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C 十一 本题满分10分 已知甲 乙两箱中装有同种产品 其中甲箱中装有3件合格品和3件次品 乙箱中仅装有3件合格品 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后 求 1 乙箱中次品件数的数学期望 2 从乙箱中任取一件产品是次品的概率 2004年数学一试题 13 设随机变量X服从正态分布N 0 1 对给定的 C 14 设随机变量 A 2004年数学一试题 2004年数学一试题 一 基本概念 总体X 简单随机样本 X1 X2 Xn 样本值 x1 x2 xn 统计量 无偏估计 上 分位点 双侧 分位点 样本的数字特征 样本均值 样本方差 样本k阶矩 置信水平 置信区间 检验水平 检验统计量 接受域 拒绝域 二 主要估计方法 1 矩估计 将要估计的总体参数 表示成总体X的矩的函数 然后用样本的相应的矩的函数作为其估计量进行估计 方法步骤 1 建立待估参数 与总体的矩之间的关系式 2 用相应的样本矩做总体矩的估计量 代入关系式得到 的估计量 3 代入样本值得到 的估计值 共有m个待估参数时 需要建立m个这样的关系式 3 区间估计 2 极大似然估计 当我们用样本值估计总体的参数时 应使得当参数取这些值时 所观测到的样本值出现的概率为最大 方法步骤 从已知条件出发 寻求一个含有 而不含有其它未知参数 的样本函数Z Z X1 X2 Xn 使得随机变量Z的分布为已知的 最好是常用的 分布 根据Z的分布的 分位点 解出 的置信区间 方法步骤 4 在最大值点的表达式中 用样本代入就得参数的极大似然估计量 2 由总体分布导出似然函数L 似然函数为分布律 或概率密度 乘积 3 求似然函数L 的最大值点 常转化为求lnL 的最大值点 1 设 x1 x2 xn 为样本 X1 X2 Xn 的一个观察值 统计三大分布 记为 分布 设相互独立 且都服从正态分布N 0 1 则 r v服从自由度为n的分布 服从自由度为n的t分布 记为T t n 又称Student分布 t分布 设U 2 n1 V 2 n2 且U与V相互独立 则称r v 服从自由度为 n1 n2 的F分布 F分布 6设和S2是来自正态总体N 0 2 的样本的样本均值和样本方差 样本容量为n 则统计量服从分布 分析 C 1 样本均值的分布 设X N 2 X1 X2 Xn 是它的一个样本 常用统计量的分布 一 单个正态总体 2 样本方差的分布 与S2相互独立 二 两个正态总体 4 3 双侧分位点 13 设随机变量X服从正态分布N 0 1 对给定的 C 2004年数学一试题 注意 1 双边检验的拒绝域取在两侧 单边检验的拒绝域中不等式的取向与备择假设H1中不等式的取向完全一致 2 单边检验中的等号总是在原假设中 三 假设检验 依据小概率原理 基本步骤 2 根据假设确定检验统计量 4 根据样本值作出拒绝还是接受H0的判断 1 根据实际问题的要求 提出原假设H0及备择假设H1 通常只控制犯第一类 弃真 错误的概率 即只控制使 适量地小 而不考虑第二类 纳伪 错误的概率 原则 理论依据 四 正态总体的区间估计及假设检验 总体方差 2已知时 用 总体方差 2未知时 用 对于单一正态总体参数的检验 估计或检验均值 无论总体均值怎样 用 估计或检验方差 2 方差已知时 用 方差未知 但相等时 用 对于双正态总体参数的检验 估计或检验均值差 估计或检验方差比 用 五 区间估计与假设检验的关系 以 2未知 关于 的区间估计与假设检验为例说明 设置信度为1 即检验水平为 则 对 查t分布表使 得 的置信区间为 选用统计量 共同点 区间估计 假设检验 假设H0 0 H1 0 H0的拒绝域为 求得统计量的观测值 区间估计与假设检验的统计处理是相通的 但区间估计是估计未知参数所在的区间 假设检验是给了有关未知参数的假设 去判定假设的对错 结论 区别 2004年数学一试题 六 应用举例 2003年考研数学 一 6 设有两个工厂独立地生产同种零件 其质量指标均服从正态分布 分别从它们某天的产品中抽25件和15件 求得样本方差分别为6 38和5 15 求两正态总体方差比置信度为0 90的置信区间 解 统计量 对给定的 查表可得与使 由此可得的置信区间为 大作业 查表得 注 课后 解 在检验水平 下 检验假设 因为 均未知 且不知 1 故先检验假设 是否相等 当假设 为真时 取检验统计量 由 查表得 故拒绝域为 代入样本值 得T值为 所以接受 故可以认为 2 再检验假设 由 查表得 故接受域为 代入样本值 一 是非题 参数估计大作业 1 从50只灯泡中任意抽取5只做破坏性试验 测得寿命分别是 则不是一个简单随机样本 2 样本的函数一定是统计量 由样本构成 不含有其他未知参数 的函数统称为统计量 什么是统计量 分析 4 设总体N 2 未知 则 的无偏估计量不是唯一的 2 设是总体的未知参数的极大似然估计 则的极大似然估计是 性质 若是参数的极大似然估计量 而函数具有单值反函数 则是的极大似然估计量 二 填空题 3X1 X2 X3 X4 X5是来自正态总体N 0 1 的一个简单随机样本 则 2 设总体X和Y相互独立 且都服从正态分布N 20 3 分别取容量为10和15的样本 求两样本均值差的绝对值大于0 3的概率 分析 三 解答题 三 解答题4 设总体 未知 为总体的样本 求的极大似然估计量 分析 假设检验大作业 一 是非题2 检验水平恰好是犯 弃真 错误的概率 实际应用中 取得越小越好 三 选择题1 假设检验中 显著性水平表示 3 各在十块相同条件的土地上试种甲 乙两个品种的农作物 其产量都服从正态分布 且方差相同 计算知样本均值各为30 97 26 79 样本方差各为26 7 12 1 现欲通过假设检验推断这两个品种的产量是否存在显著差异 则该检验应为 分析