高中数学 331《函数的单调性与导数》同步课件 新人教A版选修11.ppt

3 3导数在研究函数中的应用 1 知识与技能结合实例 借助几何直观发现函数的单调性与导数的关系 2 过程与方法能利用导数研究函数的单调性 会求不超过三次的多项式函数的单调区间 本节重点 利用求导的方法判断函数的单调性 本节难点 函数的导数与单调性的关系 1 用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便 是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用 它充分体现了数形结合的基本思想 因此 必须重视对数学思想 方法进行归纳总结 提高应用数学思想 方法解决问题的熟练程度 达到优化解题思路 简化解题过程的目的 2 利用导数的符号判断函数单调性的解题过程中 只能在函数的定义域内 通过讨论导数的符号 判断函数的单调区间 1 利用导数判断单调性 是比较好的解题思路其一般步骤 1 求导数f x 2 在函数f x 的定义域内解不等式f x 0或f x 0 3 据 2 的结果确定函数f x 的单调区间 2 单调区间为函数定义域的子集 求解时首先考虑定义域 3 要注意单调区间的写法 特别是不连续点或不可导点 4 y f x 在 a b 内可导 f x 0或f x 0且y f x 在 a b 内导数为0的点仅有有限个 则y f x 在 a b 内仍是单调函数 例如 y x3在r上f x 0 所以y x3在r上单调递增 5 利用导数判断单调性常与一些参数有关 此时要注意对参数的分类讨论 1 设函数y f x 在区间 a b 内可导 1 如果在区间 a b 内 f x 0 则f x 在此区间是的 2 如果在区间 a b 内 f x 0 则f x 在此区间内是的 2 如果函数y f x 在x的某个开区间内 总有f x 0 则f x 在这个区间上严格增加 这时该函数在这个区间为 如果函数当自变量x在某区间上 总有f x 0 则f x 在这个区间为 单调递增 单调递减 严格增函数 严格减函数 例1 求下列函数的单调区间 1 f x x3 3x 1 解析 1 函数f x 的定义域为rf x 3x2 3 令f x 0 则3x2 3 0 即3 x 1 x 1 0 解得x 1或x 1 函数f x 的单调递增区间为 1 和 1 令f x 0 则3 x 1 x 1 0 解得 1 x 1 函数f x 的单调递减区间为 1 1 2 函数f x 的定义域为 0 0 点评 求函数的单调区间必须在函数的定义域内 依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间 体现了形象思维的直观性 另外 单调区间不可写成并集的形式 求下列函数的单调区间 1 f x x3 3x2 9x 2 f x sinx x x 0 解析 1 f x 3x2 6x 9 3 x2 2x 3 由f x 0得 x 1或x 3 函数f x 的单调递增区间为 3 1 由f x 0得 3 x 1 函数f x 的单调递减区间为 3 1 2 f x cosx 1 x 0 时 cosx 1 1 cosx 1 0 函数f x 在 0 上是单调递减函数 例2 已知x 1 求证x lnx 解析 设f x x lnx x 1 函数f x 在 1 上是增函数 又f 1 1 ln1 1 0即f x 0对x 1 恒成立 x lnx 0 即x lnx x 1 点评 构造函数是解本题的突破口 构造函数 利用导数确定函数单调性 这种不等式证明方法经常使用 它是作差法的一个延伸 已知 x 0 求证 x sinx 解析 设f x x sinx x 0 f x 1 cosx 0对x 0 恒成立 函数f x x sinx在 0 上是单调增函数又f 0 0 f x 0对x 0 恒成立即 x sinx x 0 解析 解法一 区间法 f x x2 ax a 1 令f x 0 所以x 1或x a 1 当a 1 1 即a 2时 函数f x 在 1 内单调递增 不合题意 当a 1 1 即a 2时 f x 在 1 和 a 1 上单调递增 在 1 a 1 上单调递减 由题意知 1 4 1 a 1 且 6 a 1 所以4 a 1 6 即5 a 7 解法二 数形结合 如图所示 f x x 1 x a 1 若在 1 4 内f x 0 6 内f x 0 且f x 0有一根为1 则另一根在 4 6 上 解法三 转化为不等式的恒成立问题 f x x2 ax a 1 因为f x 在 1 4 内单调递减 所以f x 0在 1 4 上恒成立 即a x 1 x2 1在 1 4 上恒成立 所以a x 1 因为2 x 1 5 所以当a 5时 f x 0在 1 4 上恒成立 又因为f x 在 6 上单调递增 所以f x 0在 6 上恒成立 所以a x 1 因为x 1 7 所以a 7时 f x 0在 6 上恒成立 由题意知5 a 7 点评 本题是含参数单调性问题 是高考的重点和热点 体现了数学上的数形结合与转化思想 解析 因为f x x2 ax a a r 由题意知 f x 0在 上恒成立 所以 a2 4a 0 所以0 a 4 故当0 a 4时 f x 在r上单调递增 例4 已知函数f x 2ax x3 x 0 1 a 0 若f x 在 0 1 上单调递增 求a的取值范围 点评 在某区间内若f x 0 则函数在该区间内单调递增 反之 若f x 在区间d上为增函数 则f x 0在d上恒成立 一 选择题1 函数f x 2x sinx在 上 a 是增函数b 是减函数c 在 0 上增 在 0 上增d 在 0 上减 在 0 上增 答案 a 解析 f x 2 cosx 0在 上恒成立 2 函数y xlnx在区间 0 1 上是 a 单调增函数b 单调减函数 答案 c 3 若在区间 a b 内有f x 0 且f a 0 则在 a b 内有 a f x 0b f x 0c f x 0d 不能确定 答案 a 解析 在区间 a b 内有f x 0 且f a 0 函数f x 在区间 a b 内是递增的 且f x f a 0 4 在下列函数中 在 0 内为增函数的是 a sin2xb xexc x3 xd x ln 1 x 答案 b 解析 y xex 则y ex x ex ex 1 x 又 x 0 y 0 故选b 二 填空题5 函数f x x3 x的增区间是 和 减区间是 6 已知函数y ax2 2x 3在 1 上是减函数 则a的取值范围是 答案 0 a 1 解析 令f x x2 2x 3 x 1 2 2 函数f x 在 1 上是增函数 要使y af x 在 1 上是减函数 应有0 a 1 三 解答题7 已知函数f x x3 ax 8的单