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第六节极限存在准则两个重要极限 内容提要1 两个极限存在准则 2 两个重要极限 教学要求1 了解两个极限存在准则 夹逼准则和单调有界准则 2 熟练掌握用两个重要极限求极限 1 2 一 极限存在准则 1 夹逼准则 注 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 注 上述两个准则称为夹逼准则 例1求 解 由夹逼定理得 又 2 单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释 作单位圆 1 对于 情形 有 证 x 恒 由夹逼准则 证毕 偶函数 注意 解 例1求 例2求 例3求 解 解 例4求 解 解 因此 解 练习 解 解令 解 解 证明略 解 解法一 所以 解法二 解 所以 3 互倒 注意 解 解 解 小结 二 两个重要极限 重要极限二 3 互倒 夹逼准则 单调有界准则 一 两个准则 作业P56习题1 61 1 3 5 2 1 2 3 第六节无穷小的比较 内容提要无穷小量的比较 教学要求熟练掌握无穷小的比较 等价无穷小量的性质以及一些常见的等价无穷小 两个无穷小的和 差 积 函数 都是无穷小 但是 极限的变量 阶 的概念 定义 若 则称 是比 高阶的无穷小 若 若 若 若 或 设a b 是自变量同一变化过程中的无穷小 记作 则称 是比 低阶的无穷小 则称 是 的同阶无穷小 则称 是关于 的k阶无穷小 则称 是 的等价无穷小 记作 例如 可以证明 有下列等价无穷小 有下面定理 定理1 定理2 证明 这种解法是错误的 解 正确的解法如下 正确的解法如下 解 注意 用无穷小的等价替换简化极限运算时 可用无穷小量替换分子或分母 也可替换分子或分母的因式 而对分子或分母中 而对分子或分母中 部分不能分别作替换 小结 1 无穷小的比较 反映了同一过程中 两无穷小趋于零的速度快慢 但并不是所有的无穷小都可进行比较 2 等价无穷小的替换 求极限的又一种方法 注意适用
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