云南中考数学《专项三：压轴题》精教学案类型②　图形面积存在问题探究.doc

类型图形面积存在性问题探究,备考攻略)1三角形面积的最大值(1)“抛物线上的顶点，使之和一条定线段构成的三角形面积”的问题(2)“抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题(3)“三边均动的动三角形面积最大”的问题2四边形面积的最大值(1)“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大”的问题(2)“定四边形面积的求解”问题3图形运动过程中出现重叠部分的图形面积1动点坐标与动线段，长度的转化不能较好理解2列出面积的表达式后，化简能力缺乏3对图形运动过程缺乏分析，遗漏答案1过动点向y轴作平行线，找到与定线段(或所在直线)的交点，从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形，动点坐标设好，转化为长度代入，利用二次函数最值进一步可得到题目要求出的最大值2先把动三角形分割成两个基本模型的三角形(有一边在x轴或y轴上的三角形，或者有一边平行于x轴或y轴的三角形，称为基本模型的三角形)面积之差，设出动点在x轴或y轴上的点的坐标，而此类题型，题中一定含有一组平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似(常为图中最大的那一个三角形)利用相似三角形的性质(对应边的比等于对应高的比)可表示出分割后的一个三角形的高从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式，相应问题也就轻松解决了3经过三角形的3个顶点构造矩形，利用矩形面积减去3个三角形面积4一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题，由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形(连接两个定点，即可得到一个定三角形)的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大5“定四边形面积的求解”问题：有两种常见解决的方案：方案(一)：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和；方案(二)：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向x轴(或y轴)作垂线，或者把该点与原点连接起来，分割成一个梯形(常为直角梯形)和一些三角形的面积之和(或差)，或几个基本模型的三角形面积的和(差)，转化为一个开口向下的二次函数问题1三角形面积(1)已知抛物线三定点形成的三角形面积：抛物线与一条直线相交得出两个交点，联立方程组即可求出这两个点的坐标，再与抛物线上的顶点形成三角形，并求出这个三角形面积(2)已知抛物线上一动点与两定点形成的三角形面积：抛物线与一条直线相交得出两个交点，联立方程组即可求出这两个点的坐标，再在抛物线上求一动点与它们形成三角形，并求出这个三角形面积的最大值(3)三边都在变化的三角形的面积：两个动点沿两条直线运动与一个定点形成的三角形的面积最大值2四边形面积的最大值(1)抛物线上的顶点，使之和另外三个定点构成的四边形面积：抛物线与两坐标轴的三个交点与顶点形成的四边形的面积(2)一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积：抛物线与两坐标轴的三个交点与另一动点形成的四边形的最大值3重叠部分的面积几何图形由于折叠、平移与一基本图形出现重叠部分，求重叠部分的图形面积,典题精讲)三角形面积【例1】如图，一小球从斜坡O点抛出，球的抛出路线可以用二次函数yx24x刻画，斜坡可以用一次函数yx刻画(1)请用配方法求二次函数图象最高点P的坐标；(2)小球的落点是A，求点A的坐标；(3)连接抛物线的最高点P与点O，A得POA，求POA的面积；(4)在OA上方的抛物线上存在一点M(点M与点P不重合)，MOA的面积等于POA的面积，请写出点M的坐标【解析】(1)配方法即可求得P点坐标；(2)联立方程组可求点A的坐标；(3) 过点P作PBx轴交OA于点B，可得点B的坐标，表示出PB的长，以PB为公共边求出两个三角形的面积之和即可；(4)利用三角形同底等高的知识，过点P作PMOA交抛物线于点M，保证两个三角形的高相等，从而面积相等【答案】解：(1)yx24x(x24x)(x24x4)4(x2)24，最高点P的坐标为(2，4)；(2)点A的坐标满足方程组解得或点A的坐标为；(3)如图，过点P作PBx轴交OA于点B，则点B的坐标为(2，1)，PB3.SPOASOPBSAPB323；(4)过点P作PMOA交抛物线于点M，连接OM，AM，则MOA的面积等于POA的面积，设直线PM的解析式为yxb，代入P(2，4)，得2b4，解得b3，直线PM的解析式为yx3，根据题意可列方程组解得或点M的坐标为.【例2】(2014昆明中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx3(a0)与x轴交于点A(2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个也停止运动，当PBQ存在时，求运动多少秒使PBQ的面积最大，最大面积是多少？(3)当PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点M，使SCBMSPBQ52，求M点坐标【解析】(1)待定系数法求出二次函数解析式；(2)设经过t s时，可知PB63t，BQt，B(4，0)，C(0，3)，则BC5，过Q点作 QKx轴于K点，利用三角形相似表示KQ的长度，从而表示出PBQ的面积为二次函数，利用二次函数的最值即可求出面积最大值；(3)根据(2)的结果求出CBM的面积，依据函数解析式表示出动点M的坐标，过M点作y轴的平行线交BC于N点，交x轴于R点，表示N的坐标，分割CBM为两个三角形，列出方程即可求出答案【答案】解：(1)yax2bx3经过A(2，0)，B(4，0)，解得：yx2x3；(2)设经过t s时，PBQ面积最大PB63t，BQt，B(4，0)，C(0，3)，BC5.过Q点作QKx轴于K点OCx轴，QKx轴，OCQK，即，KQt，SBPQBPKQt(63t)(t1)2，当t1时，SBPQ取最大值为；(3)当SBPQ取最大值时，SCBMSPBQ52，即SCBM，M在抛物线上，且在BC下方，设M，过M点作y轴的平行线交BC于N点，交x轴于R点，设直线BC的解析式为ykxb，代入B(4，0)，C(0，3)，得解得直线BC解析式为yx3，N点坐标为，SCMBSCMNSNMBMNORMNBRMN(ORBR)MNOB，4，解得t11，t23，M1，M2.四边形面积【例3】如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积【解析】(1)由B，C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；(2)连接BC，则ABC的面积是不变的，过P作PMy轴，交BC于点M，设出P点坐标，可表示出PM的长，可知当PM取最大值时PBC的面积最大，利用二次函数的性质可求得P点的坐标及四边形ABPC的最大面积【答案】解：(1)把B，C两点坐标代入抛物线解析式，得解得抛物线解析式为yx22x3；(2)连接BC，过P作y轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H.在yx22x3中，令y0，得0x22x3，解得x1或x3，A点坐标为(1，0)，AB3(1)4，且OC3，SABCABOC436，B(3，0)，C(0，3)，直线BC解析式为yx3，设P点坐标为(x，x22x3)，则M点坐标为(x，x3)，P点在第四限，PMx3(x22x3)x23x，SPBCPMOHPMHBPM(OHHB)PMOBPM，当PM有最大值时，PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，PMx23x，当x时，PMmax，则SPBC，此时P点坐标为，S四边形ABPCSABCSPBC6，即当P点坐标为时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为.【例4】如图所示，已知抛物线yx2bxc过点C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为M，求四边形ABMD的面积；(3)在y轴上找一点E，使SABES四边形ABMD，求出点E的坐标【解析】(1)由C，D两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；(2)求出顶点M的坐标，过点M作MNx轴于点N，得出点N的坐标，把四边形ABMD分割成两个直角三角形，一个梯形，求出面积之和；(3)设出点E的坐标，直接列方程求解【答案】解：(1)抛物线yx2bxc过点D(0，5)，C(3，8)，解得抛物线的解析式为yx24x5；(2)抛物线yx24x5与x轴交于点A(1，0)，B(5，0)，顶点为M(2，9)，过点M作MNx轴于点N，则N(2，0)S四边形ABMDSRtAODS梯形DONMSRtBMN15(59)29330；四边形ABMD的面积为30；(3)设点E的坐标为(0，y)，则SABE6|y|3|y|.SABES四边形ABMD，3|y|30，解得y10，y210.点E的坐标为(0，10)或(0，10)1如图，对称轴为直线x的抛物线经过点A(6，0)和B(0，4)(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形解：(1)设抛物线的解析式为yax2bxc，抛物线经过A，B两点且对轴为直线x，解得抛物线的解析式为yx2x4，配方，得y，顶点坐标为；(2)设E点坐标为，S2OAyE6即S4x228x24；(3)平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形，理由如下：当平行四边形OEAF的面积为24时，即4x228x2424，化简，得x27x120，解得x3或4，当x3时，EOEA，平行四边形OEAF为菱形；当x4时，EOEA，平行四边形OEAF不为菱形重叠部分面积【例5】如图，在直角坐标系xOy中，直线l：ykxb交x轴，y轴于点E，F.点B的坐标是(2，2)，过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A，C.点D是线段CO上的动点，以BD为对称轴，作与BCD成轴对称的BCD.(1)当CBD15时，求点C的坐标；(2)当图中的直线l经过点A，且k时(如图)，求点D由C到O的运动过程中，线段BC扫过的图形与OAF重叠部分的面积【解析】(1)利用翻折变换的性质得出CBDCBD15，CBCB2，进而得出CH的长，进而得出答案；(2)首先求出直线AF的解析式，进而得出当D与O重合时，点C与A重合，且BC扫过的图形与OAF重合部分是弓形，求出即可【答案】解：(1)由题意得：CBDCBD，CBDCBD15，CBCB2，CBC30.如图，作CHBC于H，则CH1，HB，CH2，点C的坐标为(2，1)；(2)如图，A(2，0)，k，代入直线AF的解析式yxb，b，则直线AF的解析式为yx，OAF30，BAF60，在点D由C到O的运动过程中，BC扫过的图形是扇形，当D与O重合时，点C与A重合，且BC扫过的图形与OAF重合部分是弓形，当C在直线yx上时，BCBCAB，ABC是等边三角形，这时ABC60，重叠部分的面积是：22.图图2如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x3交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D.(1)求直线BC的解析式；(2)点E(m，0)，F(m2，0)为x轴上两点，其中2m4，EE，FF分别垂直于x轴，交抛物线与点E，F，交BC于点M，N，当MENF的值最大时，在y轴上找一点R，使得|RFRE|值最大，请求出R点的坐标及|RFRE|的最大值；(3)如图，已知x轴上一点P，现以点P为顶点，2为边长在x轴上方作等边三角形QPC，使GPx轴，现将QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P到达点A时停止，记平移后的QPG为QPG，设QPG与ADC的重叠部分面积为S，当点Q到x轴的距离与点Q到直线AW的距离相等时，求S的值图图解：(1)yx6；(2)如图，点E(m，0)，F(m2，0)，E，F，