福建省长泰县第一中学高三数学二轮复习 09讲 不等式及其应用课件.ppt

第8讲不等式及其应用1 不等关系是客观世界中量与量之间一种重要的关系 不等式是反映这种关系的基本形式 江苏省考试说明中在此处确定两个c级要求 最高要求级别 其一为一元二次不等式 另一为基本不等式应用 备考中要引起足够重视 2 不等式的基本性质是研究不等式变形的基础 许多不等式的定理 公式都是在此基础上推理 拓展而成的 备考时务必抓住基本概念与性质 准确熟练的进行变形 不断提升思维深度与广度 才能在解决问题时有备无患 得心应手 3 不等式一节 一直是考查的重点和热点 尤其以 实际问题 函数 方程 等为背景的综合题较多 不仅仅测试和考查了基础知识 基本技能 蕴含的数学思想方法 而且是考查学生求解能力 推理论证能力 抽象思维能力的良好载体 备考过程中要加强训练 4 加强等价转化思想 数形结合思想 分类讨论思想 函数与方程思想等思想方法的训练 并从中体会它们在解题中的基础性作用 5 线性规划是不等式知识应用的良好素材 数形结合思想使问题变得直观与具体 与实际问题结合设计出具有 现实意义 的应用题 是近年高考的一个热点 提醒注意 最后一定要考查结果是否符合实际意义的要求 例1 设a b r 若a b 0 则下列四个不等式 b a 0 a3 b30 a2 b20 a b a0且a b 0 b a0 错 方法二 a b r且a b 0 不妨取a 2 b 1 易知 只有 正确 答案 探究拓展不等式性质是不等式的理论基础是一切证明 推理 判断 求解的依据 要求熟练掌握 变形时谨慎处理 步步有据 变式训练1若0 a1 a2 0 b1 b2且a1 a2 b1 b2 1 则a1b1 a2b2 a1a2 b1b2 a1b2 a2b1与四个代数式中值最大的是 a1b1 a2b2 例2 2009 徐州模拟 设x y r 且则x y的最小值为 解析方法一 y 方法二探究拓展基本不等式是求最值的有力与有利工具 但切勿忘记验证取得最值的条件 只有条件满足时 才能 真的取到 最值 本题中基本不等式的使用还是较艰苦的 这个 艰苦 的指 用 之前还要作不少变形 适当添加一些凑配出 可意的基本不等式形式 是解题 答案16 的关键 而这一技巧需要备考者认真思考 仔细体会 不断归纳总结才能提高 消元是处理二元或多元式子的有效方法 变式训练2已知 b 0 则x与y之间大小关系为 解析 x y 例3 2008 江苏押题 已知 x 0 x a且z x y的最大值为11 试求a的值为 分析 x y 5 x y 0包含两个不等式组 应分别研究 它们的限制条件 z x y的最大值为11 即已知目标函数的最值 方法处理同求目标函数最值类似 y 5 x y 0 解析 作出可行域知 对应 只要研究 目标函数可化为y x z 于是直线y x z在y轴上截距为z 依可行域知 当直线过点m a a 5 时 z取得最大值11 即11 2a 5 a 3 答案3探究拓展线性规划实际是一种重要数学思想方法的应用 即数形结合解决问题 应用解题时要把握好以下3点 将线性约束条件准确转化为可行域 完成由数向形的转化 将目标函数转化为以x为自变量的函数 仔细弄清平行线在y轴上截距增大 减小与目标函数最大 最小值之间的变化规律 依变化规律 找到最优解并求最大 小 值 本题是已知目标函数的最值 反过来确认参数最值 其思路与求最值一样 变式训练3设a为不等式组表示的平面区域 则当a从 2连续变化到1时 动直线x y a扫过a中的部分区域的面积为 解析将不等式组表示的区域a作出 如图所示为rt mno 动直线即为y x a 是一组斜率为 1 在y轴上的截距为a 2 1 的直线 图中四边形pqom为要求面积区域 依题意各点坐标为o 0 0 m 2 0 n 0 2 q 0 1 例4 若当a 1 3 时 不等式ax2 a 2 x 2 0恒成立 求实数x取值范围 分析变换主元法 由于a的取值范围已知 可将a视为主元 而把x看作常数 利用一次函数性质 结合最值观点解决 解设f a x2 x a 2x 2 则a 1 3 时 f a 0恒成立 答案 解得x 2或x 1 所以x的取值范围是 1 2 探究拓展 1 不等式的问题 实质是函数的问题 是已知函数值范围问题 学习中千万不要将两个概念割裂开来 应该互为利用互相促进问题解决 2 恒成立问题 有时要从最值入手限制条件满足 恒 成立 一般地 f x t恒成立 f x t恒成立 t f x max 变式训练4 2009 江苏最后一卷 若不等式x2 ax 1 0 对一切成立 则a的最小值为 解析 例5 2009 盐城中学第七次月考 已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元 每生产千件需另投入2 7万元 设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完 每千件的销售收入为r x 万元 且r x 1 写出年利润w 万元 关于年产品x 千件 的函数解析式 2 年产量为多少千件时 该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大 注 年利润 年销售收入 年总成本 解 1 当010时 w xr x 10 2 7x 2 当00 当x 9 10 时 w 0 当x 9时 w取最大值 综合 知x 9时 w取最大值 所以当年产量为9千件时 该公司在这一品牌服装生产中获利最大 探究拓展有关应用类问题 首先应建立数学模型 依具体模型设计具体解决方案 本题中可依基本不等式确定取最值条件 不要忘记验证等号成立条件是否满足 变式训练5 2009 淮安3月调研 有一座大桥既是交通拥挤地段 又是事故多发地段 为了保证安全 交通部门规定 大桥上的车距d m 与车速v km h 和车长1 m 的关系满足 k为正的常数 假定车身长为4m 当车速为60 km h 时 车距为2 66个车身长 1 写出车距d关于车速v的函数关系式 2 应规定怎样的车速 才能使大桥上每小时通过的车辆最多 解 1 因为当v 60时 d 2 66l d 0 0024v2 2 答当v 50 km h 时 大桥每小时通过的车辆最多 规律方法总结1 不等式成立的条件很关键 要把握准确 切勿疏忽 如不能弱化条件得如果强化条件得也只是充分条件 有失偏颇 2 几个 平均数 的大小关系 若a b r 则有 当且仅当a b时 取等号 其中叫做a b的平方平均数 叫做a b的算术平均数 叫做a b的几何平均数 叫做a b的调和平均数 3 常用不等式 请学生认真思考 以上各式等号成立的条件是什么 4 在解不等式时 一定要注意等价转化 体现转化的数学思想方法 对于解没有给出具体式子的不等式 要充分利用函数的性质及图象进行等价转化 这类题较好地体现了数形结合及函数的思想 对于含参数的不等式的解法 一定要利用分类讨论法来求解 分类时要遵守最简及不重不漏两条原则 5 用均值不等式来求函数的最值时 必须满足 一正 二定 三相等 三个条件 三者缺一不可 有时为了创造应用均值不等式的条件 经常应用合理拆分项或配凑因式等解题技巧 函数上单调递减 在上单调递增 当用均值不等式不能求出函数的最值时 要注意充分利用函数的单调性 在利用均值不等式求值时 若进行连续放缩 则需注意取等条件是否一致 6 证明不等式的常用方法 比较法 综合法 分析法 放缩法 数学归纳法 换元法 判别式法 反证法 7 在不含参数不等式的求解时也可能运用分类讨论的方法 但它与含参数不等式求解时对分类讨论的运用是不同的 前者是对未知数在可能的取值范围内进行分类讨论 各类别下求得的解集 必须取其 并 才是原不等式的解集 后者是对其中的参数作出分类讨论 各类别下求得的解集毫无关系 故决不能取 并 8 利用不等式解决实际问题 不等式的应用题大致可分为两类 一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题 另一类是建立函数关系 利用均值不等式或函数的单调性求最值问题 应用不等式解题的关键是建立不等关系 解不等式应用问题的步骤 审题 建立不等模型 利用不等式有关知识解题 解决问题具体 现实世界中的实际问题 不等式模型 数学抽象 实际问题的解 不等式的解 还原实际 一 填空题1 已知a b0 则a2 b2 ab的大小关系为 解析a b0 ba 即 b a 0 所以0 a2 ab 0 a b b 2 则0 a2 ab b2 2 设则四者大小关系为 a2 ab b2 c d a b 3 设则不等式f x 2的解集为 解析若x2 ex 1 1 e0 12 x2 1 9 x 或x 综合以上知x 1 2 4 已知变量x y满足约束条件1 x y 4 2 x y 2 若目标函数z ax y 其中a 0 仅在点 3 1 处取得最大值 则a的取值范围为 解析变量x y满足约束条件1 x y 4 2 x y 2 在坐标系中画出可行域 如图中的四边形abcd 其中a 3 1 kad 1 kab 1 目标函数z ax y 其中a 0 中的z表示斜率为 a的直线系中的截距的大小 若仅在点 3 1 处取得最大值 则斜率应小于kab 1 即 a 1 所以a的取值范围为 1 1 5 定义在r上的奇函数f x 为增函数 偶函数g x 在区间 0 的图象与f x 图象重合 设a b 0 给出以下不等式 其中正确的式子的序号为 f b f a g a g b f b f a g b g a f a f b 0 f b g b 0 且f a f b g a g b f b f a f b f a g a g b 而g a g b g a g b g a g b g a g b 2g b 0 f b f a g a g b 同理可证f a f b g b g a 6 函数f x x3 ax 2008在区间 1 上存在x1 x2 使得当x1 x2时 f x1 f x2 则实数a的取值范围是 解析从其对立事件入手 即 x1 x2 1 当x1 x2时 f x1 f x2 恒成立 即 f x 在 1 上单调递增 f x 0恒成y 3x2 a 0在 1 上恒成立 a 3 故所求a的取值范围是 3 3 立 二 解答题7 2008 广东改编 设a r 若函数有大于零的极值点 求a的取值范围 解f x 3 aeax 若函数在x r上有大于零的极值点 即f x 3 aeax 0有正根 当有f x 3 aeax 0成立时 显然有a0知参数a的取值范围为a 3 y eax 3x x r 8 设不等式x2 2ax a 2 0的解集为m 若m 1 4 求实数a的范围 解m 1 4 有两种情况 其一是m 此时 0 分三种情况计算a的取值范围 设f x x2 2ax a 2 有 2a 2 4 a 2 4 a2 a 2 1 当 0时 1 a 2 m 1 4 2 当 0时 a 1或2 当a 1时 m 1 1 4 当a 2时 m 2 1 4 3 当 0时 a2 设方程f x 0的两根为x1 x2 且x1 x2 那么m x1 x2 由m 1 4 1 x1 x2 4 9 某食品厂定期购买面粉 已知该厂每天需用面粉6吨 每吨面粉的价格为1800元 面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元 购买面粉每次需支付运费900元 1 求该厂多少天购买一次面粉 才能使平均每天所支付的总费用最少 2 某提供面粉的公司规定 当一次购买面粉不少于210吨时 其价格可享受9折优惠 问该厂是否考虑利用此优惠条件 请说明理由 解 1 设该厂应每隔x天购买一次面粉 其购买量为6x吨 由题意可知 面粉的保管等其他费用为3 6x 6 x 1 6 x 2 6 1 9x x 1 设平均每天所支付的总费用为y1元 即该厂应每隔10天购买一次面粉 才能使平均每天所支付的总费用最少 2 若厂家利用此优惠条件 则至少每隔35天购买一次面粉 设该厂利用此优惠条件后 每隔x x 35 天购买一次面粉 平均每天支付的总费用为y2元 则 当x 35时 f x 有最小值 此时y2 10070 10989 该厂接受此优惠条件 10 已知f x 是定义在 1 1 上的奇函数 且f 1 1 若m n 1 1 m n 0时有 1 判断f x 在 1 1 上的单调性 并证明你的结论 2 解不等式 3 若f x t2 2at 1对所有x 1 1 a 1