工程力学组合变形.ppt

2020 2 9 1 组合变形 第八章 2020 2 9 2 8 1概述 构件同时发生两种或两种以上的基本变形的情况 称为组合变形 1 组合变形的定义和工程实例 2020 2 9 3 2 组合变形解题的基本方法 解决组合变形问题的基本方法是先分解后叠加 即首先将复杂的组合变形分解若干个简单的基本变形 然后分别考虑各个基本变形下发生的内力 应力和变形情况 最后进行叠加 2020 2 9 4 3 解组合变形问题的一般步骤 2020 2 9 5 斜弯曲梁变形后 轴线位于外力所在的平面之外 8 2斜弯曲 一 概念 平面弯曲 外力施加在梁的对称面 或主平面 内时 梁将产生平面弯曲 对称弯曲 平面弯曲的一种 即梁变形后 轴线位于外力所在的平面之内 2020 2 9 6 二 斜弯曲时的应力与位移计算 在集中力F1 F2作用下 双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时受横向外力作用 梁将分别在水平纵对称面 Oxz 和铅垂纵对称面 Oxy 内发生对称弯曲 在梁的任意横截面m m上 F1 F2引起的弯矩为 2020 2 9 7 在F2单独作用下 梁在竖直平面内发生平面弯曲 z轴为中性轴 在F1单独作用下 梁在水平平面内发生平面弯曲 y轴为中性轴 斜弯曲是两个互相垂直方向的平面弯曲的组合 2 F1单独作用下 求应力 m m截面上第一象限某点C y z 1 F2单独作用下 2020 2 9 8 3 当F1和F2共同作用时 应用叠加法 所以 C点的x方向正应力为压 2020 2 9 9 强度条件 B D角点处的切应力为零 按单向应力状态来建立强度条件 设材料的抗拉和抗压强度相同 则斜弯曲时的强度条件为 中性轴 正应力为零处 即求得中性轴方程 危险点 m m截面上 角点B有最大拉应力 D有最大压应力 E F点的正应力为零 EF线即是中性轴 可见B D点就是危险点 离中性轴最远 2020 2 9 10 上式可见 中性轴是一条通过横截面形心的直线 E F点的正应力为零 EF线即是中性轴 其与y轴的夹角 为 是横截面上合成弯矩M矢量与y轴间的夹角 一般 截面Iy Iz 即 因而中性轴与合成弯矩M所在的平面并不相互垂直 所以挠曲线将不在合成弯矩所在的平面内 即是斜弯曲 对圆形 正方形等Iy Iz的截面 得 即是平面弯曲 2020 2 9 11 例8 120a号工字钢悬臂梁承受均布载荷q和集中力F qa 2如图 已知钢的许用弯曲正应力 160MPa a 1m 试求梁的许可载荷集度 q 解 作计算简图 将自由端截面B上的集中力沿两主轴分解为 2020 2 9 12 危险截面 由弯矩图 可确定A D两截面为危险截面 A D截面在xoz xoy平面的弯曲截面系数 可查表得 在xoz主轴平面内的弯矩图 y轴为中性轴 在xoy主轴平面内的弯矩图 z轴为中性轴 2020 2 9 13 可见 梁的危险点在截面A的棱角处 危险点处是单轴应力状态 强度条件为 即 解得 按叠加法 在xoz主轴平面内 xoy主轴平面内的弯曲正应力 在x方向叠加 2020 2 9 14 8 3拉伸 压缩 与弯曲组合 F力作用在杆自由端形心处 作用线位于xy面内 与x轴夹角为 F力既非轴向力 也非横向力 所以变形不是基本变形 一 横向力与轴向力共同作用 2020 2 9 15 1 外力分解 Fy Fsin y为对称轴 引起平面弯曲 Fx Fcos 引起轴向拉伸 2 内力分析 FN Fx Mz Fy l x 只有一个方向的弯矩 就用平面弯曲的弯矩符号规定 2020 2 9 16 3 应力及强度条件 FN对应的应力 Mz对应的应力 叠加 2020 2 9 17 由于忽略了剪切应力 横截面上只有正应力 于是叠加后 横截面上正应力分布规律只可能为以下三种情况 中性轴 零应力线 发生平移危险点的位置很容易确定 在截面的最上缘或最下缘 由于危险点的应力状态为简单应力状态 单向拉伸或单向压缩 故 强度条件 max 2020 2 9 18 例8 2已知 W 8kN AB为工字钢 材料为Q235钢 100MPa 求 工字钢型号 解 AB受力如图 这是组合变形问题 压弯组合 作出AB杆的弯矩图和轴力图 2020 2 9 19 根据内力图 危险截面为C截面 设计截面的一般步骤 先根据弯曲正应力选择工字钢型号 再按组合变形的最大正应力校核强度 必要时选择大一号或大二号的工字钢 若剪力较大时 还需校核剪切强度 2020 2 9 20 可以使用 本题不需要校核剪切强度 拉 压 弯组合变形时 危险点的应力状态是单向应力状态 按弯曲正应力选择工字钢型号 选16号工字钢 2020 2 9 21 当直杆受到与杆的轴线平行但不重合的拉力或压力作用时 即为偏心拉伸或偏心压缩 如钻床的立柱 厂房中支承吊车梁的柱子 二 偏心拉伸与偏心压缩 2020 2 9 22 以横截面具有两对称轴的等直杆承受距离截面形心为e 称为偏心距 的偏心拉力F为例 来说明 将偏心拉力F用静力等效力系来代替 把A点处的拉力F向截面形心O1点简化 得到轴向拉力F和两个在纵对称面内的力偶Mey Mez 因此 杆将发生轴向拉伸和在两个纵对称面O1xy O1xz内的纯弯曲 2020 2 9 23 轴力FN F引起的正应力 弯矩My Mey引起的正应力 弯矩Mz Mez引起的正应力 按叠加法 得C点的正应力 A为横截面面积 Iy Iz分别为横截面对y轴 z轴的惯性矩 在任一横截面n n上任一点C y z 处的正应力分别为 2020 2 9 24 利用惯性矩与惯性半径间的关系 C点的正应力表达式变为 取 0 以y0 z0代表中性轴上任一点的坐标 则可得中性轴方程 2020 2 9 25 可见 在偏心拉伸 压缩 情况下 中性轴是一条不通过截面形心的直线 求出中性轴在y z两轴上的截距 对于周边无棱角的截面 可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切 两切点D1 D2 即为横截面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点 相应的应力即为最大拉应力和最大压应力的值 2020 2 9 26 对于周边具有棱角的截面 其危险点必定在截面的棱角处 如 矩形截面杆受偏心拉力F作用时 若杆任一横截面上的内力分量为FN F My FzF Mz FzF 则与各内力分量相对应的正应力为 按叠加法叠加得 2020 2 9 27 可见 最大拉应力和最大压应力分别在截面的棱角D1 D2处 其值为 危险点处仍为单轴应力状态 其强度条件为 2020 2 9 28 补充例题图示矩形截面钢杆 用应变片测得杆件上 下表面的轴向正应变分别为 a 1 10 3 b 0 4 10 3 材料的弹性模量E 210GPa 1 试绘出横截面上的正应力分布图 2 求拉力F及偏心距 的距离 2020 2 9 29 当偏心拉 压 作用点位于某一个区域时 横截面上只出现一种性质的应力 偏心拉伸时为拉应力 偏心压缩时为压应力 这样一个截面形心附近的区域就称为截面核心 对于砖 石或混凝土等材料 如桥墩 由于它们的抗拉强度较低 在设计这类材料的偏心受压杆时 最好使横截面上不出现拉应力 因此 确定截面核心是很有实际意义的 为此 应使中性轴不与横截面相交 三 截面核心 2020 2 9 30 作一系列与截面周边相切的直线作为中性轴 由每一条中性轴在y z轴上的截距ay1 az1 即可求得与其对应的偏心力作用点的坐标 yF1 zF1 有了一系列点 描出截面核心边界 一个反算过程 前面偏心拉 压 计算的中性轴截距表达式 2020 2 9 31 例8 4求矩形截面的截面核心 边长为h和b的矩形截面 y z两对称轴为截面的形心主惯性轴 得 若中性轴与AB边重合 则中兴轴在坐标轴上的截距分别为 2020 2 9 32 例8 5求圆截面核心 对于圆心O是极对称的 截面核心的边界对于圆心也应是极对称的 即为一圆心为O的圆 得 作一条与圆截面周边相切于A点的直线 将其看作为中性轴 并取OA为y轴 于是 该中性轴在y z两个形心主惯性轴上的截距分别为 2020 2 9 33 同理 分别将与BC CD和DA边相切的直线 看作是中性轴 可求得对应的截面核心边界上点2 3 4的坐标依次为 当中性轴从截面的一个侧边绕截面的顶点旋转到其相邻边时 相应的外力作用点移动的轨迹是一条连接点1 2的直线 于是 将1 2 3 4四点中相邻的两点连以直线 即得矩形截面的截面核心边界 它是个位于截面中央的菱形 2020 2 9 34 AB段为等直实心圆截面杆 作受力简化 作M Mx 以圆截面杆在弯扭组合时的强度计算问题 8 4弯曲与扭转的组合 2020 2 9 35 F力使AB杆发生弯曲 外力偶矩Me FR使它发生扭转 由弯矩 扭矩图知 危险截面为固定端截面A危险截面上与弯矩和扭矩对应的正应力 切应力为 A截面的上 下两个点C1和C2是危险点C1点的应力状态 取单元体得 二向应力状态 2020 2 9 36 可用相应的强度理论对其校核 如第四强度理论 第三强度理论 在这种特定的平面应力状态下 这两个强度理论的相当应力的表达式可得 按应力状态分析的知识 C1点三个主应力为 2020 2 9 37 注意到 M W Mx Wp 相当应力改写为 上式同样适用于空心圆截面杆 对其它的弯扭组合 可同样采用上面的分析方法 2020 2 9 38 例8 6图示一钢制实心圆轴 轴上的齿轮C上作用有铅垂切向力5kN 径向力1 82kN 齿轮D上作用有水平切向力10kN 径向力3 64kN 齿轮C的节圆直径dC 400mm 齿轮D的节圆直径dD 200mm 设许用应力 100MPa 试按第四强度理论求