陕西省汉中市陕飞二中高三数学二轮复习 专题三第三讲 推理与证明课件.ppt

第三讲推理与证明 1 合情推理 1 归纳推理 归纳推理是由某类事物的具有某些特征 推出该类事物的都具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出的推理 归纳推理的思维过程如下 部分对象 全部对象 一般结论 2 类比推理 类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理 类比推理的思维过程如下 2 演绎推理 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 1 大前提 已知的一般原理 2 小前提 所研究的特殊情况 3 结论 根据一般原理 对特殊情况做出的判断 3 直接证明 1 综合法用p表示已知条件 已有的定义 定理 公理等 q表示所要证明的结论 则综合法可用框图表示为 2 分析法用q表示要证明的结论 则分析法可用框图表示为 4 间接证明用反证法证明命题 若p则q 的过程可以用如图所示的框图表示 5 数学归纳法用数学归纳法证明与正整数n有关命题的步骤为 1 证明当n取第一个值n0时命题成立 2 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 3 得出结论 1 2011 江西 观察下列各式 72 49 73 343 74 2401 则72011的末两位数字为a 01b 43c 07d 49解析因为71 7 72 49 73 343 74 2401 75 16807 76 117649 所以这些数的末两位数字呈周期性出现 且周期t 4 又因为2011 4 502 3 所以72011的末两位数字与73的末两位数字相同 故选b 答案b 答案c 3 2011 陕西 观察下列等式1 12 3 4 93 4 5 6 7 254 5 6 7 8 9 10 49 照此规律 第n个等式为 解析 1 12 2 3 4 9 32 3 4 5 6 7 25 52 第n个等式为n n 1 3n 2 2n 1 2 答案n n 1 3n 2 2n 1 2 4 2011 福建 设v是全体平面向量构成的集合 若映射f v r满足 对任意向量a x1 y1 v b x2 y2 v 以及任意 r 均有f a 1 b f a 1 f b 则称映射f具有性质p 现给出如下映射 f1 v r f1 m x y m x y v f2 v r f2 m x2 y m x y v f3 v r f3 m x y 1 m x y v 其中 具有性质p的映射的序号为 写出所有具有性质p的映射的序号 解析a x1 y1 b x2 y2 a 1 b x1 1 x2 y1 1 y2 对于 f1 m x y f a 1 b x1 1 x2 y1 1 y2 x1 y1 1 x2 y2 而 f a 1 f b x1 y1 1 x2 y2 f a 1 b f a 1 f b 具有性质p 对于 f2 m x2 y 设a 0 0 b 1 2 a 1 b 1 2 1 f a 1 b 1 2 2 1 2 4 3 而 f a 1 f b 02 0 1 12 2 3 1 又 是任意实数 f a 1 b f a 1 f b 故 不具有性质p 对于 f3 m x y 1 f a 1 b x1 1 x2 y1 1 y2 1 x1 y1 1 x2 y2 1 又 f a 1 f b x1 y1 1 1 x2 y2 1 x1 y1 1 x2 y2 1 x1 y1 1 x2 y2 1 f a 1 b f a 1 f b 具有性质p 综上 具有性质p的映射的序号为 答案 推理与证明是数学的基本思维过程 它有机地渗透到高中课程的各个章节 是高考考查的重点对象 特别是合情推理能力 高考对本部分的内容 主要考查归纳和类比推理以及综合法 分析法 反证法和数学归纳法等证明方法 考查考生的推理论证能力 所以在复习时要把合情推理作为复习的重点 并且要把各种证明方法的理论搞清楚 明白各种推理论证方法的基本原理和适用环境 在具体应用中把推理论证方法的理论和实践结合起来 随着科学技术的不断发展 人类通过计算机已找到了630万位的最大质数 某同学在学习中发现由41 43 47 53 61 71 83 97组成的数列中每一个数都是质数 他根据这列数的一个通项公式 得出了数列的后几项 发现它们也是质数 于是他断言 根据这个通项公式写出的数均为质数 则这个通项公式为 该同学断言是 的 填 正确 或者 错误 合情推理 解析 根据题意知 通项公式an 41 2 4 6 2 n 1 n n 1 41 取n 41 得an 41 41 1681 显然不是质数 从而该同学断言是错误的 故填an n n 1 41 n n 错误 答案 an n n 1 41 n n 错误 归纳推理与类比推理之区别1 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 在进行归纳时 要先根据已知的部分个体 把它们适当变形 找出它们之间的联系 从而归纳出一般结论 2 类比推理是由特殊到特殊的推理 是两类类似的对象之间的推理 其中一个对象具有某个性质 则另一个对象也具有类似的性质 在进行类比时 要充分考虑已知对象性质的推理过程 然后类比推导类比对象的性质 1 1 对大于或等于2的自然数m和n m的n次方幂有如下分解方式 22 1 332 1 3 542 1 3 5 723 3 533 7 9 1143 13 15 17 19根据上述分解规律 则52 1 3 5 7 9 若m3 m n 的分解中最小的数是73 则m的值为 解析m3的分解中 最小的数为m2 m 1 由m2 m 1 73 得m 9 答案9 2011 陕西 叙述并证明余弦定理 解析 余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍 或 在 abc中 a b c分别为 a b c的对边有a2 b2 c2 2bccosa b2 c2 a2 2cacosb c2 a2 b2 2abcosc 演绎推理 演绎推理是由一般到特殊的推理 数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的 只要采用的演绎推理的大前提 小前提和推理形式是正确的 其结论一定是正确的 但是 在解决类似的问题时 一定要注意推理过程的正确性与完备性 2 2011 福建 在整数集z中 被5除所得余数为k的所有整数组成一个 类 记为 k 即 k 5n k n z k 0 1 2 3 4 给出如下四个结论 2011 1 3 3 z 0 1 2 3 4 整数a b属于同一 类 的充要条件是 a b 0 其中 正确结论的个数是a 1b 2c 3d 4 解析由于 k 5n k n z 对于 2011 5等于402余1 2011 1 对于 3 5 2 被5除应余2 错 对于 任意一整数x 被5除余数为0 1 2 3 4 x 0 1 2 3 4 正确 对于 先证充分性 a b是同一类 可设a 5n1 k b 5n2 k 则a b 5 n1 n2 能被5整除余0 下面证明必要性 若a b 0 则可设a b 5n n z 即a 5n b n z 不妨令b 5m k m z 则a 5n 5m k 5 n m k n z m z a b属于同一类 故 正确 则正确的有 答案c 直接证明与间接证明 解题切点 1 构造新数列求an与bn 2 利用反证法证明 1 反证法是一种间接证明方法 如果正面证明有困难或者直接证明需要分多种情况而反面证明只有一种情况时 可以考虑用反证法证明 对于题目中出现 至多 至少 均是 不都是 等字眼时 从正面难以找到突破口 可转换视角 用反证法往往立竿见影 2 综合法与分析法是直接证明常用的两种方法 常用分析法寻求解决问题的突破口 然后用综合法写出证明过程 3 大小不等的三个圆两两外切 半径成等差数列 试证明以各圆圆心为顶点的三角形的三内角不可能成等差数列 2011 开封模拟 把所有正整数按上小下大 左小右大的原则排成如图所示的数表 其中第i行共有2i 1个正整数 设aij i j n 表示位于这个数表中从上往下数第i行 从左往右数第j个数 1 若aij 2010 求i和j的值 2 记an a11 a22 a33 ann n n 试比较an与n2 n的大小 并说明理由 123456789101112131415 数学归纳法 解题切点 1 首先根据各行数字的个数推断2010所在的行 然后推断2010是这行中的第几个数 2 ann 2n 1 n 1 求和后归纳an与n2 n的大小 解析 1 因为数表中前i 1行共有1 2 22 2i 2 2i 1 1个数 则第i行的第一个数是2i 1 所以aij 2i 1 j 1 因为210 2010 211 aij 2010 则i 1 10 即i 11 令210 j 1 2010 则j 2010 210 1 987 1 数学归纳法可证明一些与自然数n有关的命题 在证明时 要注意对命题的等价转化 一般是利用公式 把所要证明的问题转化到已知或归纳假设上来 必要时转化要证明的结论 2 在用数学归纳法证明的第2个步骤中 突出了两个凑字 一 凑 假设 二 凑 结论 关键是明确n k 1时证明的目标 充分考虑由n k到n k 1时 命题形式之间的区别和联系 4 试比较nn