《幂函数与方程》PPT课件.ppt

感谢可爱的你们陪我一起成长 自然对数的奥秘 自然对数又称 双曲对数 以超越数 e 1 1 1 1 2 1 3 2 71828 为底的对数 用记号 ln 表示 有自然对数表可查 超越数 不能满足任何整系数代数方程的实数 超越数 最先得出 3 14的是希腊的阿基米德 约公元前240年 最先给出 小数后面四位准确值的是希腊人托勒密 约公元前150年 最早算出 小数后七位准确值的是我国的祖冲之 约480年 1610年荷兰籍德数学家鲁道夫应用内接和外切正多边形计算 值 通过262边形计算 到35位小数 花费了毕生精力 1630年格林贝格利用斯涅耳的改进方法计算 值到39位小数 这是利用古典方法计算 值的最重要尝试 值得提出的是 达什1824年生于汉堡 只活了短短的37年 便离开了人世 他是一个闪电般的计算者 是一位最了不起的人工计算者 他曾在54秒钟内便完成了两个8位数的乘法 在6分种内完成了两个20位数的乘法 在40分钟内完成了两个40位数的乘法 他曾在52分钟内算出一个100位数的平方根 达什的这种非凡的计算才能在他制作7位对数表和从7000000到10000000之间的数的因子表便得到了最有价值的充分的运用 在科学中的应用是极为广泛的 但有时它的出现也会是意想不到的 例如 1777年 法国数学家布封做过一个 小针实验 先在桌上铺一张带有平行横线的纸 相邻横线距离为2cm 再准备很多长为1cm的小针 然后将针随便地掷在纸上 掷完后 再将投掷次数除以针与平行线交叉的次数 却惊奇地发现 其所得值竟接近 竟在一个与圆 无关 的问题中奇迹般地出现了 e 2 71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416750924476146066808226480016847741185374234544243710753907774499206955170276183860626133138458300075204493382656029760673711320070932870912744374704723069697720931014169283681902551510865746377211125238978442505695369677078544996996794686445490598793163688923009879312773617821542499922957635148220826989519366803318252886939849646510582093923982948879332036250944311730123819706841614039701983767932068328237646480429531180232878250981945581530175671736133206981125099618188159304169035159888851934580727386673858942287922849989208680582574927961048419844436346324496848756023362482704197862320900216099023530436994184914631409343173814364054625315209618369088870701676839642437814059271456354906130310720851038375051011574770417189861068739696552126715468895703503540212340784981933432106817012100562788023519303322474501585390473041995777709350366041699732972508868769664035557071622684471625607988265178713419512466520103059212366771943252786753985589448969709640975459185695638023637016211204774272283648961342251644507818244235294863637214174023889344124796357437026375529444833799801612549227850925778256209262264832627793338656648162772516401910590049164499828931505660472580277863186415519565324425869829469593080191529872117255634754639644791014590409058629849679128740687050489585867174798546677575732056812884592054133405392200011378630094556068816674001698420558040336379537645203040243225661352783695117788386387443966253224985065499588623428189970773327617178392803494650143455889707194258639877275471096295374152111513683506275260232648472870392076431005958411661205452970302364725492966693811513732275364509888903136020572481765851180630364428123149655070475102544650117272115551948668508003685322818315219600373562527944951582841882947876108526398139 e的小数点后两千位 两者的关系 指数函数与对数函数互为反函数 其图像关于直线y x对称 函数y a 0 且a 1 叫做指数函数 其中x是自变量 函数的定义域是R 函数y a 0 且a 1 叫做对数函数 其中x是自变量 函数的定义域是 0 1 定义 反函数 一般地 如果x与y关于某种对应关系f x 相对应 y f x 则y f x 的反函数为y f 1 x 反函数的性质 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y x对称 2 函数存在反函数的充要条件是 函数的定义域与值域是一一映射 3 一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致 4 一般的偶函数一定不存在反函数 但一种特殊的偶函数存在反函数 例f x a x 0 它的反函数是f x 0 x a 这是一种极特殊的函数 奇函数不一定存在反函数 关于y轴对称的函数一定没有反函数 若一个奇函数存在反函数 则它的反函数也是奇函数 5 严格增 减 的函数一定有严格增 减 的反函数 反函数存在定理 6 反函数是相互的 7 定义域 值域相反对应法则互逆 三反 8 原函数一旦确定 反函数即确定 三定 对数函数的运算 1 y y 2x y log2x 12345678 87654321 3 2 1 1 2 3 互为反函数的两个函数图像关于直线y x对称 4 图象 性质 a 1 0 a 1 指数函数 y x 0 y 1 0 1 y ax a 1 x 0 1 y 1 0 y ax 0 a 1 定义域 值域 必过点 在R上是 在R上是 R 0 0 1 即x 0时 y 1 增函数 减函数 当x0时 y 1 当x 0时 01 图象 性质 a 1 0 a 1 对数函数 x 定义域 值域 必过点 在 0 上是 在 0 上是 R 0 1 0 即x 1时 y 0 增函数 减函数 x y o 1 0 x y o 1 0 当01时 y 0 当01时 y 0 化 生 授课 体现 性质 图象 对数函数y logax a 0 a 1 指数函数y ax a 0 a 1 4 a 1时 x0 y 1 01 x 0 0 y 1 4 a 1时 01 y 0 00 x 1 y 0 5 a 1时 在R上是增函数 0 a 1时 在R上是减函数 5 a 1时 在 0 是增函数 0 a 1时 在 0 是减函数 3 过点 0 1 即x 0时 y 1 3 过点 1 0 即x 1时 y 0 2 值域 0 1 定义域 R 1 定义域 0 2 值域 R y ax a 1 y ax 0 a 1 x y o 1 y logax a 1 y logax 0 a 1 x y o 1 指数函数对数函数的图象和性质 返回 幂函数的概念 形如 x R 的函数称为幂函数 变量x的系数为1 指数 是一个常数 严格按这个标准来判断 例如 判别下列函数中有几个幂函数 y y 2 y x y 解 的底数是变量 指数是常数 因此 是幂函数 的变量系数为2 因此不是幂函数 的变量是和的形式 因此也不是幂函数 的变量x3的系数为 1 因此不是幂函数 1 幂函数集中营 1 y x 幂函数y 的图像 1 幂函数y 的性质 1 所有的图形都通过 1 1 这点 a 0 2 当a大于0时 幂函数为单调递增的 而a小于0时 幂函数为单调递减函数 3 当a大于1时 幂函数图形下凸 当a小于1大于0时 幂函数图形上凸 4 当a小于0时 a越小 图形倾斜程度越大 5 显然幂函数无界限 6 a 0 该函数为偶函数 x x 0 你知道函数的凹凸性吗 设f为定义在区间 上的函数 若对 上的任意两点 和任意的实数 总有则f称为 上的下凸函数 反之为上凸函数 神秘的等幂和问题 谜底揭开 恒等式 二次函数与一元二次方程 反过来 也可利用二次函数的图象求一元二次方程的解 二次函数y ax bx c 一元二次方程ax bx c 0 两根为x1 m x2 n 则 函数与x轴交点坐标为 m 0 n 0 二次函数应用题 问题2 如图是某公园一圆形喷水池 水流在各方向沿形状相同的抛物线落下 建立如图所示的坐标系 如果喷头所在处A 0 1 25 水流路线最高处B 1 2 25 则该抛物线的表达式为 如果不考虑其他因素 那么水池的半径至少要 米 才能使喷出的水流不致落到池外 y x 1 2 2 25 2 5 篮球中的二次函数 篮球 例1 如图 一位运动员在距篮下4m处起跳投篮 球运行的路线是抛物线 当球运行的水平距离是2 5m时 球达到最大高度3 5m 已知篮筐中心到地面的距离3 05m 问球出手时离地面多高时才能中 球的出手点A的横坐标为 2 5 将x 2 5代入抛物线表达式得y 2 25 即当出手高度为2 25m时 才能投中 解 建立如图所示的直角坐标系 则球的最高点和球篮的坐标分别为B 0 3 5 C 1 5 3 05 二次函数应用 的思路 1 理解问题 2 分析问题中的变量和常量 以及它们之间的关系 3 用数学的方式表示出变量和常量之间的关系 4 解题求解 5 检验结果的合理性 函数与简单逻辑 解析 再回首 知识是否依旧熟悉 集合的概念一定范围的 确定的 可以区别的事物 当作一个整体来看待 就叫做集合 简称集 其中各事物叫做集合的元素或简称元 如 1 阿Q正传中出现的不同汉字 2 全体英文大写字母 任何集合是它自身的子集 元素与集合的关系 元素与集合的关系有 属于 与 不属于 两种 集合的分类 并集 以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并 集 记作A B 或B A 读作 A并B 或 B并A 即A B x x A 或x B 交集 以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交 集 记作A B 或B A 读作 A交B 或 B交A 即A B x x A 且x B 无限集有限集 集合元素的性质 1 确定性 每一个对象都能确定是不是某一集合的元素 没有确定性就不能成为集合 例如 个子高的同学 很小的数 都不能构成集合 这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合 2 互异性 集合中任意两个元素都是不同的对象 如写成 1 1 2 等同于 1 2 互异性使集合中的元素是没有重复 两个相同的对象在同一个集合中时 只能算作这个集合的一个元素 3 无序性 a b c c b a 是同一个集合 4 纯粹性 所谓集合的纯粹性 用个例子来表示 集合A x x 2 集合A中所有的元素都要符合x 2 这就是集合纯粹性 5 完备性 仍用上面的例子 所有符合x 2的数都在集合A中 这就是集合完备性 完备性与纯粹性是遥相呼应的 集合的表示方法 1 列举法 常用于表示有限集合 把集合中的所有元素一一列举出来 写在大括号内 这种表示