高中数学 231 向量数量积的物理背景与定义课件 新人教B版必修4.ppt

2 3平面向量的数量积 2 3 1向量数量积的物理背景与定义 向量a与b的夹角 同向 反向 垂直 正射影 a cos a a 3 向量的数量积 内积 1 叫做向量a与b的数量积 或内积 记作a b 即a b 2 两向量的数量积不是向量而是 它可以为正数 零 负数 要注意区分两向量数量积的运算性质与数乘向量 实数乘实数之间的差异 3 向量数量积的几何意义 向量a与向量b的数量积等于a的长度 a 与b在a方向上的正射影的数量 b cos的乘积 或看作是与的乘积 a b cos a b a b cos a b 数量 b的长度 b a在b方向上 的正射影的数量 a cos a b 4 向量数量积的性质 1 如果e是单位向量 则a e e a 2 a b 3 a a a 2或 a 4 cos a 0 b 0 5 a b a cos a e a b 0 a b 重点 平面向量数量积的概念 用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角 难点 平面向量数量积的定义及性质的理解 平面向量数量积的应用 1 两向量的数量积是一个实数 而不是向量 要注意两向量数量积的书写为a b 要与代数中的a b的乘积ab区分开来 当a 0时 a b 0不能推出b一定为零向量 这是因为对任一与a垂直的非零向量b 都有a b 0 2 若a b c为实数 当b 0时 ab bc a c 但对于向量的数量积 该推理不正确 即a b b c a c 由图很容易看出 虽然a b b c 但a c 3 向量数量积的性质的应用及证明 1 如果e是单位向量 则a e e a a cos 证明 a e a e cos a cos e a e a cos a cos a e e a a cos a b a b 0 证明 已知a b 若a b中至少有一个为零向量 则符合条件a b a b 0 若a 0 b 0 由已知 90 a b a b cos 0 因此 a b a b 0 已知a b 0 若a b中至少有一个为零向量 满足a b 0 根据定义知a b 若a 0 b 0 则a b a b cos 0 即cos 0 又因为0 180 90 a b 因此 a b 0 a b 综上所述 a b a b 0 2 性质 1 可以帮助理解数量积的几何意义 性质 2 可以解决有关垂直的问题 性质 3 可以求向量的长度 性质 4 可以求两向量的夹角 性质 5 可以解决有关不等式的问题 当且仅当a b时 等号成立 五条性质 均可由向量数量积的定义推出 例1 已知向量a与轴l 则下列命题 a在l上的射影为正数 a在l上的射影为非负数 a在l上的射影为向量 a在l上的数量为非负数 a在l上的数量为实数 a在l上的数量为向量 分析 利用射影 射影的数量以及向量夹角的定义解题 解析 a在l上的射影为向量 这个向量的坐标叫做数量 故 不正确 正确 不正确 正确 由向量夹角的范围可知 不正确 故选 答案 2010 江西 已知向量a b满足 b 2 a与b的夹角为60 则b与a上的投影是 答案 1 例2 已知 a 2 b 5 1 若a b 求a b 2 若a b 求a b 3 若a b夹角为60 求a b 分析 已知 a 与 b 只需确定其夹角 特别需注意a b时有 0 和 180 两种可能 解析 1 当a b时 若a b同向 则它们的夹角为0 所以a b a b cos0 10 若a b反向 则它们的夹角为180 所以a b a b cos180 10 2 当a b时 夹角为90 所以a b a b cos90 0 3 当a b夹角为60 时 a b a b cos60 5 点评 1 用定义求数量积一定要注意两个向量的夹角 2 当a b时 要注意夹角为0 和180 两种情况 若向量a b满足 a b 1 a与b的夹角为120 则a a a b 例3 已知 abc中 a b b是 abc中的最大角 若a b 0 试判断 abc的形状 答案 正三角形 误解 中式子全部正确 故选d 正解 0 a 0 0 a 0 a b a b cos 都不正确 故应选b 答案 c 解析 a b a b cos 2 1 cos60 1 2 下列四个命题 若a b a c 则b c 若a b 0 则 a b 0 若a b 则a b 0 若a b 则 a b a b 其中正确命题的个数是 a 4个b 3个c 2个d 1个 答案 c 解析 命题 中 若a 0 b c 也有a b