高二数学学年高二上学期期末考试数学(文)试卷.doc

2014-2015学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题纸相应位置上1命题“x2，x24”的否定是2抛物线y=x2的准线方程是3在校英语节演讲比赛中，七位评委老师为某班选手打出的分数的茎叶图（如图所示），去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为4若复数z=a24+（a2）i（aR）是纯虚数，则|z|=5某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，数量分别为450、750、600，用分层抽样从三个车间中抽取一个容量为n的样本，且每个产品被抽到的概率为0.02，则应从乙车间抽产品数量为6如图是一个算法流程图，则输出S的值是7已知曲线 y=lnx在点P处的切线经过原点，则此切线的方程为8一只蚂蚁在高为3，两底分别为3和6的直角梯形区域内随机爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为9已知等比数列an中，有成立类似地，在等差数列bn中，有成立10已知g（x）=x3x2x1，如果存在x1，x20，2，使得g（x1）g（x2）M，则满足该不等式的最大整数M=11“4a2”是“方程+=1表示椭圆”的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）12函数f（x）=sinxcosxtx在0，上单调递减，则实数t的取值范围是13椭圆+=1（ab0）的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足PF=AF，则2（lnblna）的范围是14函数f（x）=+x3（xR），其导函数为f（x），则f（2015）+f（2015）+f（2015）f（2015）=二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15设p：复数z=（12m）+（m+2）i在复平面上对应的点在第二或第四象限；q：函数g（x）=x3+mx2+（m+）x+6在R上有极大值点和极小值点各一个求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围16高二年级从参加期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段50，60），60，70）90，100后画出如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（1）根据江苏省高中学业水平测试要求，成绩低于60分属于C级，需要补考，求抽取的60名学生中需要补考的学生人数；（2）年级规定，本次考试80分及以上为优秀，估计这次考试物理学科优秀率；（3）根据（1），从参加补考的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率17已知关于x的一次函数y=mx+n（1）设集合P=4，1，1，2，3和Q=4，3，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y=mx+n是减函数的概率；（2）实数m，n满足条件求函数y=mx+n的图象经过一、二、四象限的概率18如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点C、D在圆弧上，点A、B在两半径上，现将此矩形铝皮ABCD卷成一个以BC为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长BC=xcm圆柱的体积为Vcm3（1）写出体积V关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？19已知椭圆E：+=1（ab0），以抛物线y2=8x的焦点为顶点，且离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M（）求证：点M恒在椭圆C上； （）求AMN面积的最大值20已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a0），设F（x）=f（x）+g（x）（）求函数F（x）的单调区间（）若以函数y=F（x）（x（0，3）图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k恒成立，求实数a的最小值（）是否存在实数m，使得函数y=g（）+m1的图象与函数y=f（1+x2）的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由2014-2015学年高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题纸相应位置上1命题“x2，x24”的否定是x2，x24考点： 命题的否定专题： 简易逻辑分析： 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可解答： 解：因为特称命题的否定是全称命题所以，命题“x2，x24”的否定是：x2，x24故答案为：x2，x24点评： 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查2抛物线y=x2的准线方程是4y+1=0考点： 抛物线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可求出其准线方程解答： 解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以：=，准线方程 y=，即4y+1=0故答案为：4y+1=0点评： 本题主要考查抛物线的基本性质解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置3在校英语节演讲比赛中，七位评委老师为某班选手打出的分数的茎叶图（如图所示），去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为考点： 茎叶图专题： 概率与统计分析： 根据方差的定义，首先求出数据的平均数，由公式求方差解答： 解：=（84+84+86+84+87）=85S2=3（8485）2+（8685）2+（8785）2=所以所剩数据的方差为点评： 本题考查了方差的定义和公式，属于基础题4若复数z=a24+（a2）i（aR）是纯虚数，则|z|=4考点： 复数求模专题： 数系的扩充和复数分析： 利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出解答： 解：复数z=a24+（a2）i（aR）是纯虚数，解得a=2z=4i则|z|=4故答案为：4点评： 本题考查了纯虚数的定义、模的计算公式，属于基础题5某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，数量分别为450、750、600，用分层抽样从三个车间中抽取一个容量为n的样本，且每个产品被抽到的概率为0.02，则应从乙车间抽产品数量为15考点： 分层抽样方法专题： 概率与统计分析： 根据分层抽样的定义以及概率的关系即可得到结论解答： 解：个产品被抽到的概率为0.02，应从乙车间抽产品数量为7500.02=15，故答案为：15点评： 本题主要考查分层抽样的应用，比较基础6如图是一个算法流程图，则输出S的值是66考点： 程序框图专题： 图表型；算法和程序框图分析： 模拟执行算法流程，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=11时，满足条件k7，退出循环，输出S的值为66解答： 解：模拟执行算法流程，可得S=0，k=1不满足条件k7，S=1，k=4不满足条件k7，S=17，k=7不满足条件k7，S=66，k=11满足条件k7，退出循环，输出S的值为66故答案为：66点评： 本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查7已知曲线 y=lnx在点P处的切线经过原点，则此切线的方程为y=考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 计算题；导数的概念及应用；直线与圆分析： 设P（m，n），求出函数的导数，求得切线的斜率，运用点斜式方程求得切线方程，由切线经过原点，可得n=1，由切点在曲线上，求得m，即可得到切线方程解答： 解：设P（m，n），y=lnx的导数为y=，即有在点P处的切线斜率为k=，则切线方程为yn=（xm），又切线经过原点，即有n=1，由于lnm=n，解得m=e，则有切线方程为y=故答案为：y=点评： 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义，运用点斜式方程和正确求导是解题的关键8一只蚂蚁在高为3，两底分别为3和6的直角梯形区域内随机爬行，则其恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为1考点： 几何概型专题： 概率与统计分析： 以四个顶点为圆心，1为半径作圆，当蚂蚁在此区域外的区域随机爬行，离顶点的距离大于1，其面积为，再用几何概型公式即得本题的概率解答： 解：如图由已知，高为3，两底分别为3和6的直角梯形面积为，离四个顶点距离都大于1的区域是如图阴影部分，即以四个顶点为圆心，1为半径作圆，当蚂蚁在除此区域外的区域随机爬行，离顶点的距离大于1的部分，其面积为=，蚂蚁恰在离四个顶点距离都大于1的地方的概率为P=故答案为：1点评： 本题以蚂蚁在正方形内爬行为例，求几何概型的概率着重考查了图形面积的求法和几何概型的概率求法等知识点，属于基础题9已知等比数列an中，有成立类似地，在等差数列bn中，有成立考点： 类比推理专题： 综合题；推理和证明分析： 在等差数列中，考查的主要是若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，那么对应的在等比数列中考查的应该是若m+n=p+q，则bmbn=bpbq解答： 解：等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中除法对应等比数列中的开方，故此我们可以类比得到结论：故答案为：点评： 本题考查类比推理，掌握类比推理的规则及类比对象的特征是解本题的关键，本题中由等差结论类比等比结论，其运算关系由加类比乘，解题的难点是找出两个对象特征的对应，作出合乎情理的类比10已知g（x）=x3x2x1，如果存在x1，x20，2，使得g（x1）g（x2）M，则满足该不等式的最大整数M=3考点： 利用导数求闭区间上函数的最值专题： 导数的综合应用分析： 求函数的导数，求出函数在0，2上的最大值和最小值即可解答： 解：函数的f（x）的导数g（x）=3x22x1，由g（x）0得x1，此时函数单调递增，由g（x）0得0x1，此时函数单调递减，即函数在0，2上的极小值为g（1）=1111=2，g（0）=1，g（2）=1，函数的最大值为1，最小值为2，则g（x1）g（x2）min=21=3，故M3，则满足该不等式的最大整数M=3，故答案为：3点评： 本题主要考查函数的最值的求解，利用导数求函数的最大值和最小值是解决本题的关键11“4a2”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）考点： 椭圆的标准方程；必要条件、充分条件与充要条件的判断专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 当a=1时，a+4=2a=3，方程+=1是圆；由方程+=1表示椭圆，得，由此能求出“4a2”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件解答： 解：4a2，当a=1时，a+4=2a=3，方程+=1是圆，“4a2”推不出“方程+=1表示椭圆”，方程+=1表示椭圆，解得4a1或1a2，“方程+=1表示椭圆”“4a2”，“4a2”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件故答案为：必要不充分点评： 本题考查椭圆的性质的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”的合理运用12函数f（x）=sinxcosxtx在0，上单调递减，则实数t的取值范围是2，+）考点： 三角函数中的恒等变换应用专题： 导数的概念及应用分析： 求出函数f（x）的导数f（x）=cosx+sinxt，函数f（x）在0，上单调递增可转化为f（x）0，即cosx+sinxt0在区间0，上恒成立，变成求函数的最值问题即可求解解答： 解：函数f（x）=sinxcosxtx在0，上单调递减，函数f（x）的导数f（x）0，在区间0，上恒成立，求得f（x）=cosx+sinxt，所以cosx+sinxt0在区间0，上恒成立即tcosx+sinx对x0，总成立，记函数g（x）=cosx+sinx=2sin（x+），易求得g（x）在0，的最大值为2，从而t2，故答案为：2，+）点评： 利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值，从而得出参数t的取值范围，是解决此种问题的常用方法，解决本题同时应注意研究导函数的单调性得出导数的正负，从而得出原函数的单调性的技巧，本题属于基本知识的考查13椭圆+=1（ab0）的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足PF=AF，则2（lnblna）的范围是ln，+）考点： 椭圆的简单性质专题： 函数的性质及应用；导数的综合应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 求出椭圆的右焦点和右准线，求得AF的长，再由椭圆的性质，可得ac|PF|a+c，进而得到a2c，由a，b，c的关系，可得a，b的关系，令t=，（0t），则f（t）=t22lnt，运用导数判断单调性，即可得到所求范围解答： 解：椭圆+=1（ab0）的右焦点F（c，0），右准线为x=，由题意|PF|=|AF|=c，由椭圆的性质可得ac|PF|a+c，即有acca+c，即有ca+c且acc，则有a24c2=4（a2b2），即为0，则2（lnblna）=（）22ln，令t=，（0t），则f（t）=t22lnt，由f（t）=2t在（0，小于0，则有f（t）在（0，递减，故f（t）的范围为ln，+）故答案为：ln，+）点评： 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的准线方程的运用，椭圆上一点到焦点的距离的最值，同时考查导数的运用：判断单调性，属于中档题14函数f（x）=+x3（xR），其导函数为f（x），则f（2015）+f（2015）+f（2015）f（2015）=4026考点： 导数的运算专题： 导数的概念及应用分析： 先化简f（x），再求出f（x），得到f（x）+f（x）=2014+2012=4026，然后求导，得到导函数为偶函数，问题得以解决解答： 解：f（x）=+x3=+x3=2014x3，f（x）=2014（x）3=2012+x3，f（x）+f（x）=2014+2012=4026f（x）=3x2，f（x）=3x2，f（x）=f（x）f（2015）+f（2015）+f（2015）f（2015）=4026故答案为：4026点评： 本题考查了导数的运算以及函数奇偶性的运用，属于中档题二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15设p：复数z=（12m）+（m+2）i在复平面上对应的点在第二或第四象限； q：函数g（x）=x3+mx2+（m+）x+6在R上有极大值点和极小值点各一个求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围考点： 复合命题的真假专题： 简易逻辑分析： 先根据复数的定义，函数导数在极值点处的取值情况求出命题p，q下的m的取值范围，再根据p且q为真，对所得m的取值范围求交集即可解答： 解：复数z=（12m）+（m+2）i在复平面上对应的点在第二或第四象限，（12m）（m+2）0，即m2或（5分）函数在R上有极大值点和极小值点各一个，有两个不同的解，即0由0，得m1或m4 （10分）要使“p且q”为真命题，则p，q都是真命题，（12分）m的取值范围为（，2）（4，+） （14分）点评： 考查复数的定义，极值的概念，及导函数在极值点处的取值情况，p且q的真假和p，q真假的关系16高二年级从参加期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段50，60），60，70）90，100后画出如下部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（1）根据江苏省高中学业水平测试要求，成绩低于60分属于C级，需要补考，求抽取的60名学生中需要补考的学生人数；（2）年级规定，本次考试80分及以上为优秀，估计这次考试物理学科优秀率；（3）根据（1），从参加补考的学生中选两人，求他们成绩至少有一个不低于50分的概率考点： 频率分布直方图专题： 概率与统计分析： （1）根据频率和为1，求出低于50分的频率，计算对应的频数即可；（2）根据题意，计算成绩在80及以上的分数的频率即可；（3）求出“成绩低于50分”及“50，60）”的人数是多少，再利用古典概型计算对应的概率解答： 解：（1）因为各组的频率和等于1，故低于50分的频率为：f1=1（0.0152+0.03+0.025+0.005）10=0.1，（3分）所以低于60分的人数为60（0.1+0.15）=15（人）；（5分）（2）依题意，成绩80及以上的分数所在的第五、六组（低于50分的为第一组），频率和为 （0.025+0.005）10=0.3，所以，抽样学生成绩的优秀率是30%，（8分）于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为30%；（9分）（3）“成绩低于50分”及“50，60）”的人数分别是6，9，所以从参加补考的学生中选两人，他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：P=1=（14分）点评： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了古典概型的应用问题，是综合性题目17已知关于x的一次函数y=mx+n（1）设集合P=4，1，1，2，3和Q=4，3，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y=mx+n是减函数的概率；（2）实数m，n满足条件求函数y=mx+n的图象经过一、二、四象限的概率考点： 几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率专题： 概率与统计分析： （1）由题意，写出所有满足条件的事件，由古典概型公式解答；（2）画出平面区域，计算区域面积，由几何概型的公式解答解答： 解：（1）由已知，抽取的全部结果表示为（m，n），则基本事件有：（4，4），（4，3），（1，4），（1，3），（1，4），（1，3），（2，4），（2，3），（3，4），（3，3），共10个基本事件，设使函数为减函数的事件为A，m0，则A包含的基本事件有：（4，4），（4，3），（1，4），（1，3），共4个基本事件，由古典概型公式，P（A）=（7分）（2）m、n满足条件的区域如图所示：要使函数的图象过一、二、四象限，则m0，n0，故使函数图象过一、二、四象限的（m，n）的区域为第二象限的阴影部分，由几何概型的概率公式得所求事件的概率为（14分）点评： 本题考查了古典概型、几何概型的公式的运用；古典概型关键是明确事件的个数；几何概型关键是明确事件的测度，然后由公式解答18如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点C、D在圆弧上，点A、B在两半径上，现将此矩形铝皮ABCD卷成一个以BC为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长BC=xcm圆柱的体积为Vcm3（1）写出体积V关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用专题： 应用题；导数的综合应用分析： （1）连接OC，在RtOCB中，由BC=x，利用勾股定理可得OB，设圆柱底面半径为r，则2r2=900x2，利用V=r2x（其中0x30）即可得出（2）利用导数V，得出其单调性即可解答： 解：（1）连结OC，因为BC=x，所以，设圆柱底面半径为r，则，即2r2=900x2，所以，其中0x30（7分）（2）由，得，又在上V0，在上V0，所以，在上是增函数，在上是减函数，所以，当时，V有最大值.（16分）点评： 熟练掌握勾股定理、圆柱的体积计算公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值等是解题的关键19已知椭圆E：+=1（ab0），以抛物线y2=8x的焦点为顶点，且离心率为（1）求椭圆E的方程；（2）已知A、B为椭圆上的点，且直线AB垂直于x轴，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M（）求证：点M恒在椭圆C上； （）求AMN面积的最大值考点： 椭圆的简单性质专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）求出抛物线的焦点，由题意可得a=2，再由离心率公式可得c，进而得到b，即有椭圆方程；（2）（i）设A（m，n），则B（m，n）代入椭圆方程，通过直线方程求得交点M，代入椭圆方程的左边，检验即可得证；（）设AM的方程为x=ty+1，代入椭圆方程，设A（x1，y1），M（x2，y2），求得|y1y2|，通过对勾函数的单调性，即可得到面积的最大值解答： 解：（1）因为抛物线y2=8x的焦点为（2，0），又椭圆以抛物线焦点为顶点，所以a=2，又e=，所以c=1，b2=3，椭圆E的方程为=1（2）（i）证明：由题意得F（1，0）、N（4，0） 设A（m，n），则B（m，n）（n0），=1AF与BN的方程分别为：n（x1）（m1）y=0，n（x4）（m4）y=0，设M（x0，y0），则有，得x0=，由于=1，所以点M恒在椭圆C上；（）解：设AM的方程为x=ty+1，代入=1，得（3t2+4）y2+