永安2016高三数学典型题例(立体几何).doc

永安市2016届高三数学理科专题资料立体几何一【考试要求】1.空间几何体：该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过对各种空间几何体结构特征的了解，认识各种空间几何体的三视图和直观图，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法.2.空间点、直线、平面的位置关系：该部分的基础是平面的性质、空间直线与直线的位置关系，重点是空间线面平行和垂直关系的判定和性质，面面平行和垂直关系的判定和性质在复习中要牢牢掌握四个公理和八个定理及其应用，重点掌握好平行关系和垂直关系的证明方法.3.空间几何量的计算：掌握用推理的方法或用空间向量的方法求空间几何量问题。二【典例解析】热点一：证明空间线面平行与垂直例1如图，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点A1ABCB1C1MN（1）求证：MN平面AA1C1C；（2）若CC1CB1，CACB，平面CC1B1B平面ABC，求证：AB平面CMN例2已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，ACBDO，AA12，BDA1A，BADA1AC60，点M是棱AA1的中点 (1)求证：A1C平面BMD；(2)求证：A1O平面ABCD；(3)求直线BM与平面BC1D所成角的正弦值热点二：求空间图形中的角与距离例3 已知三棱锥中，侧面垂直底面，是底面最长的边；图1是三棱锥的三视图，其中的侧视图和俯视图均为直角三角形；图2是用斜二测画法画出的三棱锥的直观图的一部分，其中点在平面内 （）请在图2中将三棱锥的直观图补充完整，并指出三棱锥的哪些面是直角三角形； （）设二面角的大小为，求的值； （）求点到面的距离例4如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4，ACBACD，F为PC的中点，AFPB (1)求PA的长；(2)求二面角BAFD的正弦值考点三： 探索性问题例5如图，在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC，点D为BC的中点(1)求二面角APDB的余弦值；(2)在直线AB上是否存在点M，使得PM与平面PAD所成角的正弦值为，若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由三【课后作业】1设是两条直线，是两个不同平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A若与所成的角相等，则B若，则C若，则D若，则2某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A B C200 D2403某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A168 B88 C1616 D8164如图，长方体ABCDA1B1C1D1中， AB2，ADAA1.设长方体的截面四边形ABC1D1的内切圆为圆O，圆O的正视图是椭圆O，则椭圆O的离心率等于()A. B. C. D.5已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点，AB，ASCBSC30，则棱锥SABC的体积为()A3 B2 C. D16、已知二面角l为60，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）A.B.2C.D.47、如图,已知正方体的棱长为1,动点在此正方体的表面上运动，且（），记点P的轨迹的长度为，则函数的图像可能是（ ）8 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_9已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1CD所成角的正弦值为 。10如图所示，在矩形中，的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将ADE向上折起，使D到P点位置，且.（）求证：（）求二面角E-AP-B的余弦值。11如图所示，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E、F、O分别为PA、PB、AC的中点，AC16，PAPC10.(1)设G是OC的中点，证明：FG平面BOE；(2)证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE.12、如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE平面ABCD，BADADC90，ABADCD1，PD.（I）若M为PA中点，求证：AC平面MDE；（II）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（III）在线段PC上是否存在一点Q（除去端点），使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为？立体几何答案例1法一证明：（1）取A1C1的中点P，连接AP，NPA1ABCB1C1MN（第16题图）P因为C1NNB1，C1PPA1，所以NPA1B1，NPA1B1 在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1AB，A1B1AB故NPAB，且NPAB 因为M为AB的中点，所以AMAB所以NPAM，且NPAM所以四边形AMNP为平行四边形所以MNAP 因为AP平面AA1C1C，MN平面AA1C1C，所以MN平面AA1C1C 法二：通过面面平行证线面平行（2）因为CACB，M为AB的中点，所以CMAB 因为CC1CB1，N为B1C1的中点，所以CNB1C1 在三棱柱ABCA1B1C1中，BCB1C1，所以CNBC因为平面CC1B1B平面ABC，平面CC1B1B平面ABCBCCN平面CC1B1B，所以CN平面ABC 因为AB平面ABC，所以CNAB 因为CM平面CMN，CN平面CMN，CMCNC，所以AB平面CMN 例2 (1)证明：连接MO.A1MMA，AOOC，MOA1C，MO平面BMD，A1C平面BMD，A1C平面BMD.(2)证明：由BDAA1，BDAC得BD平面A1AC，于是BDA1O.在菱形ABCD中，BAD60，AB2，AO2cos 30，又AA12，A1AC60，由余弦定理得A1O3，则A1O2AO2AA，A1OAC.又ACBDO，A1O平面ABCD.(3)如图，建立空间直角坐标系，则A1(0,0,3)，A(，0,0)，C(，0,0)，B(0,1,0)，D(0，1,0)(2，0,0)C1(2，0,3)M（，0，），（，1，）.(0,2,0)，(2，1,3)，设平面BC1D的法向量为n(x，y，z)，例3（）补充完整的三棱锥的直观图如图所示由三视图知和是直角三角形 （）如图，过作交于点.由三视图知，在图中所示的坐标系下，相关点的坐标为：，则， 设平面、平面的法向量分别为,由，得令， 得，即由，得，令， 得，即 ， ,则二面角的大小为锐角，的值为（）记到面的距离为，由，得，, ，. 又三棱锥的体积， 由，可得： 例4解：(1)如图，连接BD交AC于O，因为BCCD，即BCD为等腰三角形又AC平分BCD，故ACBD以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则OCCD1，而AC4，得AOACOC3，又ODCD，故A(0，3,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)因PA底面ABCD，可设P(0，3，z)，由F为PC边中点，F.又，(，3，z)，因AFPB，故0，即60，(舍去)，所以|.(2)由(1)知(，3,0)，(，3,0)，(0,2，)，设平面FAD的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为n2(x2，y2，z2)，由n10，n10，得因此可取n1(3，2)由n20，n20，得故可取n2(3，2)从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2，故二面角BAFD的正弦值为.例5解(1)ACBC，PAPB，PCPC，PCAPCB，PCAPCB，PCAC，PCCB，又ACCBC，PC平面ACB，且PC，CA，CB两两垂直，2分故以C为坐标原点，分别以CB，CA，CP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(0,2,0)，D(1,0,0)，P(0,0,2)，(1，2,0)，(1,0，2)，3分设平面PAD的一个法向量n(x，y，z)，即，取n(2,1,1)，平面PDB的一个法向量为(0,2,0)，5分cosn，设二面角APDB的平面角为，且为钝角，cos ，二面角APDB的余弦值为.6分(2)方法一存在，M是AB的中点或A是MB的中点7分设M(x,2x,0) (xR)，(x,2x，2)，8分|cos，n|，解得x1或x2，M(1,1,0)或M(2,4,0)，10分在直线AB上存在点M，且M是AB的中点或A是MB的中点，使得PM与平面PAD所成角的正弦值为.12分方法二存在，M是AB的中点或A是MB的中点7分设，则(2，2,0)(2，2，0) (R)，(2，22，2)，8分|cos，n|.解得或1.10分M是AB的中点或A是MB的中点在直线AB上存在点M，且M是AB的中点或A是MB的中点，使得PM与平面PAD所成角的正弦值为.12分评分细则(1)没有指明CA、CB、CD两两垂直，直接建系的扣1分；(2)求出平面的法向量给1分；法向量写成其他形式不扣分；(3)二面角余弦值写成的扣1分；(4)第(2)问最后不写结论的扣1分课后作业答案17CCABC CB 8 910解：（）取BC的中点F，连OF，PF，OFAB，OFBC因为PB=PC BCPF，所以BC面POF，从而BCPO ，又BC与PO相交，可得PO面ABCE（）作OGBC交AB于G，OGOF如图，建立直角坐标系A（1，-1，0），B（1，3，0），C（-1，3，0），P（0，0，）设平面PAB的法向量为同理平面PAE的法向量为 二面角E-AP-B的余弦值为11(1)证明如图所示，连接OP，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，A(0，8，0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0，0,6)，E(0，4,3)，F(4,0,3)，由题意得，G(0,4,0)，因(8,0,0)，(0，4,3)，因此平面BOE