高中数学 2.3.3 直线与平面垂直的性质 课件 新人教A版必修2.ppt

2 3 3直线与平面垂直的性质 自学导引 学生用书p52 1 了解垂线段 斜线段及直线和平面所成的角的概念 会进行直线和平面所成的角的计算 2 经过观察探索和转化的办法理解直线与平面的性质定理 3 会运用判定定理和性质定理解题 课前热身 学生用书p52 1 过一点和已知平面垂直的直线 2 过一点和一条直线垂直的平面 3 垂直于同一平面的两条直线 4 垂直于同一直线的两个平面相互平行 有且只有一条 有且只有一个 相互平行 名师讲解 学生用书p52 1 直线垂直平面的性质 数学符号表示 2 证明两条直线平行的方法 数学符号表示 3 典例剖析 学生用书p52 题型一线线平行问题例1 已知 a b 求证 a b 分析 已知条件涉及利用垂直证明两线平行问题 需将两条直线转化到同一平面上 直接证明比较困难 可考虑先作出符合要求的图形 证明 如右图 设b o 过o作b a a b a b 又b 这样过点o有两条直线b b 与 垂直 则必有b b 重合 因此b a 规律技巧 本例若采用直接法证明两直线平行较为困难 故先作出符合要求的图形 然后证明所作图形与已知图形重合 这种证明方法称为同一法 这是直线与平面垂直的性质定理 变式训练1 已知直线l m 平面 l m 则直线l与m的位置关系式是 a 相交b 异面c 平行d 不确定解析 l l 又m l m 答案 c 题型二线线垂直问题例2 如下图 在四面体abcd中 若ab cd ad bc 求证 ac bd 分析 要证线线垂直 可先证线面垂直 进而由线面垂直的定义 或性质 得出线线垂直 证明 过a作ao 平面bcd 垂足为o 则ao cd ab cd ao ab a cd 平面abo bo平面abo cd bo 同理bc do 则o为 bcd的垂心 co bd ao bd co ao o bd 平面aco 又 ac平面aco ac bd 规律技巧 从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在解 证 题中的作用 变式训练2 如右图 p为 abc所在平面外的一点 且pa pb pc两两垂直 求证 pa bc 证明 pa pb pa pc pb pc p pa 平面pbc bc平面pbc pa bc 题型三线面垂直的综合应用例3 如下图 boc在平面 内 oa是 的斜线 若 aob aoc 60 求oa和平面 所成的角 abc为直角三角形 同理 boc也为直角三角形 过点a作ah垂直平面 于h 连结oh ao ab acoh bh ch 规律技巧 在立体几何中存在许多平面图形 在证题时充分运用平面几何知识是解决立体几何问题的重要途径 变式训练3 ab和平面m所成的角是 ac在平面m内 ac与ab在平面m内的射影ab1所成的角是 设 bac 求证 满足关系式cos cos cos 证明 如右图 在ab和ac确定的平面内作bd ac d为垂足 连结b1d bb1 平面m ac平面m bb1 ac bb1 bd b ac 平面bb1d ac b1d 在rt adb中 cos ad ab 在rt abb1中 cos ab1 ab 在rt adb1中 cos ad ab1 cos cos 即cos cos cos 易错探究 例4 2009 四川高考题 如图 已知六棱锥p abcdef的底是正六边形 pa 平面abc pa 2ab 则下列结论正确的是 a pb adb 平面pab 平面pbcc 直线bc 平面paed 直线pd与平面abc所成的角为45 错解 pa 平面abc bc pa 又bc ab 且pa ab a bc 平面pab 又bc在平面pbc内 平面pab 平面pbc 故选b 错因分析 正六边形的性质应用失误 导致空间线面位置关系判断错误 正解 pa 底面abc pb在底面上的射影为ab ab与ad不垂直 排除选项a 由正六边形的性质知bc不垂直ab bc不垂直平面pab 而bd 平面pab 但bd不在平面pbc内 故排除选项b 对于选项c bd ae bd 平面pae bc与平面pac不平行 排除c 对于d选项 pda为直线pd与平面abc所成的角 计算知pa ad 2ab pda 45 答案 d 技能演练 学生用书p53 基础强化1 如果直线l与平面 不垂直 那么在平面 内 a 不存在与l垂直的直线b 存在一条与l垂直的直线c 存在无数条与l垂直的直线d 任意一条都与l垂直答案 c 2 对于直线m n和平面 能得出 的一个条件是 a m n m n b m n m n c m n n m d m n m n 答案 c 3 已知平面 平面 ab 直线a b是异面直线 且a b mn为a b的公垂线 则mn与ab的位置关系是 a 异面b 平行c 平行 重合均可能d 平行 相交均可能 解析 借助正方体来判定 如图所示 在图 1 中 mn ab 在图 2 中 mn与ab重合 故选c 答案 c 4 设l m n为三条不同的直线 为一个平面 下列命题中正确的个数是 若l 则l与 相交 若m n l m l n 则l 若l m m n l 则n 若l m m n 则l n a 1b 2c 3d 423 解析 正确 不正确 因此选c 答案 c 5 圆o的半径为4 po垂直圆o所在的平面 且po 3 那么点p到圆上各点的距离是 解析 依题意知 p到圆o上各点的距离都相等 由勾股定理算得其值为5 5 6 已知直线a b c和平面 给出下列命题 a b与 成等角 则a b 若 c 则c 若a b a 则b 若 a 则a 其中错误命题的序号是 7 二面角 l 的大小为120 直线ab 直线cd 且ab l cd l 则ab与cd所成角的大小为 解析 由两条直线所成角通常是指两直线的夹角 因此应答60 当ab cd为异面直线时 而不是120 60 8 如图 adef的边af 平面abcd 且af 2 cd 3 则ce 解析 由af 平面abcd知 de 面abcd de cd 在rt cde中 答案 能力提升 9 如下图 在空间四边形abcd中 ab bc cd da e f g分别为cd da和ac的中点 求证 平面bef 平面bgd 证明 如右图 ab bc g为ac的中点 bg ac 同理 dg ac 又dg bg g ac 平面bgd 又e f分别为cd da的中点 ef ac ef 平面bgd又ef平面bef 平面bef 平面bgd 10 pa 矩形abcd所在平面 m n分别是ab pc的中点 1 求证 mn 平面pad 2 求证 mn cd 3 若 pda 45 求证 mn 平面pdc 解 如右图 1 取pd中点q 连结nq aq n q分别为pc pd的中点 nq am amnq为平行四边形 aq mn 又aq平面pad mn平面pad mn 平面pad 2 pa 平面abcd pa ab 又ad ab ab 平面pad ab aq 即ab mn 又cd ab mn cd 3 pa 平面abcd pa ad 又 pda 45 q为pd的中点 aq pd mn pd 又mn cd 且pd cd d mn 平面pcd 品味高考 学生用书p54 1