导数与不等式.ppt

第5讲导数与不等式 存在性及恒成立问题 高考定位在高考压轴题中 函数与不等式交汇的试题是考查的热点 一类是利用导数证明不等式 另一类是存在性及恒成立问题 真题感悟 考点整合 1 常见构造辅助函数的四种方法 1 移项法 证明不等式f x g x f x g x 的问题转化为证明f x g x 0 f x g x 0 进而构造辅助函数h x f x g x 2 构造 形似 函数 对原不等式同解变形 如移项 通分 取对数 把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构 根据 相同结构 构造辅助函数 3 放缩法 若所构造函数最值不易求解 可将所证明不等式进行放缩 再重新构造函数 4 主元法 对于 或可化为 f x1 x2 A的不等式 可选x1 或x2 为主元 构造函数f x x2 或f x x1 2 利用导数解决不等式恒成立问题的 两种 常用方法 1 分离参数法 将原不等式分离参数 转化为不含参数的函数的最值问题 利用导数求该函数的最值 根据要求得所求范围 一般地 f x a恒成立 只需f x min a即可 f x a恒成立 只需f x max a即可 2 函数思想法 将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题 利用导数求该函数的极值 最值 然后构建不等式求解 3 不等式的恒成立与能成立问题 1 f x g x 对一切x I恒成立 I是f x g x 的解集的子集 f x g x min 0 x I 2 f x g x 对x I能成立 I与f x g x 的解集的交集不是空集 f x g x max 0 x I 3 对 x1 x2 I使得f x1 g x2 f x max g x min 4 对 x1 I x2 I使得f x1 g x2 f x min g x min 探究提高 1 证明f x g x 或f x g x 可通过构造函数h x f x g x 将上述不等式转化为求证h x 0或h x 0 从而利用求h x 的最小值或最大值来证明不等式 或者 利用f x min g x max或f x max g x min来证明不等式 2 在证明不等式时 如果不等式较为复杂 则可以通过不等式的性质把原不等式变换为简单的不等式 再进行证明 探究提高对于求不等式成立时的参数范围问题 在可能的情况下把参数分离出来 使不等式一端是含有参数的不等式 另一端是一个区间上具体的函数 这样就把问题转化为一端是函数 另一端是参数的不等式 便于问题的解决 但要注意分离参数法不是万能的 如果分离参数后 得出的函数解析式较为复杂 性质很难研究 就不要使用分离参数法 探究提高存在性问题和恒成立问题的区别与联系存在性问题和恒成立问题容易混淆 它们既有区别又有联系 若g x m恒成立 则g x max m 若g x m恒成立 则g x min m 若g x m有解 则g x min m 若g x m有解 则g x max m 1 不等式恒成立 能成立问题常用解法有 1 分离参数后转化为最值 不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下 采用分离参数转化为函数的最值问题 形如a f x max或a f x min 2 直接转化为函数的最值问题 在参数难于分离的情况下 直接转化为含参函数的最值问题 伴有对参数的分类讨论 3 数形结合 2 利用导数证明不等式的基本步骤 1 作差或变形 2 构造新的函数h x 3 利用导数研究h x 的单调性或最值 4 根据单调性及最值 得到所证不等式 3 导数在综合应用中转