高中数学 221 向量的分解与向量的坐标运算课件 新人教B版必修4.ppt

2 2向量的分解与向量的坐标运算 2 2 1平面向量基本定理 1 平面向量基本定理如果e1和e2是平面内的两个的向量 那么对该平面内的任一向量a 存在惟一的一对实数 使a a1e1 a2e2 我们把不共线向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 记为 e1 e2 a1e1 a2e2叫做向量a关于基底 e1 e2 的 平面向量基本定理是向量正交分解的依据 是向量坐标运算的基础 不共线 a1 a2 基底 分解式 2 直线的向量参数方程式已知a b是直线l上的任意两点 o是l外一点 如图所示 则对于直线l上任一点p 存在实数t 使 中点 重点 平面向量基本定理 难点 平面向量基本定理的应用 1 平面向量基本定理中 e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 该平面内的任意一个向量a都可用e1 e2线性表示 并且这种表示方式是惟一的 对基底的选取不惟一 只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底 定理的证明 课本中是用作图法证明了它的存在性 又用反证法证明了它的惟一性 平面向量基本定理为我们用坐标表示平面向量提供了理论依据 2 直线方程的向量参数式与p a b三点共线的条件是完全一致的 其中线段中点的向量表达式 在用向量解决平面几何总是时会经常用到 要熟练掌握 3 要正确理解基底的概念向量的基底是指平面内不共线的向量 事实上 若 e1 e2 是基底 则必有e1 0 e2 0 且e1与e2不共线 如 0 e2 e1 2e1 e1 e2 2e1 2e2 等均不能构成基底 例2 已知e1 e2是平面内两个不共线向量 a 3e1 2e2 b 2e1 e2 c 7e1 4e2 试用a和b表示c 分析 利用向量证明平面几何问题的关键是选好一组与所求证的结论密切相关的基底 如图 在 abc中 点m是bc的中点 点n在边ac上 且an 2nc am与bn相交于点p 求ap pm的值 分析 比较条件与结论的差异 通过向量减法法则消除差异 并利用向量共线定理证明 点评 本题证三点共线灵活地运用了向量共线的充要条件 即b与a a 0 共线 存在实数 使b a 然后转化为以o为始点的向量关系 化简好得所证结论 值得指出的是 1 的逆命题也成立 逆命题的结论在证明点共线时经常被使用 误解 正解 一 选择题1 设e1 e2是不共线向量 则下面四组向量中 能作为基底的组数是 e1和e1 e2 e1 2e2和e2 2e1 e1 2e2和4e2 2e1 e1 e2和e1 e2a 1b 2c 3d 4 答案 c 解析 中 4e2 2e1 2 e1 2e2 两向量共线 其它不共线 故选c 2 下面三种说法 一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 一个平面内有无数多对不共线向量可作该平面所有向量的基底 零向量不可作为基底中的向量 其中正确的说法是 a b c d 答案 b 3 如果e1 e2是平面 内所有向量的一组基底 那么 a 若实数 1 2 使 1e1 2e2 0 则 1 2 0b 空间任一向量a可以表示为a 1e1 2e2 这里 1 2是实数c 对实数 1 2 1e1 2e2不一定在平面 内d 对平面 中的任一向量a 使a 1e1 2e2的实数 1 2的实数 1 2有无数对 答案 a 解析 平面 内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式 而不是空间内任一向量 故b不正确 对任意实数 1 2 向量 1e1 2e2一定在平面 内 而对平面 中的任一向量a 实数 1 2是惟一的 4 若a b不