机械能 k m 2 振幅随时间减小的振动 称为阻尼振动 为阻尼因子 a 阻尼振动阻尼较小时 b 过阻尼状态阻尼较大时 c 临界阻尼状态 第二节阻尼振动 受迫振动和共振 一 阻尼振动 在驱动力作用下发生的振动 称为受迫振动 F Fmcos t Fm为力幅 为驱动力的角频率 受迫振动稳定方程为 二 受迫振动 当驱动力角频里率接近系统的固有角频率时 受迫振动振幅急剧增大的现象 称为共振 令 r 可得 三 共振 第三节振动的合成与分解一 两个同方向 同频率简谐振动的合成 s1 A1cos t 1 s2 A2cos t 2 A A12 A22 2A1A2cos 2 1 1 2 arctg A1sin 1 A2sin 2 A1cos 1 A2cos 2 合振动的方程为 1 若相位差 2 1 2k 时 A A1 A2 合振幅最大 2 若相位差 2 1 2k 1 时 A A1 A2 合振幅最小 3 当相位差取其他值时 A1 A2 A A1 A2 二 同方向 不同频率的简谐振动的合成 合振动不是简谐振动基频 倍频 矢量图中两个旋转矢量 与振动的合成相反 任一角频率为 的复杂周期性振动S t 都能分解为不同频率及不同振幅的一系列简谐振动 付里叶级数表示 S t A0 A1cos t A2cos2 t B1sin t B2sin2 t 式中系数A1 A2 及B1 B2 是各简谐振动的振幅 A0为S t 在一周期内的平均值 一个复杂的周期性振动分解为一系列简谐振动的方法 称为频谱分析 例如 某电压u t T U的矩形振动 方波 图3 6u t 4U sin t 1 3sin3 t 1 5sin5 t 三 振动谱 频谱图 以角频率 为横坐标 相应的振幅为纵坐标 四 两个同频率 相互垂的简谐振动的合成 X A1cos t 1 y A2cos t 2 合并两式 消去T有x2 A12 y2 A2 2xy A1A2cos 2 1 sin2 2 1 机械振动在弹性媒质中的传播过程 称为机械波 简谐振动在弹性媒质中的传播过程 称为简谐波 机械波产生的条件 振动源 弹性媒质 波分为横波 纵波 质点振动方向与波的传播方向垂直的波称为横波 质点振动方向与波的传播方向平行的波称为纵波 第四节 波动的基本规律 一 波的产生与描述 波动过程中 传播的只是振动的状态 介质中各质点仅在各自的平衡位置附近振动 并不随波前进 振动位相相同的点连成的面称为波面 最前面的波面称为波前 波速是单位时间内振动传播的距离 取决于介质的弹性模连量和密度等 固体中能传播横波和纵波 波速为 G和E分别为介质的切变模量和杨模量 液体和气体中只能传播与体变模量有关的纵波 液体和气体中 纵波的波速为 K为体积模量 二 波的周期和频率波速 波长 同一波线上两个相位差为2 的点之间的距离称为波长 用 表示 周期 一个完整的波通过波线上某点所需的时间称为波的周期 用 表示 频率 单位时间内通过波线上某点的完整波的数目 用 表示 uT 同一波在不同介质中T 相同 不同介质u不同 简谐波是最简单最基本的波 一切复杂的波都可看成是由多个简谐振动传播所构成的波合成的 如图3 10 三 平面简谐波的波动方程 其它形式 k 2 称为波数 表示2 m 内包含完整波的数目 对波动方程求导有 比较两式 上式为波动方程的微分形式 为X1处的振动方程 为t1时的波形方程s s x 3 x t 都在变波动方程表示波线上各点在不同时刻的位移 即反映了波形的传播 4 沿X轴负方向传播P点要比O点早开始振动 波动方程为 例题3 1 第五节波的能量 一波的能量 可以证明 在任一坐标 处取体积元 在时刻 的动能 和势能 为 体积元 中的总能量为 介质中单位体积的波动能量 称为波的能量密度 即 能量密度在一个周期内的平均值 称为平均能量密度 因为 所以平均能量密度为 二波的强度 波的能量是随波传播的 三波的衰减 导致波衰减的主要原因有 由于波面的扩大造成单位截面积通过的波的能量减少 称为扩散衰减 由于散射使沿原方向传播的波的强度减弱 称为散射衰减 由于介质粘滞性 内摩擦 等原因 波的能量随传播距离的增加逐渐转化为其他形式的能量 这种现象称为介质对波的吸收 吸收衰减的规律 设平面波在均匀介质中沿X轴正方向传播 在X 0处入射波的强度为I0 在X处强度为I 通过厚度为dx的一层介质时 由于介质的吸收 波的强度减弱了 dI 实验表明 比例系数 与介质的性质和波的频率有关 称为介质的吸收系数 解方程 并由 X 0 I I0 得 平面波强度在传播过程中按指数规律衰减 第七节惠更斯原理 一惠更斯原理 惠更斯原理表述为 介质中波前上的每一点都可以看作新波源 向各个方向发射子波 在其后的任一时刻 这些子波的包迹就是该时刻的新波前 二解释波的衍射 衍射 波动能绕过障碍而改变其传播方向的现象 几列波可以互不影响的同时通过某一区域 在相遇处 任一质点的位移是各列波在该点所引起的振动位移的矢量和 这种波动传播的独立性及在相遇处的振动合成 称为波的叠加原理 第八节波的干涉 一波的叠加原理 满足频率相同 振动方向相同 初相位相同或相位差恒定的两列波相遇时 在叠加区域的某些位置上 振动始终加强 而在另一些位置上振动始终减弱或完全抵消 这种现象称为波的干涉 满足以上三个条件 能产生干涉现象的波 称为相干波 相应的波源成为相干波源 二波的干涉 设有两个相干波源O1和O2 其振动方程分别为 so1 Ao1cos t 1 so2 Ao2cos