MathStudio数理统计操作指南.doc

Math Studio数理统计操作指南一、数据向量的操作和统计运算（注意：函数名区分大小写！）1、数据向量的输入X= 1,3,6,7,2 1,3,6,7,2X(3) 6 -显示向量X第3个元素的值（输入X(3)=11，修改该元素的值）X1=X(2:4) 3,6,7 -取出X的部分数据赋值给予X1X2=X(1,3,5) 1,6,2 -取出X的部分数据赋值给予X2Append(X,100,120) 1,3,6,7,2,100,120 -合并两个向量，用于追加数据Append(X1, X2) 3,6,7,1,6,2 -合并向量X1和X2m=Length(X) 5 -向量所含元素的个数赋值给予mListPlot(X) -画出向量X的散点图Y=1:10 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 -输入递增数列Z=List(4) 0,0,0,02、数据向量的运算(1) Z=List(4) 0,0,0,0List(4)+2 2,2,2,2 -向量中每个元素同时加2（类似可以计算向量同时减一个数）(2) X= 1,3,6,7,2 Y=1,1,2,2,3 X+Y 2,4,8,9,5 -两个向量的每个元素对应相加（类似可计算相减） X*Y 1,3,12,14,6 -两个向量的每个元素对应相乘 X/Y 1,3,3,7/2,2/3 -两个向量的每个元素对应相除 kX k,3k,6k,7k,2k X+k 1+k,3+k,6+k,7+k,2+k -向量中每个元素同时加k Dot(X,Y) 36 -计算两个向量的点乘（内积，数量积），即：两向量对应元素相乘后的和 Cross(1,3,6,1,1,2) 0,4,-2 -计算两个三维向量的叉乘（外积，向量积），注意：该命令对三维以上向量不能计算，报错。 ListPlot(X,Y) -画出X、Y的散点图3、数据向量的描述性统计 X= 1,3,6,7,2 Y=1,1,2,2,3Min(X) 1 -最小值 Max(X) 7 -最大值Mean(X) 3.8 -求数据的平均值Variance(X) 6.7 -求数据的样本方差 StandardDeviation(X) 2.5884-求数据的标准偏差n=Length(X) 5 -向量数据个数n，即：样本容量Sum(X) 19 -求数据的总和 例1：用向量的运算方法计算样本方差。X= 1,3,6,7,2M=Mean（X） 3.8 -求X的平均值 n=Length(X) 5 -向量数据个数n，即：样本容量 Xm=List(n)+M 3.8,3.8,3.8,3.8,3.8 -或者输入List(5)+3.8S2= Dot（X- Xm,X- Xm）/(n-1) 6.7 -X的样本方差，6.7开平方即为2.5884。 注意：X- Xm -就是向量二、一元线性回归分析例2：某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人均收入的相关关系，随机抽取10户进行调查，其结果如下：月人均收入x/元月人均生活费y/元3002553903244203355203605704507005207605808006008506301080750试预测人均月收入为1100元和人均月收入为1200元的两个家庭的月人均生活费。解答：1、作出散点分布图由图可知，月人均生活费与人均收入之间具有线性相关关系。以下是Mathstudio软件作图命令：X=300,390,420,520,570,700,760,800,850,1080Y=255,324,335,360,450,520,580,600,630,750ListPlot(X,Y) -画出X、Y的散点图2、对于回归方程，估计参数通过计算可知 -命令：Xm=Mean(X) Ym=Mean(Y)， -命令：XX=Dot(X,X) YY=Dot(Y,Y) -命令：XY=Dot（X，Y）样本容量n=10 -命令：n=Length(X)所以 - 命令：b=(XY-n*Xm*Ym)/(XX-n*Xm*Xm) - 命令： a=Ym-b*Xm所以回归直线方程为3、用R检验法检验线性相关的显著性（类似可以做F检验和t检验）计算相关系数得， -计算相关系数r的命令：r=(XY-n*Xm*Ym)/Sqrt（(XX-n*Xm*Xm)*（YY-n*Ym*Ym）而查表知，注意是通过查F分布表得到： -查F分布表得到：-输入命令：Sqrt（5.32/(5.32+8)）故月人均收入与月人均生活费之间具有显著相关关系（因为）。4、预测由以上分析可知，我们可以利用回归方程来作为月生活费的预报值。将x1100代入回归方程得y784.59元；将x1200代入回归方程得y850.58元。故预测月人均收入分别为1100元和1200元的两家庭的月人均生活费分别为784.59元和850.58元。 还可以求当x1100时，人均生活费y的置信度为95%的置信区间（参见教材P71第4、5行的公式）。 置信区间： 其中，并由得到： 三、单因素方差分析1、方差分析的假设检验： 方差分析的零假设：方差分析的判断：（1） 拒绝零假设，即各样本均值有显著性差异；（2） 没有理由拒绝零假设，即各样本均值无显著性差异；2、单因素方差分析（One-Way ANOVA）构造检验F统计量（1）水平的均值我们令为第i（或）水平的样本均值，则（1）当各水平的的观察值个数均相等的时候，公式（1）变为： （2）（2）全部观察值的总均值我们令为全部观察值的总均值，则 （3）当各水平的的观察值个数均相等的时候，公式（3）变为： （4）对例7.1而言，各都相等，即k=5。计算结果见表7.1。（3）离差平方和在单因素方差分析中，离差平方和有三个：（1）总离差平方和（Sum of Squares for Total，简称SST），计算公式为： （5）总离差平方和反映全部观察值的离散状况，是全部观察值与总平均值的离差平方和。（2）误差项离差平方和（Sum of Squares for Error，简称SSE），计算公式为： （6）误差项离差平方和又称为组内离差平方和，它反映了水平内部观察值的离散情况，即随机因素产生的影响。（3）水平项离差平方和（Sum of Squares for Factor A，简称SSA）。计算公式为： （7）水平项离差平方和又称组间离差平方和，是各组平均值与总平均值的离差平方和。它既包括随机误差，也包括系统误差。由于各样本的独立性，使得变差具有可分解性，即总离差平方和等于误差项离差平方和加上水平项离差平方和，用公式表达为：SST = SSE + SSA （8）（4）构造检验统计量FF= 组间方差 / 组内方差= MSA / MSE= （9）方差分析表方差来源离差平方和SS自由度df均方和MSF组间SSAr-1MSA = SSA /（r-1）MSA/MSE组内SSEn-rMSE = SSE /（n-r）总方差SSTn-1（5）判断与结论在假设条件成立时，F统计量服从F分布，即： 将统计量F与给定的显著性水平的临界值比较，可以作出拒绝或不能拒绝原假设的判断：若F，则拒绝原假设，表明均值之间的差异显著，因素A对观察值有显著影响；若F，故应拒绝原假设，推销方式对销售量有影响。四、拟合优度检验法1、拟合优度c2检验的基本思想拟合优度检验是根据样本的频率分布检验其总体分布是否符合某给定的理论分布。值反映了样本实际频率分布与理论分布的符合程度。2、c2检验的基本公式大样本时检验统计量 近似地服从c2分布，自由度为= k1r （r为计算Ti时利用样本资料估计的未知参数个数）其中，Ai和Ti分别为实际观察频数和成立时的理论频数，k为频数分布的类别总数。例4：从某幼儿园随机抽取210名幼儿，要求从红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色中选择最喜欢的一种颜色，结果如表11-2所示。问幼儿的颜色选择是否有倾向性（）？表11-2 幼儿颜色偏爱选择颜色红橙黄绿青蓝紫合计选择人数42383421201936210解： 检验步骤为：（1）提出假设：H0：幼儿的颜色选择无倾向性，即幼儿选择七种颜色的概率是一样的H1：幼儿的颜色选择有倾向性（2）计算检验统计量的值及其概率：其中：表示实际频数，表示理论频数，k表示离散型变量的取值个数。显然，原假设成立的话，幼儿选择七种颜色的概率相等，210名幼儿选择每种颜色的分布是平均的，即理论频数。 所以 上面表达式可用Mathstudio直接计算，命令是： 输入： （42-30）2+(38-30) 2+(34-30) 2+.+(36-30) 2 ）/30 18.7333（3）统计决断：根据检验水平，查表得到临界值，由于，拒绝原假设H0，认为幼儿的颜色选择有显著的倾向性。五、矩阵运算1、矩阵输入M= 1,5,6,2,4,5,1,1,7 -输入一个3行3列的矩阵I=Identity(n) - 创建一个n行n列的单位矩阵2、矩阵计算 Det(M) - 计算矩阵的行列式值Inverse(M) -计算矩阵的逆矩阵Transpose(A) -矩阵装置Eigenvalues(M) -求矩阵的特征值Eigenvectors(M) -求矩阵的特征向量六、微积分运算1、求极限：.Limit(function, variable, point, direction) -求极限的命令格式例如：Limit(-1/x,x,0) Limit(cos(a*x)/x2 - cos(b*x)/x2,x,0)2、求导数D(f(x), x, n) -求函数f(x)对x的n阶导数 例如：D(x6-2x4-3x2+1,x,6) 720 D(f(x)*g(x),x) 3、求不定积分（1）直接输入键盘中的积分号“”就可以计算定积分例如：(x2+3x-6,x)（2）使用命令：Integrate(f(x), x, a, b) -求不定积分的命令格式例如：Integrate(x2+3x-6,x) Integrate(ln(x)+1/x,x) Integrate(exp(x)*sin(x),x) Integrate(-3/x2+sin(x)/(1-sin(x),x)4、求定积分NIntegrate(f(x), x, a, b) -求定积分的命令格式例如：NIntegrate(cos(x),x,-pi/2,pi/2) - pi 表示5、解微分方程 DSolve(equation, dependent(independent), values, mode=1) -解微分方程命令格式例