函数模型及其应用.ppt

函数模型及其应用 1 孙小凯 班级一学生 刚好早晨迟到 早上起床太晚 为避免迟到 不得不跑步到教室 但由于平时不注意锻炼身体 结果跑了一段就累了 不得不走完余下的路程 问题1 如果用纵轴表示离教室的距离 横轴表示出发后的时间 则下列四个图象比较符合此人走法的是 问题2 韦老师今天从县中到二中上课 来的时候坐了出租车 我们知道洪泽出租车的价格 凡上车起步价为4元 行程不超过3km者均按此价收费 行程超过3km 按1 5元 km收费 县中到二中的路程是4公里 问韦老师今天坐车用了多少钱 县中到二中的路程是x公里 问韦老师今天坐车会用多少钱 实际问题 数学模型 数学模型的解 实际问题的解 答 求解数学应用问题的思路和方法 我们可以用示意图表示为 数学模型 例1 某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固定成本为200万元 生产每台计算机的可变成本为3000元 每台计算机的售价为5000元 分别写出总成本C 万元 单位成本P 万元 销售收入R 万元 以及利润L 万元 关于总量x 台 的函数关系式 例2 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述 设物体的初始温度是T0 经过一定时间t后的温度是T 则 其中表示环境温度 称h为半衰期 现有一杯用88 热水冲的速溶咖啡 放在24 的房间中 如果咖啡降温到40 需要20min 那么降到35 时 需要多长时间 结果精确到0 1 例3 在经济学中 函数的边际函数定义为 某公司每月最多生产100台报警系统 生产x台的收入函数为 单位 元 其成本函数为 单位 元 利润是收入与成本之差 1 求利润函数及边际利润函数 2 利润函数与边际利润函数是具有相同的最大值 因此 解决应用题的一般程序是 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 建模 将文字语言转化为数学语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 解模 求解数学模型 得出数学结论 还原 将用数学知识和方法得出的结论 还原为实际问题的意义 作业 p883 4 函数模型及其应用 2 解决应用题的一般程序是 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 建模 将文字语言转化为数学语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 解模 求解数学模型 得出数学结论 还原 将用数学知识和方法得出的结论 还原为实际问题的意义 解之得 例2 某房地产公司要在荒地ABCDE 如图 上划出一块长方形的地面修建一幢公寓楼 已知EF 80m BC 70m BF 30m AF 20m 问 如何设计才能使公寓楼地面面积最大 最大面积是多少 D 例1 如图 有一块半径为 的半圆形钢板 计划剪裁成等腰梯形 的形状 它的下底 是 的直径 上底 的端点在圆周上 问 腰为多少时 梯形周长最大 解 设腰长AD BC x 周长为y E 练习 1 有一批材料可以建成200m的围墙 如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地 中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形 如下图所示 则围成的矩形最大面积为 m2 围墙厚度不计 解析 设矩形宽为xm 则矩形长为 200 4x m 则矩形面积为S x 200 4x 4 x 25 2 2500 0 x 50 x 25时 S有最大值2500m2 2 有甲 乙两种产品 生产这两种产品所获得利润分别为p和q 万元 它们与投入的资金x 万元 的关系分别为 今投入3万元资金生产甲 乙两种产品 为了获得最大利润 对甲乙两种产品的投入分别应为多少万元 此时最大利润是多少万元 3某产品的成本y 万元 与产量x 台 之间的函数关系 若每台产品的售价为25万元 则生产者不 亏本 即销售收入不小于总成本 的最低产量台数为 小结 2 解题过程 从问题出发 引进数学符号 建立函数关系式 再研究函数关系式的定义域 并结合问题的实际意义做出回答 即建立数学模型 并推理演算求出数学模型的解 再结合实际做出回答 1 解题四步骤 设 列 解 答 函数模型及其应用 3 例1 某旅社有客房300间 每间日房租为20元 每天都客满 公司欲提高档次 并提高租金 如果每间客房每日增加2元 客房出租数就会减少10间 若不考虑其它因素 旅社将房间租金提高多少时 每天客房租金总收入最高 点拨 由题设可知 每天客房总的租金是增加2元的倍数的函数 设提高为x个2元 则依题意可算出总租金 用y表示 的表达式 由于房间数不太多 为了帮助同学理解这道应用题 我们先用列表法求解 然后再用函数的解析表达式求解 解 设客房租金每间提高x个2元 Y 20 2x 300 10 x 20 x2 600 x 200 x 6000 20 x2 20 x 100 100 6000 20 x 10 2 8000 则将有10 x间客房空出 客房租金的总收入为 由此得到 当x 10时 y的最大值为8000 即每间租金为20 10 2 40 元 时客房租金总收入最高 每天为8000元 总结 通过列表的形式求解 直观性强 有助于同学理解 但运算过程比较繁琐 作为探求思路的方法还是可行的 根据题目的条件列出函数关系式 利用二次函数求极值 是常用的方法 练习 1 将进货单价为80元的商品按90元一个出售时 能卖出400个 根据经验 该商品每个上涨1元 其销售量就减少20个 为获得最大利润 售价应定为多少元 最大利润是多少 2 某车间最大生产能力为月生产100台机床 至少要完成40台才能保本 当生产x台时的总成本函数为G x x2 10 x 百元 按市场规律 价格为P 970 5x x需求量 可以销售完 试写出利润函数 并求出生产多少台时 利润最大 3 某商场出售一种商品 原来 每天可卖出1000件 每件可获利4元 根据经验 若单件商品的价格每减少0 1元 每天的销售量就会多出100件 从获得最好的经济效益的角度来看 该商品的单价应比现在减少 元 函数模型及其应用 4 例题 一家报刊摊点 从报社买进报纸价格是每份0 24元 卖出是每份0 40元 卖不掉的报纸还可以每份0 08元的价格退回报社 在一个月的30天里 有20天每天可卖出300份 其余10天 每天卖出200份 但这30天里 每天从报社买进的份数必须相同 这家报刊摊点应该每天从报社进多少份报纸 才能获得最大利润 一个月可赚多少钱 2 当200 x 300时 y 0 4 0 24 10 200 0 24 0 08 10 x 200 0 4 0 24 20 x 640 1 6x 640 1 6 300 1120 解 设这家报刊摊点每天从报社买进x份报纸 一个月可赚y元 1 当x 200时 y 0 4 0 24 30 x 4 8x 4 8 200 969 3 当x 300时 y 0 4 0 24 10 200 0 24 0 08 10 x 200 0 4 0 24 20 300 0 24 0 08 x 300 20 2560 4 8x 2560 4 8 300 1120 总结 求分段函数的最值 应先求出函数在各部分的最值 然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值 取各部分的最小者为整个函数的最小值 变式 如图 一动点P自边长为1的正方形的边界运动一周后再回到A点 若点P的路程为x 点P到顶点A的距离为y 求A P两点间的距离y与点P的路程x之间的函数关系式 2 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元 每生产一台仪器需增加投入100元 已知总收益满足函数 其中x是仪器的月产量 1 将利润表示为当月产最的函数 2 求每月生产多少台仪器时 公司所获利润最大 最大利润为多少元 例2 在一定范围内 某种产品的购买量为yt 与单价x元之间满足一次函数关系 如果购买1000t 每吨为800元 如果购买2000t 每吨为700元 一客户购买400t 单价应该为 A 820元B 840元C 860元D 880元 c 解 设在进价基础上增加x元后 日均经营利润为y元 则有日均销售量为 桶 而 有最大值 只需将销售单价定为11 5元 就可获得最大的利润 利润怎样产生的 销售