高中数学 312导数的几何意义课件 新人教B版选修1.ppt

1 知识与技能理解导数的几何意义 并会用导数的定义求曲线的切线方程 2 过程与方法能用导数的方法解决有关函数的一些问题 3 情感态度与价值观理解导数的几何意义 体会导数的思想及丰富内涵 感受导数在解决实际问题中的应用 本节重点 导数的几何意义 本节难点 利用导数解决实际问题 导数的几何意义主要应用在研究曲线的切线问题上 1 已知函数图象上某一点的坐标 可以利用导数求该点的切线方程或其倾斜角的大小 2 已知函数图象上某一点的切线方程可以求出切点坐标等 例1 求曲线y x2 3x 1在点 1 5 处的切线的方程 即切线的斜率k 5 曲线在点 1 5 处的切线方程为y 5 5 x 1 即5x y 0 说明 解答本题的过程中 易出现把 过点p的切线 与 曲线在点p处的切线 混淆的错误 导致该种错误的原因是没有分清已知点是否为切点 求曲线在点p x0 y0 处的切线的方程 即给出了切点p x0 y0 的坐标 求切线方程的步骤 求出函数y f x 在点x0处的导数f x0 根据直线的点斜式方程 得切线方程为y y0 f x0 x x0 若曲线y f x 在点p x0 y0 处的导数存在且f x0 0 切线与x轴正向夹角为锐角 f x0 0 切线与x轴正向夹角为钝角 f x0 0 切线与x轴平行 例2 若上例中曲线方程不变 求过点 2 5 的切线的方程 解析 设曲线过点 2 5 的切线的切点坐标为 x0 y0 y x x0 说明 若点q x1 y1 在曲线外 求过点q曲线的切线方程的步骤为 设切点为 x0 y0 求出函数y f x 在点x0处的导数f x0 根据直线的点斜式方程 得切线方程为y y0 f x0 x x0 该切线过点q x1 y1 代入求出x0 y0的值 代入 得到所要求的切线方程 1 点p处的切线的斜率 2 点p处的切线方程 求曲线c y x2 x过点p 1 1 的切线方程 则切线方程为y y0 2x0 1 x x0 因为切线方程过点p 1 1 解得x0 0或x0 2 所以切线方程的斜率为1或5 所以所求切线方程为y x或y 5x 4 例3 已知抛物线y x2在点p处的切线与直线y 2x 4平行 求点p的坐标和切线方程 已知直线y 2x m与曲线y x2相切 求实数m的值及切点坐标 由曲线在点p x0 y0 处的切线方程为y 2x m知2x0 2 x0 1 p 1 1 又点p在切线y 2x m上 m 1 m的值为 1 切点坐标为 1 1 例4 曲线y x3在x0 0处的切线是否存在 若存在 求出切线的斜率和切线方程 若不存在 请说明理由 解析 令y f x x3 y f 0 x f 0 x3 说明 1 y x3在点 0 0 处的切线是x轴 符合切线定义 这似乎与学过的切线知识有所不同 其实不然 直线与曲线有两个公共点时 在其中一点也可能相切 如图所示 已知曲线y 2x3上一点a 1 2 则点a处的切线斜率等于 a 2b 4c 6 6 x2d 6 答案 d 说明 深刻理解导数的几何意义 掌握求曲线的切线方法 辨析 应先判断点是否在曲线上 点不在曲线上误认为在曲线上而产生误解 正解 设切线过抛物线上的点 x0 x 由导数的意义知此切线的斜率为2x0 一 选择题1 设f x0 0 则曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线 a 不存在b 与x轴平行或重合c 与x轴垂直d 与x轴斜交 答案 b 解析 由导数的几何意义知 f x 在 x0 f x0 处切线的斜率k f x0 0 切线与x轴平行或重合 2 如果曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程为x 2y 3 0 那么 a f x0 0b f x