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4 10序列的傅里叶分析 周期序列的离散傅里叶级数 DFS 非周期序列的离散时间傅里叶变换 DTFT 四种傅里叶变换的特点和关系 将傅里叶级数和傅里叶变换的分析方法应用于离散时间信号称为序列的傅里叶分析 一 周期序列的离散傅里叶级数 DFS 周期序列记为fN k N为周期 数字角频率为 由于也是周期为N的序列 即 由于也是周期为N的序列 即 则fN k 可展开为 推导 注意 ejk是周期为2 的周期函数 离散傅里叶系数推导 两端同乘e jm k 并在一个周期求和 有 上式右端对k求和时 仅当n m时为非零且等于N 故上式可写为 DFS定义 令 则 FN n 称为离散傅里叶系数 称为周期序列的离散傅里叶级数 DiscreteFourierSeries DFS 令则 离散傅里叶级数变换对 注意 fN k 只有N个谐波分量 例 离散傅里叶级数例 例求图所示周期脉冲序列的离散傅里叶级数展开式 解周期N 4 2 N 2 求和范围取为 0 3 fN k 2 1 j1 ej0 5 k 1 j1 ej1 5 k 4 0 5 1 cos 0 5 k sin 0 5 k 二 非周期序列的离散时间傅里叶变换 DTFT 周期序列fN k 非周期序列f k 连续谱 离散谱 1 引出 0 定义非周期序列f k 的离散时间傅里叶变换 DiscreteTimeFourierTransform DTFT 为 逆变换的导出 fN k f k 由于n的取值周期为N 2 n N的周期为2 所以 周期为2 非周期序列的离散时间傅里叶逆变换 表示 说明 F ej 是 的连续周期函数 周期为2 DTFT存在的充分条件是f k 满足绝对可和 即 例 DTFT举例 例 求下列序列的离散时间傅里叶变换 解F1 ej DTFT f1 k 三 四种傅里叶变换的特点和关系 一般说来 在一个域中为连续的表示 在另一个域中就是非周期性的表示 与此对比 在一个域中为离散的表示 在另一个域中就是周期性的表示 关系 fT t 的傅里叶级数 CFS 与f t 的傅里叶变换 CTFT 的关系 f t 为剪裁fT t 主周期得到的非周期信号 fN k 的离散傅里叶级数 DFS 与f k 的离散时间傅里叶变换 DTF
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