高中数学 3.3.33.3.4 两条平行直线间的距离课件 新人教A版必修2.ppt

3 3 3点到直线的距离3 3 4两条平行直线间的距离 自学导引 学生用书p78 1 了解点到直线距离公式的推导方法 2 掌握点到直线距离公式 并能灵活应用于求平行线间的距离等问题 3 进一步体验解析几何的基本思想 初步掌握用解析法研究几何问题的方法 课前热身 学生用书p78 1 在平面直角坐标系中 如果已知某点p的坐标为 x0 y0 直线l的方程是ax by c 0 则点p到直线l的距离d 2 若直线l的方程ax by c 0中 b 0 则a 0 其方程为x 此时点p x0 y0 到该直线的距离d 若直线l的方程ax by c 0中 a 0 则b 0 其方程为y 此时点p x0 y0 到该直线的距离d 名师讲解 学生用书p78 1 点到直线的距离公式点p x0 y0 到直线ax by c 0 a b不同时为零 的距离使用此公式应注意以下几点 1 若给出的直线方程不是一般式 则应先把方程化为一般式 再利用公式求距离 2 若点p在直线上 点p到直线的距离为零 距离公式仍然适用 3 点到几种特殊直线的距离 点p x0 y0 到x轴的距离d y0 点p x0 y0 到y轴的距离d x0 点p x0 y0 到与x轴平行的直线y a的距离d y0 a 点p x0 y0 到与y轴平行的直线x b的距离d x0 b 2 两平行线间的距离 1 求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离 也可以应用公式 2 应用两平行线间的距离公式时 两直线方程必须是一般形式 而且x y的系数对应相等 3 当直线与坐标轴垂直时 可利用数形结合法来解决 两直线都与x轴垂直时 l1 x x1 l2 x x2则d x2 x1 两直线都与y轴垂直时 l1 y y1 l2 y y2 则d y2 y1 典例剖析 学生用书p78 题型一距离公式的应用 例1 求过点m 2 1 且与a 1 2 b 3 0 两点距离相等的直线方程 分析 可利用待定系数法求直线方程 也可用平面几何知识 先判断直线l与直线ab的位置关系 事实上 l ab或l过线段ab的中点时 都满足题目的要求 解 当斜率存在时 设直线方程为y 1 k x 2 即kx y 2k 1 0 由条件得解得k 0或k 故所求的直线方程为y 1或x 2y 0 当直线斜率不存在时 不存在符合题意的直线 规律技巧 与定直线的距离为定值的点的集合是与定直线平行的两条平行直线 因此 由点到直线的距离公式和求轨迹方程的方法即可求得所求的方程 变式训练1 求点p 1 2 到下列直线的距离 1 l1 y x 3 2 l2 y 1 3 y轴 x 0 解 1 点p 1 2 到直线x y 3 0的距离为 2 点p 1 2 到直线y 1的距离为d 2 1 3 3 点p 1 2 到直线x 0的距离为d 1 题型二平行线之间的距离 例2 求两条平行直线x 3y 4 0和2x 6y 9 0之间的距离 分析 两条平行线间的距离问题可转化为一条直线上的点到另一条直线的距离问题 其中选点是关键 一般情况 我们选择坐标轴上的点 解 在直线x 3y 4 0上选点p 4 0 那么点p 4 0 到直线2x 6y 9 0的距离d就是两条平行线之间的距离 两条平行线之间的距离 规律技巧 一般地 已知两条平行线l1 ax by c1 0 l2 ax by c2 0 c1 c2 设p x0 y0 是直线l2上的任意一点 则ax0 by0 c2 0 即ax0 by0 c2 于是 点p x0 y0 到直线l1 ax by c1 0的距离就是两平行直线l1与l2之间的距离 应用公式时要注意l1 l2中x y的系数必须对应相等 变式训练2 求下列两条平行线之间的距离 1 5x 12y 2 0与5x 12y 15 0 2 6x 4y 5 0与y x 题型三综合应用 例3 已知直线l经过直线l1 2x y 5 0与l2 x 2y 0的交点 1 若点a 5 0 到l的距离为3 求l的方程 2 求点a 5 0 到l的距离的最大值 分析 1 可先求出l1与l2的交点 再设出点斜式方程求解 也可以先设出所求直线的直线系方程 利用条件确定参数的值 从而求得直线的方程 2 解答本题可采用数形结合 分析出点a到直线l的最大值 然后应用点到直线的距离公式求出 解 1 方法1 由2x y 5 0 x 2y 0 得交点b 2 1 当直线斜率存在时 设l的方程为y 1 k x 2 即kx y 1 2k 0 解得 l的方程为y 1 x 2 即4x 3y 5 0 当直线l斜率不存在时 方程为x 2 此时 5 2 3也适合 故所求l的方程为 x 2或4x 3y 5 0 方法2 设经过已知直线交点的直线系方程为 2x y 5 x 2y 0 即 2 x 1 2 y 5 0 即2 2 5 2 0 解得 2或 l的方程为4x 3y 5 0或x 2 2 由2x y 5 0 x 2y 0 解得交点b 2 1 过点b任意作直线l 设d为a到直线l的距离 则d ab 仅当l ab时等号成立 d的最大值为 ab 规律技巧 在 1 的方法1中易忽略直线斜率不存在的情况 即易丢掉解x 2 方法2可避开讨论 直接求得两个解 变式训练3 若已知a 7 8 b 10 4 c 2 4 求 abc的面积 规律技巧 这里用点到直线的距离公式求一边上的高 进而求出 abc的面积 易错探究 例4 求经过点a 1 2 且到原点的距离等于1的直线方程 错解 所求直线过点a 1 2 可设直线方程y 2 k x 1 即kx y k 2 0 原点到此直线的距离为1 错因分析 本题出错的根本原因在于思维不严密 当用待定系统法确定直线斜率时 一定要对斜率是否存在的情况进行讨论 否则容易犯解析不全的错误 正解 1 当直线过点a 1 2 且垂直于x轴时 直线方程为x 1 原点 0 0 到直线的距离等于1 所以满足题意 2 当直线过点a 1 2 且与x轴不垂直时 由题意可设直线方程y 2 k x 1 即kx y k 2 0 又由原点到此直线距离等于1 即3x 4y 5 0 综上所述 所求直线方程为x 1或3x 4y 5 0 技能演练 学生用书p80 基础强化 1 原点到直线3x 4y 26 0的距离是 答案 b 2 若点p 3 a 到直线x y 4 0的距离为1 则a的值为 答案 d 3 已知直线3x 2y 3 0和6x my 1 0互相平行 则它们之间的距离是 解析 在直线3x 2y 3 0上取一点 1 0 则点 1 0 到直线6x my 1 0的距离 就为所求 由两直线平行得3m 12 0 m 4 两平行线间的距离为 答案 d 4 点p x y 在直线x y 4 0上 则x2 y2的最小值是 解析 由x2 y2的实际意义可知 它代表直线x y 4 0上的点到原点的距离的平方 它的最小值即为原点到该直线的距离的平方 x2 y2 min 2 8 答案 a 5 到直线3x 4y 1 0的距离为2的直线方程为 a 3x 4y 11 0b 3x 4y 9 0c 3x 4y 11 0或3x 4y 9 0d 3x 4y 11 0或3x 4y 9 0 解析 设所求直线方程为3x 4y k 0 由题意得 k 1 10 k 9或k 11 故所求方程为3x 4y 9 0或3x 4y 11 0 答案 c 6 直线7x 3y 21 0上到两坐标轴距离相等的点的个数为 a 3b 2c 1d 0 解析 设直线7x 3y 21 0上到两坐标轴距离相等的点为p x0 y0 依题意有 x0 y0 即y0 x0又7x0 3y0 21 0 显然y0 x0 7x0 3y0 21 0和y0 x0 7x0 3y0 21 0都有解 故直线上有两个点适合题意 答案 b 7 过点a 2 1 的所有直线中 距离原点最远的直线方程为 解析 当过点a 2 1 的直线与oa垂直时 原点到直线的距离最远 所以斜率k 2 直线方程为y 1 2 x 2 即2x y 5 0 2x y 5 0 8 两平行线3x 4y 5 0与6x ay 30 0间的距离为d 则a d 解析 由两直线平行知 a 8 2 a d 10 10 能力提升 9 两条平行线分别过点p 2 2 q 1 3 它们之间的距离为d 如果这两条直线各自绕点p q旋转并保持平行 则d的取值范围是 解析 当这两条直线l1 l2与直线pq垂直时 d达到最大值 此时d pq 又l1与l2保持平行 不能重合 0 d 10 已知正三角形abc的边长为a 在平面上求一点p 使 pa 2 pb 2 pc 2最小 并求此最小值 解 以bc所在直线为x轴 以线段bc的中点为原点 建立直角坐标系 如图所示 正三角形a