成贤教材-高数B下§8.4全微分及其应用.doc

8.4全微分及其应用8.4.1全微分复习：一元函数微分的定义 设函数的某邻域内有定义，增量可表示为，其中，的高阶无穷小，则称处可微，其微分。定义:设函数在点的某邻域内有定义，如果 的全增量 可表示为，（其中于，则称函数在点可微，而称为函数在点处的全微分，即 。 如果在区域每一点都可微，则称在可微。全微分的两个性质：（1）； （2）。定理1若在点处可微，则（1）在点 处连续。（2）该函数在点的偏导数，必存在，且. 证明（1）：在点可微，。 ， 函数在点处连续。证明（2）：在点可微， ，当时， ， ，同理。 故。由定理1可知，若在点处不连续，则在点处必不可微。规定，则 或 。 在一元函数中，可微与可导是等价的。但在二元函数中，偏导数存在是可微的必要条件，而非充分条件，即可微可导。 当偏导数存在时可得表达式，但它不一定是全微分，必须加上“是比无穷小”这一条件。例1讨论函数在点处是否可微？解：在点处， ，。 而， ， 当点沿直线趋于点时， ，它不能随而趋向于0， 高阶无穷小， 故不是在点处的全微分，即函数在点处不可微。定理（可微的充分条件）若函数的偏导数，在点连续，则函数在点处可微分。证明： ， ， ， 。故由定义知在点可微。注意：，在点连续只是在点可微的充分条件，但不是必要条件。 对于二元函数，有 偏导数连续函数可微偏导数存在 函数连续 二元函数全微分的定义以及可微的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数。 例如三元函数 ，若三个偏导数连续，则它可微且全微分为。例2设证明：（1）在点的邻域内有偏导数，；（2）偏导数，在点处不连续；（3）函数在点处可微。证明：（1）当时，有，同理可得，当时，同理可得。所以在点的邻域内有偏导数，。（2） 当点沿直线趋向于点时，有 ， 不存在， 不存在，因而在点处不连续。 同理可证，在点处不连续。（3）， ， ，即函数在点处可微。例3求函数在点处的全微分。解：， ，例4求函数的全微分。 解：， 。8.7方向导数和梯度8.5.1 方向导数偏导数，只是函数在点沿着平行于坐标轴的方向的变化率。下面讨论函数在点沿任意方向的变化率。 从点任作，设的方向余弦为，在上任取一点，设，则有。定义 设函数在点的某邻域内有定义，向量方向余弦为，若极限存在，则此极限值为函数的方向导数，记为，即 。例1设函数，求处沿任何方向的方向导数。解：。但和都不存在。(不存在.)注：（1）方向导数存在，但偏导数可能不存在； （2）偏导数存在，也可能方向导数不存在。 （3）方向导数是定义在射线上的单侧导数，它描述了函数沿方向变化率，而偏导数则是定义在上的双侧导数，表示函数沿平行于坐标轴上方向的变化率，故不能把偏导数看作是一种特殊的方向导数。定理 若函数在点处可微，则它在点处沿任一方向方向导数都存在，且有.证明：在点处可微， 其中为时的高阶无穷小。 ， 即。 该定理可推广到函数。8.5.2 梯度若记，则。称为在点处的梯度，记为，即 。一般地，若函数，在点M处可微，则在点M处有 ， ，。 若函数在点处可微，则它在点处沿任一方向方向导数都存在。但其逆不成立，即若在点处函数在任一方向方向导数都存在，而在点处不一定可微。 。 就是函数在点处的梯度在上的投影。 ， （1）当时，即方向与的方向相同时，方向导数取得最大值，且最大值。故梯度的方向是函数在点增长最快的方向。 （2）当时，即方向与的方向相反时，方向导数取得最小值，且最小值。故梯度的反方向是函数在点减少最快的方向。 （3）当时，即方向与的方向垂直时，方向导数为零。例2求函数在点沿方向的方向导数。解：， 方向余弦为，。例3函数在点处沿什么方向的方向导数最大？并求出最大值。解：， 方