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线性代数标准作业纸 班级 学号 姓名第一章 行列式一、 填空题1. 按自然数从小到大为标准次序，则排列的逆序数为 ，的逆序数为 .2.四阶行列式中含有因子的项 ， .3.按定义，四阶行列式有 项，其中有 项带正号，有 项带负号. 4.在函数中，的系数是 . 5. . 6.设，为元素的代数余子式，则 .二、选择题1. 四阶行列式的值等于 （ ）（A） （B） （C） （D） 2.设，则的系数为 （ ） （A） （B） （C） （D）3.在五阶行列式中，下列各项中不是的项为 （ ）（A） （B） （C） （D）4.行列式的值为 （ ）（A） （B） （C） （D）三、计算题1. 2. 3.四、证明题1.2.3.五、计算题1.2.，提示：利用范德蒙德行列式的结果3.，其中未写出的元素都是4.，其中5.问，取何值时，齐次线性方程组有非零解？ 第一章 练习题1.2.3.4.5. 利用范德蒙德行列式计算四阶行列式6.证明，其中 7.，其中8.求满足下列方程的实数： 9. 问取何值时，齐次线性方程组有非零解？第二章 矩阵及其运算 （一）一填空题1. 设 ， ，则 ； ； ； ； .2. 设，若，则 ； .3. 设为3阶方阵，且，则= ； ；= .4. 设，则 .5. 设，而为正整数，则= .6. 已知，则= .二选择题1. 设阶方阵满足关系式，其中为阶单位矩阵，则必有（ ）. （A） （B） (C) （D）2. 设、均为阶方阵，满足，则必有（ ）（A） 或 （B） (C) 或 （D）3. 设、都是阶方阵，则下列命题中正确的是 （ ）（A）若且，则 . （B）若、都是对称阵，则是对称阵.(C)若不可逆，则、都不可逆.（D）若可逆，则、都可逆.三计算与证明题1. 设, ，求及.2. 3. 4. 设为阶方阵，且为对称阵，证明也是对称阵.第二章 矩阵及其运算 （二）一填空题1. 设，则 .2. 设 ，（）.则 .3. 设为三阶可逆矩阵，且，则 . 4. 设，则 ； .5.设为阶方阵，为阶方阵，且，则 .6设为3阶矩阵，且，则 .二选择题1. 设为阶可逆矩阵，为的伴随矩阵，则必有（ ）（A） （B） （C） （D） 2. 设、都是阶方阵，则下列等式中正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）3. 已知为阶方阵，且满足关系式，则( )（A） （B） （C） （D）三计算与证明题1. 求下列方阵的逆阵（1） （2） 2. 解下列矩阵方程(1) （2） (3) (4) 设其中求3. 设, 其中, , 求.4. 设为阶方阵，并且满足,证明：及都可逆，并求及.5. 设(为正整数),证明第二章 练习题1. 设为4阶方阵，求.2. 已知，求. 3. 设，解矩阵方程（其中是矩阵的伴随矩阵）.4. 设三阶矩阵，满足关系式，且，求.5. 设为阶方阵，并且满足, 证明：及都可逆，并求及.6设, 求及.7设阶矩阵及阶矩阵都可逆,求.8. 设为维列向量，令，证明是对称阵，且. 第三章 初等变换与线性方程组（一）一、填空题1. 设为阶方阵，若有阶初等方阵，使 ,则 2. 设是矩阵，且的秩=2，而,则 3. 设四阶方阵的秩=2，则其伴随矩阵的秩为= 二、选择题1.从矩阵中划去一行得到矩阵，则、的秩的关系为（ ）(A) (B) (C) (D) 2.在秩是的矩阵中（ ）(A) 没有等于0的阶子式(B) 没有等于0的阶子式(C) 等于0的阶子式和等于0的阶子式都可能有(D) 所有阶子式等于0三、计算与证明题1.把矩阵化为行最简形矩阵 2.用初等变换求解矩阵方程 ,其中3.试利用矩阵的初等变换，求方阵的逆阵。 4.求矩阵的秩。5.设，求为何值时可使等于：（1） 1 ；（2） 2 ；（3） 3 。第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（二）一、求齐次线性方程组的解。二、求非齐次线性方程组 的解。三、设有，问为何值时，次方程组有唯一解、无解或无穷解？并在有无穷解时求其解。第三章 练习题1. 求作一个秩是4的方阵，使它的两个行向量是 （1,0,1，0,0）和（1，-1,0,0,0）2.求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：（1）（2）3.非齐次线性方程组，当取何值时有解？并求出它的通解。4.设为矩阵，证明：（1）方程有解的充分必要条件是；（2）方程 有解的充分必要条件是。5. 设为矩阵，证明：若，且，则6.证明的充分必要条件是存在非零列向量及非零行向量，使.7.已知三阶矩阵，且的每一个列向量都是以下方程组的解：（1） 求的值；（2） 证明。第四章 向量组的线性相关性（一）一、选择题1若向量组线性无关，线性相关，则 （ ）（A）必可由线性表示；（B）必可由线性表示；(C) 必可由线性表示； (D) 必不可由线性表示。2向量组线性无关的充要条件是（ ）（A）均不为零向量；（B）中任意两个向量的分量成比例；（C）中任意一个向量均不能由其余个向量线性表示；（D）中一部分向量线性无关。3.设向量组线性无关，则（ ）（A）线性相关；（B）线性无关；（C）线性无关；（D）线性相关。二、计算与证明1.求向量组，的秩，并求一个最大无关组。2.设，证明向量组与等价。3.设是一组维向量，证明它们线性无关的充要条件是：任一维向量可由它们线性表示。4.设，（1）问为何值时，向量组线性无关；（2）问为何值时，向量组线性相关，并将表示为的线性组合。第四章 向量组的线性相关性（二）一、填空题1.设为阶方阵，均为维列向量，则非齐次线性方程组有解的充要条件是 ；有唯一解的充要条件是 ；有无穷多解的充要条件是 。2.设齐次线性方程组，其中为矩阵，为维列向量，则线性方程组的基础解系中有 个向量，当 时，方程组只有零解。3.四元齐次线性方程组的一个基础解系为 。4.若线性方程组有解，则常数应满足条件 。二、选择题1.若都是四维列向量，且四阶行列式，则行列式等于（ ）（A） ； (B) ；(C) ； (D) 。2.设为矩阵，是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）(A) 若仅有零解，则有唯一解；(B) 若有非零解，则有无穷多个解；(C) 若有无穷多个解，则仅有零解；(D) 若有无穷多个解，则有非零解。3.齐次线性方程组的系数矩阵记为，若存在三阶方阵，使，则（ ）(A)； (B) ；(C) ； (D) 。4.已知是非齐次线性方程组的两个不同解，是对应的齐次线性方程组的基础解系，为任意常数，则非齐次线性方程组的通解为（ ）(A)； (B) ；(C) ；(D) 。三、计算与证明1.求齐次线性方程组的一个基础解系。2. 求线性方程组的通解。3.设是非齐次线性方程组的一个解，是是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明：（1），线性无关；（2）线性无关。4.问是不是向量空间，为什么？第四章 练习题1. 设向量组的秩为2，求。2.设，证明向量组线性相关。3.设阶矩阵满足，为阶单位矩阵，证明4.设，求一个矩阵，使得。5.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量，且求该方程组的通解。5. 设矩阵，其中线性无关，求方程组的通解。第五章 相似矩阵和二次型（一）一、选择1.设为阶可逆矩阵，是的特征值，则伴随矩阵的特征值之一是（ ）（A） （B） （C） （D） 2.设，都是阶正交矩阵，则下列矩阵是正交矩阵的为（ ） （A） （B） （C） （D）3.设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（ ）（A） （B） （C） （D）二、填空1. 设为阶正交阵，则内积 .2.设阶矩阵的元素全为1.则的个特征值是 .3. 设为阶矩阵， 为的伴随矩阵，为阶单位矩阵，若有特征值，则必有特征值 .4.设矩阵满足，则的特征值只能是 .三、计算与证明1.试用施密特正交化方法把向量组正交化.2. 求矩阵的特征值与特征向量.3. 已知3阶方阵的特征值为1,2,-3，求.第五章 相似矩阵和二次型（二）一、选择1.设、为阶矩阵，且与相似，为阶单位矩阵，则（ ）（A） （B）与有相同的特征值和特征向量 （C）与都相似于一个对角矩阵 （D）对于任意常数，与相似2. 阶方阵具有个不同的特征值是与对角矩阵相似的（ ） （A）充分必要条件 （B）充分而非必要条件 （C）必要而非充分条件 （D）既非充分也非必要条件3.设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（ ）（A） （B） （C） （D）二、计算与证明1.求矩阵的特征值与特征向量，并问它的特征向量是否两两正交？2.设、都是阶方阵，且，证明与相似.3.求矩阵，求一个正交矩阵，使为对角矩阵.4.设方阵，与相似，求.第五章 相似矩阵和二次型（三）一、填空1.二次型是正定的，则的取值范围是 .二、计算与证明1.用矩阵符号表示二次型： .2.求一个正交变换化二次型成标准型 .3.用配方法化二次型成标准型，并写出所用变换阵 .4.判别二次型的正定性 .5.证明对称阵为正定的充分必要条件是存在可逆矩阵，使 .第五章 练习题1. 判断下列矩阵是不是正交阵: (1); (2) 2. 设为维列向量, 令 , 证明是对称的正交阵. 3. 求矩阵