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文档简介

第4章连通性 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质 包括连通性 局部连通性和弧连通性 并且涉及某些简单的应用 这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间 4 1连通空间 4 2连通性的某些简单应用 4 3连通分支 4 4局部连通空间 4 5道路连通空间 定义4 1 1设A和B是拓扑空间X中的两个子集 如果则称子集A和B是隔离的 定义4 1 2设X是一个拓扑空间 如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X A B 则称X是一个不连通空间 否则 则称X是一个连通空间 4 1连通空间 定理4 1 1设X是一个拓扑空间 则下列条件等价 l X是一个不连通空间 2 X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A B 和A B X成立 3 X中存在着两个非空的开子集A和B使得A B 和A B X成立 4 X中存在着一个既开又闭的非空真子集 定理4 1 2实数空间R是一个连通空间 定义4 1 3设Y是拓扑空间X的一个子集 如果Y作为X的子空间是一个连通空间 则称Y是X的一个连通子集 否则 称Y是X的一个不连通子集 定理4 1 3设Y是拓扑空间X的一个子集 A BY 因此 Y是X的一个不连通子集 当且仅当存在Y中的两个非空隔离子集A和B使得A B Y 定义 当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得A B Y 则A和B是子空间Y中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子集 定理4 1 4设Y是拓扑空间X中的一个连通子集 如果X中有隔离子集A和B使得YA B 则或者YA 或者YB 定理4 1 5设Y是拓扑空间X的一个连通子集 ZX满足条件 则Z也是X的一个连通子集 定理4 1 6设是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族 如果 则是X的一个连通子集 定理4 1 7设Y是拓扑空间X中的一个子集 如果对于任意x yY存在X中的一个连通子集使得x yY 则Y是X中的一个连通子集 定理4 1 8设f X Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映
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