结构力学(I)-04-2 结构静力分析篇(位移法)@@

哈工大土木工程学院 1 65 土木工程学院结构力学学科组 HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY 结构力学 哈工大土木工程学院 2 65 结构静力分析篇 哈工大土木工程学院 3 65 4 4位移法 满足基本假设的几何不变体系在一定外因作用下内力和位移的物理关系是一一对应的 力满足平衡条件 位移满足协调条件 当以多余未知力为基本未知量作为突破口时采取的方法就是力法 当以某些结点位移作为基本未知量作为突破口时采取的方法就是位移法 哈工大土木工程学院 4 65 力法指导思想 切断多余约束 以多余力为基本未知量 以此静定结构作为基本结构 将位移表示成多余力的函数 利用位移协调确定多余力 由此求整体结构的内力和位移 位移法指导思想 以结点位移作为基本未知量 取单杆系为基本结构 将杆端力表示成结点位移的函数 由结点位移协调和平衡确定未知位移 由此求整体结构的内力和位移 无论哪种方法都采用 先修改后复原 的方式 哈工大土木工程学院 5 65 4 4 1位移法的基本概念 求桁架内力 结点只有竖向位移 如设法求出 各杆伸长量即知 从而内力可定 FP FP 杆件刚度方程 1 取某一杆分析 拆 修改 哈工大土木工程学院 6 65 由位移协调 由结点平衡 2 综合成结构 搭 复原 哈工大土木工程学院 7 65 4 4 1位移法的准备工作 采用位移法通常假定各杆没有轴向变形 以三种单跨超静定梁作为基本构件 哈工大土木工程学院 8 65 常用的形常数 规定 位移以座标轴正向移动为正 转角以逆时针方向为正 线弯曲刚度 哈工大土木工程学院 9 65 常用的形常数 哈工大土木工程学院 10 65 常用的载常数 规定 弯矩以逆时针方向为正 剪力以座标轴正向为正 哈工大土木工程学院 11 65 常用的载常数 哈工大土木工程学院 12 65 两端固定单跨梁的转角位移方程 哈工大土木工程学院 13 65 4 4 2位移法思路 先化整为零 再集零为整 通过化整为零得到杆件刚度方程 即在知道每个杆件由于杆件的形常数和载常数的基础上确立杆端位移和杆端力的关系 通过集零为整建立结点平衡方程 即利用体系位移协调和部件平衡条件建立关于结点位移的位移法方程 解方程可得出结点位移 进而确定杆件内力 哈工大土木工程学院 14 65 1 平衡方程法 建立有角位移结点的平衡方程 求解角位移Z1 进而根据形常数和载常数绘出各杆的内力图 哈工大土木工程学院 15 65 2 典型方程法 基本体系 基本方程 基本未知量 通过施加附加约束使体系变成两个基本单跨超静定梁 称其为位移法基本结构 而附加约束的位移称基本未知量Z1 受基本未知量和外因共同作用的基本结构称为基本体系 当附加约束产生实际位移时 附加约束上的反力应当为零 即约束满足平衡 从而可求结点位移 进而计算内力 哈工大土木工程学院 16 65 哈工大土木工程学院 17 65 基本结构与原结构有两点区别 消除差别的办法是使附加约束上的总反力等于零 原结构在外因作用下有结点位移 而基本结构在外因作用下是无结点位移的 原结构无附加约束 而基本结构有附加约束 哈工大土木工程学院 18 65 根据线弹性体系的叠加原理可知 约束位移和外因共同作用下基本结构附加约束上产生的总反力等于零 以上各量可由形常数和载常数利用隔离体平衡求得 kij是与外因无关的反力影响系数 是基本结构的特性 RiP是与基本结构的广义荷载反力 哈工大土木工程学院 19 65 4 4 3位移法的基本未知量及基本结构 结构的结点位移 独立结点线位移 独立结点角位移 确定未知量总原则 在原结构的结点上逐渐增加附加约束 直到能将结构拆成具有已知形常数和载常数的单跨梁为止 未知量个数要最少 独立角位移个数等于位移未知的刚结点个数 独立结点线位移个数等于结构铰化后为使铰结体系几何不变所要加的最少链杆数 在结点上施加附加约束以消除独立位移即得位移法的基本结构 对应独立角位移处施加限制转动的刚臂 对应独立线位移处施加限制平移的链杆支座 哈工大土木工程学院 20 65 4 4 4典型方程及解题步骤 1 确定位移法基本未知量和基本结构 2 分别做基本结构在单位基本未知量作用下的内力图和外因作用下的内力图 3 利用内力图计算反力影响系数和外因引起的广义荷载反力 4 建立位移法典型方程并求解 5 利用叠加法绘制结构内力图 6 校核 即结构的任意部分是否平衡 哈工大土木工程学院 21 65 4 4 5位移法举例 例题 无侧移刚架内力计算 基本体系 哈工大土木工程学院 22 65 哈工大土木工程学院 23 65 例题 有侧移刚架内力计算 基本体系 哈工大土木工程学院 24 65 哈工大土木工程学院 25 65 利用反力互等定理 尽量选取结点力矩方程求系数会减少工作量 哈工大土木工程学院 26 65 例题 排架内力计算 基本体系 基本方程 哈工大土木工程学院 27 65 哈工大土木工程学院 28 65 0 哈工大土木工程学院 29 65 讨论 1 如果各柱的高度不同时 如何计算 哈工大土木工程学院 30 65 2 如果水平荷载不作用在柱顶 如何计算 讨论 哈工大土木工程学院 31 65 说明 排架的这种计算方法称剪力分配法 k称剪力分配系数 柱顶剪力是按各柱的侧移刚度来分配的 剪力分配法的使用条件是梁的抗拉刚度无穷大 且仅在柱顶作用一水平荷载 哈工大土木工程学院 32 65 例题 对称刚架内力计算 正对称 反对称 哈工大土木工程学院 33 65 对称结构在对称荷载作用下内力 反力和变形皆对称 故取半结构计算 由半结构特点采用位移法较好 哈工大土木工程学院 34 65 对称结构在反对称荷载作用下内力 反力和变形皆反对称 故取半结构计算 而此半结构仍具有对称结构特点 继续分解 哈工大土木工程学院 35 65 利用对称性将结构分解成最简形式 而每个最简形式都是只含一个变量的超静定结构 可分别采用位移法和力法求解 联合法 最后将半结构的结果叠加得原结构的解答 哈工大土木工程学院 36 65 例题 支座移动引起的内力图 原始结构 基本方程 基本结构 c 基本体系 哈工大土木工程学院 37 65 哈工大土木工程学院 38 65 校核时可以验算结构的位移是否和原结构的位移一致 2EI EI 哈工大土木工程学院 39 65 选取静定的基本结构1 2EI EI 哈工大土木工程学院 40 65 选取静定的基本结构2 C点位移应等于基本结构弯曲位移加上B支座沉降引起的位移 2EI EI 哈工大土木工程学院 41 65 例题 温度变化作用下刚架内力计算 基本体系 原始结构 基本方程 2EI EI 哈工大土木工程学院 42 65 2EI EI 哈工大土木工程学院 43 65 t0 1 5t C 轴向温度改变引起的变形和弯矩 2EI EI 哈工大土木工程学院 44 65 轴两侧温度改变引起的变形和弯矩 t t 2EI EI 哈工大土木工程学院 45 65 AB杆刚度较小 但变形较大 BC杆刚度较大 但变形较小 所以使得两杆内力变得均匀 哈工大土木工程学院 46 65 说明 根据杆件内外侧温度将其分解为轴向温度改变和弯曲方向的温差改变 温度改变引起的弯矩图考虑由两部分组成 由杆件伸缩引起的结点线位移和杆轴两侧温差引起的结点角位移 不计力作用引起的轴向变形 但必须考虑温度改变引起的轴向变形 求指定位置的位移 应与力法一样先将超静定结构化成一静定结构 然后利用位移公式计算 哈工大土木工程学院 47 65 例题 具有弹性支座的连续梁内力计算 原始结构 基本方程 基本体系 哈工大土木工程学院 48 65 2EI EI 2EI EI 哈工大土木工程学院 49 65 时 哈工大土木工程学院 50 65 哈工大土木工程学院 51 65 例题 剪切型刚架内力计算 基本体系 原始结构 基本方程 哈工大土木工程学院 52 65 哈工大土木工程学院 53 65 哈工大土木工程学院 54 65 哈工大土木工程学院 55 65 说明 由刚度系数的求解可知 楼层单位位移只在其相邻层产生附加约束反力 所以生成的刚度矩阵一定是三对角的 根据反力互等定理 结构刚度矩阵一定是关于主对角线对称的 层间刚度等于该层各柱侧移刚度之和 刚度矩阵的逆等于结构的柔度矩阵 哈工大土木工程学院 56 65 力法和位移法的共同点和不同点 共同点 原始结构 基本结构 消除差别 典型方程 基本未知量 X1 X2 Xn Z1 Z2 Zn 不同点 基本结构 静定结构超静定杆系 基本方程 位移条件平衡条件 系数和自由项的物理意义 适用情况 超静定次数少结点位移数少 哈工大土木工程学院 57 65 4 5混合法 考察发现单独用哪种方法基本未知量数都不适合于手算 当以A点为界时 其左半部分适合用位移法 其右半部分适合用力法 能否考虑使用两类基本未知量以简化计算 原始结构 哈工大土木工程学院 58 65 混合法 混合了两类未知量的方法 基本体系 基本方程 哈工大土木工程学院 59 65 由反力位移互等定理 kij由第j个附加约束的单位位移引起的第i个附加约束上的约束反力影响系数 i j 1 2 k13和k23表示单位多余未知力引起的第1 2个附加约束上的约束反力影响系数 3j由第j个附加约束的单位位移引起的第i个附加约束上的约束位移影响系数 j 1 2 33表示单位多余未知力引起的本方向的位移影响系数 哈工大土木工程学院 60 65 哈工大土木工程学院 61 65 4 6超静定结构特性 将静定结构与超静定结构进行比较 在荷载作用下 需同时考虑平衡 变形和应力应变关系才可唯一确定解答 内力分布不仅与杆件的几何尺寸有关 而且与杆件间的相对刚度有关 在荷载作用下 仅利用平衡条件即可求得全部反力和内力 解答具有唯一性 内力分布仅与杆件的几何尺寸有关 与杆件刚度无关 有多余约束的几何不变体系 无多余约束的几何不变体系 超静定结构 静定结构 哈工大土木工程学院 62 65 非荷载因素作用不仅可以引起变形 而且可能引起反力和内力 反力和内力的大小与杆件的绝对刚度成正比 非荷载因素作用不引起反力和内力 但能引起变形和位移 超静定结构内力与结构的刚度分布有关 所以改变几何不变部分将使结构内力产生变化 几何不变部分在保持连接方式和荷载不变的情况下 用其它几何不变部分代替 结构的其它部分内力不变 任何超静定部分上荷载有所变化时都将影响其它部分的内力 即荷载作用的影响是全局的 几何不变部分上的外荷载作等效变换时 仅影响荷载变换部分的内力 即荷载作用的影响是局部的 超静定结构 静定结构 哈工大土木工程学院 63 65 仅某一几何不变部分承受一平衡力系时 其它部分仍将产生内力 由于多余约束要限制其变形 仅某一几何不变部分承受一平衡力系时 其它部分不受力 仅基本部分承受荷载时 附属部分不受力 超静定结构 静定结构 哈工大土木工程学院 64 65 4 7结论与讨论 4 7 1结论 超静定结构只有同时满足平衡条件和变形条件和本构关系的解答才是唯一的解答 超静定结构有两种基本解法 力法和位移法 注意各自解题特点 并加以联合应用 力法的基本思想是将超静定结构化成熟知的静定结构 然后比较两者的差别 通过消除差别使原问题得以解决 哈工大土木工程学院 65 65 一个结构的力法基本结构有多种 不同的基本结构正确的计算会得到相同的结果 但工作量可能不同 需要在练习中积累经验 选取合理的基本结构提高计算效率 基本结构是在原始结构的基础上去除多余约束而得到的 不能任意改变约束性质和约束位置 更不能变成几何可变体系 要培养对计算结果的正确性进行检查的良好习惯 主要是对变形协调条件的检验 超静定结构的位移计算可以利用其基本结构的位移计算 哈工大土木工程学院 66 65 对于对称结构 可取半结构进行计算 但要注意理解和熟记半结构模型的计算简图 位移法的基本思想是通过施加附加约束 使原始结构变成基本单跨超静定梁系 在自动满足位移协调的基础上 使附加约束在荷载和结点位移共同作用下总反力等于零 超静定结构计算的基本原理和基本方法是为后续课程的学习和结构设计打基础的 所以必须认真对待 哈工大土木工程学院 67 65 4 7 2讨论 如果结构在未知力和荷载作用下能求内力和位移 则基本结构亦可以是低次超静定的 剪力墙通常简化成杆件结构计算 需要注意的是此类杆的计算要考虑剪切变形的影响 排架结构的牛腿柱上下刚度不同 所以用剪力分配法时要注意阶梯截面柱的侧移刚度公式 End 哈工大土