高中数学 2.3.4 平面与平面垂直的性质 课件 新人教A版必修2.ppt

2 3 4平面与平面垂直的性质 自学导引 学生用书p55 1 掌握两个平面垂直的性质定理 并会将面面垂直转化为线面垂直来处理 2 掌握二面角的平面角的作法 会进行简单二面角的计算 3 结合水坝 人造地球卫星运行轨道等具体实例再一次体会数学在日常生活中的广泛应用 课前热身 学生用书p55 1 两个平面垂直 则一个平面内 的直线与另一个平面垂直 2 三个两两垂直的平面的交线 垂直于交线 两两垂直 名师讲解 学生用书p55 1 两个平面垂直的性质定理性质定理 若两个平面垂直 在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面 符号表示 图形表示 应用两个平面垂直的性质定理时 要注意以下三点 1 两个平面垂直 2 直线必须在一个平面内 3 直线必须垂直它们的交线 2 垂直问题相互转化示意图 典例剖析 学生用书p55 题型一面面垂直性质的应用例1 如图所示 p是四边形abcd所在平面外的一点 abcd是 dab 60 且边长为a的菱形 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd 1 若g为ad边的中点 求证 bg 平面pad 2 求证 ad pb 分析 解答本题可先由面面垂直得线面垂直 再进一步得出线线垂直 证明 1 连接pg 由题知 pad为正三角形 g是ad的中点 pg ad 又平面pad 平面abcd pg 平面abcd pg bg 又 四边形abcd是菱形且 dab 60 abd是正三角形 bg ad 又ad pg g bg 平面pad 2 由 1 可知bg ad pg ad 所以ad 平面pbg 所以ad pb 规律技巧 应用线面关系的性质定理或判定定理时 都要把条件写清楚 凑齐 才能确保证明准确无误 变式训练1 如右图 在 abc中 abc 90 pa 平面abc af pc于f ae pb于e 求证 ef pc 证明 pa 平面abc pa bc 又ab bc bc 平面pab ae平面pab ae bc 又ae pb 且pb bc b ae 平面pbc pc面pbc ae pc 又pc af ae af a pc 平面aef pc ef 题型二线面关系定理的综合应用例2 已知 如下图 平面pab 平面abc 平面pac 平面abc ae 平面pbc e为垂足 1 求证 pa 平面abc 2 当e为 pbc的垂心时 求证 abc是直角三角形 分析 已知条件 平面pab 平面abc 使我们想到面面垂直的性质定理 便有如下证法 证明 1 在平面abc内取一点d 作df ac于f 平面pac 平面abc 且交线为ac df 平面pac pa平面pac df ap 作dg ab于g 同理可证dg ap dg df都在平面abc内 pa 平面abc 2 连结be并延长交pc于h e是 pbc的垂心 pc bh 又已知ae是平面pbc的垂线 pc ae pc 平面abe pc ab 又 pa 平面abc pa ab ab 平面pac ab ac 即 abc是直角三角形 规律技巧 1 已知两个平面垂直时 过其中一个平面内的一点作交线的垂线 则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面 于是面面垂直转化为线面垂直 由此得到结论 两个相交平面同时垂直于第三个平面 则它们的交线也垂直于第三个平面 2 的关键是要灵活利用 1 题的结论 变式训练2 如图 ab cd cd ab ce ef fec 90 求证 平面efd 平面dce 证明 ab cd cd ab cd ef cd ef 又 fec 90 ce ef 又cd ce c ef 平面dce 又ef平面efd 平面efd 平面dce 题型三折叠问题例3 如下图 在矩形abcd中 ab 2ad e是ab的中点 沿de将 ade折起 1 如果二面角a de c是直二面角 求证 ab ac 2 如果ab ac 求证 平面ade 平面bcde 分析 1 已知平面ade 平面bcde 过a作am de于m 则am 平面bcde 2 已知ab ac 取bc中点n 连结an 则an bc 证明 1 过a作am de于m 则am 平面bcde 又ad ae m是de中点 取bc中点n 连结mn 则mn bc bc 平面amn an bc 又n是bc中点 abc为等腰三角形 ab ac 2 取bc中点n 连结an ab ac an bc 取de中点m 连结mn am mn bc bc 平面amn am bc 又m是de中点 ad ae am de 又 de与bc是相交直线 am 平面bcde 又am平面ade 平面ade 平面bcde 变式训练3 把正方形abcd沿对角线ac折起 当以a b c d四点为顶点的三棱锥体积最大时 直线bd和平面abc所成角的大小为 a 90 b 60 c 45 d 30 解析 当三棱锥d abc体积最大时 平面abc 平面adc 取ac的中点e 连结be de adc为等腰直角三角形 de ac de 面abc 即 dbe为直线bd与平面abc所成的角 而 dbe为等腰直角三角形 dbe 45 故选c 答案 c 易错探究 例4 已知直线a平面 a b b 求证 a 错解 由题设b 知直线b与平面 有交点 设交点为q 过直线a和点q作平面 交平面 于过点q的一条直线a 则a 如图所示 b b a 又 a b a a a a a 错因分析 在错解中 应用平面几何中的定理 同垂直于一条直线的两条直线平行 得a a 导致错误 该定理要求涉及的三条直线都在同一平面内 而现在仅有a和a 在平面 内 直线b不能保证也在平面 内 因而不能满足使用定理的条件 从而给出了错误的证明 正解 1 若直线a与b相交 如图 1 所示 设a b p 则由a b可确定平面 设 a 则由b 知b a 在平面 内 由b a b a 知a a a a a 2 若a与b不相交 如图 2 所示 在直线b上任取一点p 过p作直线a a 在点p和直线a确定的平面内 过点p作a a a b a b 同理 设过a 和b的平面 l 则a l a l 又a l a 技能演练 学生用书p56 基础强化1 2006 广东 给出下列四个命题 其中真命题的个数是 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线和交线平行 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 如果两条直线都平行于一个平面 那么这两条直线相互平行 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面相互垂直 a 4b 3c 2d 1 解析 为直线和平面平行的性质定理 所以正确 为直线与平面垂直的判定定理 所以正确 不正确 平行于同一平面的两条直线相交 平行 异面都有可能 为两个平面垂直的判定定理 所以正确 答案 b 2 用 表示一个平面 l表示一条直线 则平面 内至少有一条直线与l a 平行b 相交c 异面d 垂直 解析 排除法 当l与 相交时 a不成立 当l 时 b不成立 当l 时 c不成立 因此排除a b c 故d正确 答案 d 4 设平面 平面 在平面 内的一条直线a垂直于平面 内的一条直线b 则 a 直线a必垂直于平面 b 直线b必垂直于平面 c 直线a不一定垂直于平面 d 过a的平面与过b的平面垂直答案 c 5 在正四面体p abc中 d e f分别是ab bc ca的中点 下面四个结论中不成立的是 a bc 平面pdfb df 平面paec 平面pdf 平面abcd 平面pae 平面abc 解析 如图所示 1 df bc df平面pdf bc平面pdf bc 平面pdf 故a成立 2 bc pe bc ae bc 平面pae 又df bc df 平面pae 故b成立 3 由 2 知 平面pae 平面abc 故d成立 综上知 不成立的应是c 答案 c 6 2008 四川 已知平面 平面 l 点a al 直线ab l 直线ac l 直线m m 则下列四种位置关系中 不一定成立的是 a ab mb ac mc ab d ac 解析 m m m l ab l ab m ac l ac m ab l l ab ab 综上知 a b c成立 故选d 答案 d 7 在正方体abcd a1b1c1d1中 平面acd1与平面bb1d1d的位置关系是 解析 由底面abcd是正方形知 ac bd 又ac bb1 ac 平面bb1d1d 又ac在平面acd1内 平面acd1 平面bb1d1d 垂直 8 如图 已知点m是菱形abcd所在平面外的一点 且ma mc 求证 ac 平面bdm 分析 要证ac 平面bdm 只要证明ac垂直于平面bdm内的两条相交直线 证明 连结bd ac 设bd ac o 连结mo 能力提升 9 已知 如右图 平面 平面 l 在l上取线段ab 4 ac bd分别在平面 和平面 内 且ac ab db ab ac 3 bd 12 求cd长 解 连结bc ac ab ac ac bd bd ab bd bd bc cbd是直角三角形 在rt bac中 在rt cbd中 cd长为13 10 如图 s是 abc所在平面外一点 sa 平面abc 平面sab 平面sbc 求证 ab bc 证明 如右图 作ae sb于e 平面sab 平面sbc ae 平面sbc ae bc sa 平面abc sa bc又sa ae a bc 平面sab ab bc 品味高考 学生用书p57 11 2009 山东 如图 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面abcd为等腰梯形 ab cd ab 4 bc cd 2 aa1 2 e e1分别是棱ad aa1的中点 1 设f是棱ab的中点 证明 ee1 平面fcc1 2 证明 平面d1ac 平面bb1c1c 证明 1 证法1 取a1b1的中点为f1 连结ff1 c1f1 由于ff1 bb1 cc1 所以f1 平面fcc1 因此平面fcc1即为平面c1cff1 连结a1d f1c 由于a1f1 d1c1 cd 所以四边形a1dcf1为平行四边形 因此a1d f1c 又ee1 a1d 得ee1 f1c 而ee1平面fcc1 f1c平面fcc1 故ee1 平面fcc1 证法2 因为f为ab的中点 cd 2 ab 4 ab cd 所以cd af 因